广东省2017中考数学第11章解答题第52节解答题难题突破三几何变换题折叠与旋转复习课件

第52节解答题难题突破三 几何变换题 折叠与旋转 第十一章解答题 1 2012广东 21 9分 如图 在矩形纸片ABCD中 AB 6 BC 8 把 BCD沿对角线BD折叠 使点C落在C 处 BC 交AD于点G E F分别是C D和BD上的点 线段EF交AD于点H 把 FDE沿EF折叠 使点D落在D 处 点D 恰好与点A重合 1 求证 ABG C DG 2 求tan ABG的值 3 求EF的长 考点 翻折变换 折叠问题 全等三角形的判定与性质 矩形的性质 解直角三角形 专题 压轴题 探究型 分析 1 根据翻折变换的性质可知 C BAG 90 C D AB CD AGB DGC 故可得出结论 2 由 1 可知GD GB 故AG GB AD 设AG x 则GB 8 x 在Rt ABG中利用勾股定理即可求出AG的长 进而得出tan ABG的值 3 由 AEF是 DEF翻折而成可知EF垂直平分AD 故HD AD 4 再根据tan ABG即可得出EH的长 同理可得HF是 ABD的中位线 故可得出HF的长 由EF EH HF即可得出结论 解答 1 证明 BDC 由 BDC翻折而成 C BAG 90 C D AB CD AGB DGC ABG ADE 在 ABG与 C DG中 ABG C DG ASA 2 解 由 1 可知 ABG C DG GD GB AG GB AD 设AG x 则GB 8 x 在Rt ABG中 AB2 AG2 BG2 即62 x2 8 x 2 解得x tan ABG 3 解 AEF是 DEF翻折而成 EF垂直平分AD HD AD 4 tan ABG tan ADE EH HD 4 EF垂直平分AD AB AD HF是 ABD的中位线 HF AB 6 3 EF EH HF 3 点评 本题考查的是翻折变换 全等三角形的判定与性质 矩形的性质及解直角三角形 熟知折叠是一种对称变换 它属于轴对称 折叠前后图形的形状和大小不变 位置变化 对应边和对应角相等是解答此题的关键 2 AGC HAB AC HB GC AB 即9 y x 9 y AB AC 9 BAC 90 BC 答 y关于x的函数关系式为y 0 x 1 2016江西模拟 如图 在矩形纸片ABCD中 AB 4 AD 12 将矩形纸片折叠 使点C落在AD边上的点M处 折痕为PE 此时PD 3 1 求MP的值 2 在AB边上有一个动点F 且不与点A B重合 当AF等于多少时 MEF的周长最小 3 若点G Q是AB边上的两个动点 且不与点A B重合 GQ 2 当四边形MEQG的周长最小时 求最小周长值 计算结果保留根号 分析 1 根据折叠的性质和矩形性质以得PD PH 3 CD MH 4 H D 90 然后利用勾股定理可计算出MP 5 2 如图1 作点M关于AB的对称点M 连接M E交AB于点F 利用两点之间线段最短可得点F即为所求 过点E作EN AD 垂足为N 则AM AD MP PD 4 所以AM AM 4 再证明ME MP 5 接着利用勾股定理计算出MN 3 所以NM 11 然后证明 AFM NEM 则可利用相似比计算出AF 3 如图2 由 2 知点M 是点M关于AB的对称点 在EN上截取ER 2 连接M R交AB于点G 再过点E作EQ RG 交AB于点Q 易得QE GR 而GM GM 于是MG QE M R 利用两点之间线段最短可得此时MG EQ最小 于是四边形MEQG的周长最小 在Rt M RN中 利用勾股定理计算出M R 5 易得四边形MEQG的最小周长值是7 5 解答 解 1 四边形ABCD为矩形 CD AB 4 D 90 矩形ABCD折叠 使点C落在AD边上的点M处 折痕为PE PD PH 3 CD MH 4 H D 90 MP 5 2 如图 作点M关于AB的对称点M 连接M E交AB于点F 则点F即为所求 过点E作EN AD 垂足为N AM AD MP PD 12 5 3 4 AM AM 4 矩形ABCD折叠 使点C落在AD边上的点M处 折痕为PE CEP MEP 而 CEP MPE MEP MPE ME MP 5 在Rt ENM中 MN 3 NM 11 AF ME AFM NEM 即AF 时 MEF的周长最小 3 如图 由 2 知点M 是点M关于AB的对称点 在EN上截取ER 2 连接M R交AB于点G 再过点E作EQ RG 交AB于点Q ER GQ ER GQ 四边形ERGQ是平行四边形 QE GR GM GM MG QE GM GR M R 此时MG EQ最小 四边形MEQG的周长最小 在Rt M RN中 NR 4 2 2 M R 5 ME 5 GQ 2 四边形MEQG的最小周长值是7 5 2 在平面直角坐标系中 O为原点 点B在x轴的正半轴上 D 0 8 将矩形OBCD折叠 使得顶点B落在CD边上的P点处 I 如图 已知折痕与边BC交于点A 若OD 2CP 求点A的坐标 若图 中的点P恰好是CD边的中点 求 AOB的度数 如图 在 I 的条件下 擦去折痕AO 线段AP 连接BP 动点M在线段OP上 点M与P O不重合 动点N在线段OB的延长线上 且BN PM 连接MN交PB于点F 作ME BP于点E 试问当点M N在移动过程中 线段EF的长度是否发生变化 若变化 说明理由 若不变 求出线段EF的长度 直接写出结果即可 分析 1 设OB OP DC x 则DP x 4 在Rt ODP中 根据OD2 DP2 OP2 解得 x 10 然后根据 ODP PCA得到AC 3 从而得到AB 5 表示出点A 10 5 2 根据点P恰好是CD边的中点设DP PC y 则DC OB OP 2y 在Rt ODP中 根据OD2 DP2 OP2 解得 y 然后利用 ODP PCA得到AC 从而利用tan AOB 得到 AOB 30 3 作MQ AN 交PB于点Q 求出MP MQ BN QM 得出MP MQ 根据ME PQ 得出EQ PQ 根据 QMF BNF 证出 MFQ NFB 得出QF QB 再求出EF PB 由 1 中的结论求出PB 最后代入EF PB即可得出线段EF的长度不变 解答 解 1 D 0 8 OD BC 8 OD 2CP CP 4 设OB OP DC x 则DP x 4 在Rt ODP中 OD2 DP2 OP2 即82 x 4 2 x2 解得 x 10 OPA B 90 ODP PCA OD PC DP CA 8 4 x 4 AC 则AC 3 AB 5 点A 10 5 2 点P恰好是CD边的中点 设DP PC y 则DC OB OP 2y 在Rt ODP中 OD2 DP2 OP2 即82 y2 2y 2 解得y OPA B 90 ODP PCA OD PC DP CA 8 y y AC 则AC AB 8 OB 2y tan AOB AOB 30 3 如图 作MQ AN 交PB于点Q AP AB MQ AN APB ABP MQP MP MQ BN PM BN QM MP MQ ME PQ EQ PQ MQ AN QMF BNF 在 MFQ和 NFB中 MFQ NFB AAS QF QB EF EQ QF PQ QB PB 由 中的结论可得 PC 4 BC 8 C 90 PB 4 EF PB 2 在 1 的条件下 当点M N在移动过程中 线段EF的长度不变 它的长度为2 3 2015 梅州 在Rt ABC中 A 90 AC AB 4 D E分别是AB AC的中点 若等腰Rt ADE绕点A逆时针旋转 得到等腰Rt AD1E1 设旋转角为 0 180 记直线BD1与CE1的交点为P 1 如图1 当 90 时 线段BD1的长等于 线段CE1的长等于 直接填写结果 2 如图2 当 135 时 求证 BD1 CE1 且BD1 CE1 3 设BC的中点为M 则线段PM的长为 点P到AB所在直线的距离的最大值为 直接填写结果 分析 1 利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长 2 根据旋转的性质得出 D1AB E1AC 135 进而求出 D1AB E1AC SAS 即可得出答案 3 直接利用直角三角形的性质得出PM BC得出答案即可 首先作PG AB 交AB所在直线于点G 则D1 E1在以A为圆心 AD为半径的圆上 当BD1所在直线与 A相切时 直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大 此时四边形AD1PE1是正方形 进而求出PG的长 解答 解 1 A 90 AC AB 4 D E分别是边AB AC的中点 AE AD 2 等腰Rt ADE绕点A逆时针旋转 得到等腰Rt AD1E1 设旋转角为 0 180 当 90 时 AE1 2 E1AE 90 BD1 2 E1C 2 故答案为 2 2 2 证明 当 135 时 如图2 Rt AD1E是由Rt ADE绕点A逆时针旋转135 得到 AD1 AE1 D1AB E1AC 135 在 D1AB和 E1AC中 D1AB E1AC SAS BD1 CE1 且 D1BA E1CA 记直线BD1与AC交于点F BFA CFP CPF FAB 90 BD1 CE1 3 解 如图2 CPB CAB 90 BC的中点为M PM BC PM 2 故答案为 2 如图3 作PG AB 交AB所在直线于点G D1 E1在以A为圆心 AD为半径的圆上 当BD1所在直线与 A相切时 直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大 此时四边形AD1PE1是正方形 PD1 2 则BD1 2 故 ABP 30 则PB 2 2 故点P到AB所在直线的距离的最大值为 PG 1 故答案为 1 4 2016宿迁 已知 ABC是等腰直角三角形 AC BC 2 D是边AB上一动点 A B两点除外 将 CAD绕点C按逆时针方向旋转角 得到 CEF 其中点E是点A的对应点 点F是点D的对应点 1 如图1 当 90 时 G是边AB上一点 且BG AD 连接GF 求证 GF AC 2 如图2 当90 180 时 AE与DF相交于点M 当点M与点C D不重合时 连接CM 求 CMD的度数 设D为边AB的中点 当 从90 变化到180 时 求点M运动的路径长 考点 几何变换综合题 分析 1 欲证明GF AC 只要证明 A FGB即可解决问题 2 先证明A D M C四点共圆 得到 CMF CAD 45 即可解决问题 利用 的结论可知 点M在以AC为直径的 O上 运动路径是弧CD 利用弧长公式即可解决问题 解答 解 1 CA CB ACB 90 A ABC 45 CEF是由 CAD旋转逆时针 得到 90 CB与CE重合 CBE A 45 ABF ABC CBF 90 BG AD BF BGF BFG 45 A BGF 45 GF AC 2 CA CE CD CF CAE CEA CDF CFD ACD ECF ACE CDF 2 CAE ACE 180 2 CDF DCF 180 CAE CDF A D M C四点共圆 CMF CAD 45 CMD 180 CMF 135 如图 O是AC中点 连接OD CM AD DB CA CB CD AB ADC 90 由 可知A D M C四点共圆 当 从90 变化到180 时 点M在以AC为直径的 O上 运动路径是弧CD OA OC CD DA DO AC DOC 90 当 从90 变化到180 时 点M运动的路径长为 点评 本题考查几何变换综合题 等腰直角三角形的性质 平行线的判定和性质 弧长公式 四点共圆等知识 解题的关键是发现A D M C四点共圆 最后一个问题的关键 正确探究出点M的运动路径 记住弧长公式 属于中考压轴题 5 2016吉林 1 如图1 在Rt ABC中 ABC 90 以点B为中心 把 ABC逆时针旋转90 得到 A1BC1 再以点C为中心 把 ABC顺时针旋转90 得到 A2B1C 连接C1B1 则C1B1与BC的位置关系为 2 如图2 当 ABC是锐角三角形 ABC 60 时 将 ABC按照 1 中的方式旋转 连接C1B1 探究C1B1与BC的位置关系 写出你的探究结论 并加以证明 3 如图3 在图2的基础上 连接B1B 若C1B1 BC C1BB1的面积为4 则 B1BC的面积为 考点 几何变换综合题 分析 1 根据旋转的性质得到 C1BC B1BC 90 BC1 BC CB1 根据平行线的判定得到BC1 CB1 推出四边形BCB1C1是平行四边形 根据平行四边形的性质即可得到结论 2 过C1作C1E B1C于E 于是得到 C1EB B1CB 由旋转的性质得到BC1 BC B1C C1BC B1CB 等量代换得到 C1BC C1EB 根据等腰三角形的判定得到C1B C1E 等量代换得到C1E B1C 推出四边形C1ECB1是平行四边形 根据平行四边形的性质即可得到结论 3 设C1B1与BC之间的距离为h 由已知条件得到 根据三角形的面积公式得到 于是得到结论 解答 解 1 把 ABC逆时针旋转90 得到 A1BC1 再以点C为中心 把 ABC顺时针旋转90 得到 A2B1C C1BC B