高三数学基础知识.docx

高三数学基础知识讲义第一讲 创新、求活、抓好基础一、高考要求：1对数学基础知识的考查，要既全面突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容要占有较大的比例2不刻意追求知识的覆盖面，在知识网络的交汇处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度，注重，法，三点的特殊技巧3在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，重视试题的基础性，现实性和层次性，注重创意比较新颖的问题情境二、试题选析：例1(07全国12)设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若，则A9 B6 C4 D3解：设点A(xA，yA)B(xB，yB)C(xC，yC)由题意知F(1，0)xA1xB1xC1=0即xAxBxC=3=(xA)(xB)(xC)=(xAxBxC)3=33=6(根据抛物线定义P=2)选(B)此题把平面向量的应用与抛物线的定义相结合，好！例2(07北京14)，已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则fg(1)的值为_1_；满足fg(x)gf(x)的x的值是_2_解：g(1)=3，fg(1)=f(3)=1 当x=1时，g(1)=3，f(3)=1 当f(1)=1时，g(1)=3，不适合fg(x)gf(x)同理可验证x=2，x=3时，fg(x)5gf(x)的大小关系发现当x=2时，g(2)=2，f(2)=3有fg(2)gf(2)成立，x=2此题考查复合函数的概念，和学生推理分析的能力，对于函数的给出，利用列表形式也很新颖例3(07天津10)设两个向量=(2，2cos2)和=(m，sin)其中、m、为实数，若则的取值范围是(A)A6，1 B4，8 C1，1 D1，6解： 由得=2由得4m29m=2sincos24=sin22sin3=(sin1)2264m29m2 m2可得=26，1 选(A)此题将平面向量、三角函数不等式综合一起，说明小题一样综合例4(07江苏9)已知二次函数f(x)=ax2bxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，都有f(x)0，则的最小值为(C)A3 B C2 D解：f(x)=ax2bxc f(x)=2axb f(0)=b0 对xR，f(x)0 =b24ac0 =1 b24ac，得b2，1111=2(当且仅当a=c时取“=”号) 选(C)此题把导数知识与均值不等式很自然结合，使试题新颖，活泼例5(07四川6)设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离是，且二面角BOAC的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是(C)A B D解：由题意知AOB=AOC= BOC=，=，=，=2=从A点沿球面经B、C再回到A点的最短距离为选(C)此题突出了球面上两点间的距离的概念，球面上两点间的最短距离为球大圆的弧线长三、例题解析 抓好基础题不等于抓简单题答易题，要注意基础题中的数学思想，数学方法和数学能力，小题、基础题一样可得分，知识是得分的载体，基础题也越来越新颖、灵活1定点N(1，0)，动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线部分上运动，且ABx轴，则NAB的周长L的取值范围是(B)A(，2) B C(，4) D(2，4)解：注意AN、BN分别为抛物线、椭圆上的焦半径，据定义，有AN=AH，BN=BK，(椭圆离心率e=)，x=4为椭圆准线，L=NAABBN=HAABBK 设曲线y2=1的一个交点P的横坐标为， 当ABx轴且向P点趋近时，AH1、AB0、BKL当ABx轴且向x轴趋近时，AB2、HA1、BK(2) L4 则C的取值范围是(，4)选(B)2函数f(x)=(xR)，若，则f(x1)f(x2)= 又若nN时，=_ f(x1)f(x2)= =设Sn=Sn=f()f()f()二式相加，得2Sn= (f(x1)f(x2)=) Sn=3函数y=xcosxsinx在下面哪个区间为增函数(B)A() B C D()解：y=xsinx0，而x0，sinx0则x()时，y=xcosxsinx为增函数选(B) 注意：增函数，到导数0三函数求导方法4、已知x、y满足：(xy1)(xy)0，则(x1)2(y1)2的最小值为解：此题求什么？求的是点P(x，y)到点A(1，1)距离平方的最小值，P点在哪里？P点在或的可行域中作图可知：若如gh 图=(x1)2(y1)2min=2若可行域如上图2=则min=5、已知：两个非零向量=(m1，n1)，=(m3，n3)，且与的夹角是钝角或直角，则mn的取值范围是(D)A B C(，3) D(2，6)解：=(m1，n1)可看成，A(1，1)P(m，n)=(m3，n3)可看成，B(3，3)由于与的夹角是钝角或直角，点P在以AB为直径的圆面内，如图：又(mn)2=m2n22mn(m0，n0) 2(m2n2) 即为 而26mn(2，6)，不能有等号，为直角或钝角解得：从cos=解mn的取值范围，比较麻繁：略四：练习：1设O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)点P是线段AB上一个动点，若，则实数的取值范围是(B)A1 B C D2已知函数f(x)=在()上单调递减，则实数a的取值范围是3已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点()对称第二讲 函数与函数思想一、高考要求：1对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解2函数现函数思想，方程思想是利用变化对应的观点，将方程的等式等问题利用函数问题去解决，化静止为运动，化特殊为一般贯函数学的全过程3函数思想主要用于求变量的取值范围，解的等式，对方程的讨论，曲线位量，函数性质，集合关系等等，是高考试题中的“热门”问题二、试题选析：例1：(07浙江13)不等式的解集解：不等式化为看成函数的值小于函数的函数值时，x的取值范围，在同一个坐标下作的图象例2：(07全国16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为解：如图，以为直角顶点，、为另二顶点作于E，作于F，由已知知在中，所以： 解得：所以此题体现了方程的思想将所求问题转化为一方程求解例3：(06江西6)若不等式对一切成立则a的最小值为( )A0 B2 C D3方法一：设函数，时，恒成立，分离变量，在上单调递减，在处取得最小值，选(C)方法二：转换变量设，选(C)注意对问题的灵活处理：例4：(06辽宁10)直线y=2k，与曲线(kR且k0)的公共点的个数为(D)A1 B2 C3 D4解：即是选择题，不妨设k=1则原方程变为当x0时，曲线为当x0时，曲线为作画图象：有4个交点，选(D)三、例题解析：1方程无实数根，求：实数a的取值范围解：设方程无实数根如图：等价于，即：，解出：2已知方程在内有解：则m的取值范围是方程可化为设y1=mx，原问题化为曲线与在x内有交点，作出图象3设不等式对满足的一切实数m都成立，则实数x的取值范围是解：对恒成立，则即解出4不等式恰有一解，则a=2设函数，不等式：恰有一解，即为在y0，y4的区域内函数y的图象仅有一个点，如图：相当于函数y的顶点纵坐标等于4，而a=25(05天津10)若函数在区域上，单调递增，则a的取值范围是解：函数在上单调递增，若a1时，只要，故与矛盾若时，只要即可故，即6对任意实数时，函数的值总大于零，则x的取值范围是x1，x3解：是x的二次函数，转换变量为a的一次函数，原题等价于成立即解出：x1，x3四、练习：1不等式：的解集为2数列为等差数列，为其前a项和，若3函数在上有意义，则实数a的取值范围是4关于x的不等式：的解集为(0，)则实数5若关于x的方程只有一个解，则6若、都是定义化R上的函数且方程有实数解，则不可能是(B)A B C D7已知函数是R上单调减函数，点A(0，2)，点B(3，2)是其图纸上的两个点，则不等式的解集为x1，x28若将函数展开关于x的多项式后，其各项系数和为，则第三讲 数形结合解题一、高考要求： 1对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性，应用性，并切合考生实际 2对空间想象能力的考查，表现对图形的识别、理解和加工，考查时要与运算能力，逻辑思维能力相结合 3数形结合是重要的数学思想方法，它把数学关系的精确刻划与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题转化，变更为简单的熟悉的问题来解决 4高考重点考查的形释数，同时考查以数解形，要充分发挥“形”的形象性、直观性、数的深刻性、精确性、弥补形的表面性、数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用二、试题选择：例1(07湖南14)设集合，AB (1)b的取值范围是b1 (2)若AB且x2y的最大值为9，则b的值为解：A、B集合表示的区域如图：此处有图 (1)AB从图象可知b1 (2)平行移动直线yx，我们发现最优点为C(0，b)将C代入就有02b=9 b=例2：(07重庆9)已知定义域为R的函数f(x)在(8，)上为减函数且函数y=f(x8)为偶函数，则( )Af(6)f(7) Bf(6)f(9) Cf(7)f(9) Df(7)f()解：y=f(x8)为偶函数 f(x8)=f(x8)即f(8x)=f(8x)所以函数图象，关于x=8对称，又x(8，)时，f(x)单调递减，则x(，8)，f(x)单调递增，作出示意图：f(7)f(10)选(D)例3：(07全国6)不等式0的结果是( )A(2，1)B(2，)C(2，1) (2，)D(，2) (1，)解：原不等式可等价化为0在数轴上利用“穿据法”表示如下：所以原不等式的解为(2，1) (2，)例4：(06北京5)已知f(x)=上的减函数那么a的取值范围是(C)A(0，1) B(0，) C(，) D(，1)解：f(x)是R上的减函数 0a1如图所示：解出例5：(06浙江12) 对a、bR，记max=函数f(x)=max(xR)的最小值是解：在同一坐标系中，分别画出其图象，得到如图所示的图形：据题意：f(x)的图象为图中的射线PA、PB构成由解得函数f(x)的最小值为(P点纵坐标)三、例题解析： 1奇函数f(x)(x0)在(0，)上为增函数，且f(1)=0那么不等式f(x1)0的解集是解：据题意，画出如下图形。f(1)=0则f(1)=0f(x1)0为函数值小于零时，自变量的取值范围即，x11或0x11解得x0，1x2 2解关于x的不等式sin2x(a0，a1)当x(0，时恒成立，则实数a的取值范围是若sin2x(a0，a1)在x(0，上恒成立只有0a1且1解出 3分别是方程xlgx=3和x=3的根则=3解：这是超越方程，求不出 和 的值，而用几何图形则可以使问题迎刃而解。方程xlgx=3可转化为lgx=x3则可看做函数=lgx与函数y=x3的交点横坐标作出其图象：同理作为y2=10x的图象，=lgx与=互为反函数其图象关于y=x直线对称(如图)AM=MB故AC=BD因此，=3 4已知函数f(x)= 且f(2)=2则方程f(x)=x解的个数为3解： 5实系数一元二次方程x2ax2b=0的一根在(0、1)内，另一根在(1、2)内，则的取值范围是解：设f(x)=x2ax2b由于一根在(0，1)内另一根在(1，2)的有设a=可看成是点(a、b)到点(1、2)的斜点(a、b)代的区域内，作出证明点(a、b)在ABC内从可知A(3，1) KQC=1从可知B(2，0) KQA=从可知C(1，0) a=a1则(，1) 6方程=k(x2)2恰有两解，则k的取值范围是解：设y1=，y2=k(x2)2可知从y22=k(x2)知此方程表示过定点(2，2)斜率为k的直线原定点为过定点(2，2)的直线若与半圆x2y2=1(y10)恰有两个交点求斜率k的范围如图：可知Kpo=1KPQ=四、练习 1方程：2xx2=2x1的解的个数为3个 2函数f(x)=(x2)的极大值为0(x0)极小值为1(x0) 3不等式：X1的结果是 4若loga2logb20，则(B)A0ab1 B0ba1 Cab1 Dba1 5已知AB为抛物线x2=2pg(p0)的长度为a的动弦(a2p)(A、B在抛物线上)，则AB中点C到x轴的最近距离为 6若直线y=kx15双曲线x2y2=1的交于不同的两点，则k的取值范围是 7已知m1，n1且，当a在内变化时，t=loga(mn)的取值范围是 8若关于x的方程SinXCOSX=m在0.2上有两个不同的实根 (1)求实数m的取值范围； (2)求的值第四讲 转化与化归的思想一、高考要求： 1会对问题或资料进行观察，比较，分析，综合，抽象与概括，会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地准确地进行表述。 2思维能力是数学学科能力的核心，以数学知识为景材，通过空间想像，直觉猜想，归纳抽象，符号表示，运算求解，演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式，数量关系和数学模式进行思考和判断，将未知的数学问题转化或归纳成已知问题进行求解。 3实践能力，创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”是发现问题和解决问题的重要途径，而“转化与化归”是解决问题的重要手段。二、试题选析： 例1（07全国I-6）下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（ ）A（1，1） B（-1，1） C（-1，-1） D（1，-1） 答案：C解：方法一：数形转化。将问题转化为图形， 如图：所求之点既要在所示区域中，又要到直线的距离为，从图可知，只有（C）（-1，-1）点合适。例2（07全国I-16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_。 答案：解：如图所示，将立体几何问题向方程转化。作于E，作于F，由题知在中，； 在中， 所以， 解出 所以这里的解题思路：这类问题不一定要用数形转换，有的时候可以把一个立体几何问题转化为一个方程问题来解决。例3（07全国II-12）设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若则 A9 B6 C4 D3解：利用向量关系进行转换，把转换出来，F（1，0）。如图所示，把向量问题向坐标转换。 设， 即：再根据抛物线的几何特点，A、B、C为该抛物线上三点，则，因此，=6 例4（07福建-11）已知对任意实数，有，且时，则时（ ） A B C D 答案：B解：利用函数的性质，利用倒数的性质来转化解题。从知为奇函数， ，知道为偶函数，这里言外之意就是可以用奇偶性质来解题。时，说明递增。同样，时，说明单调递增，利用图形，如图所示： 由于是奇函数，时仍为递增函数 所以。由于为偶函数，所以当，单调递减，因此，。所以，应该选B。这里的解题思路是利用函数的性质和倒数的意义进行转化，使题目迎刃而解。例5求函数的最值。（三角转换）解：如果我用三角变换的方法，可以解出本题，但是不好解。如果用还原的方法求解本题就比较简单。设，则，所以，。这时原函数可化为，在换元时要注意，这时，如图示：因此，t=-1时，；，三、例题解析：1设，求和： 解：注意找“规律”从特殊向一般转化 = 所以，原式= =反思：一般成立、特殊也成立、从特殊找一般性的规律，把问题化归为一简单型问题求解。2已知不等式：恰有一解，求。 解：注意“数形转化”设，则，恰有一解的意义是函数的图象在，确定的区间中恰有一个点，即的顶点纵坐标为4。 解出：3求函数的最大值。 解：利用函数性质不易求，但经过“三角”转换很易求。 先考虑， 可设， 代入原式= 函数的最大值为4正三棱锥S-ABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为，过底面顶点作截面交侧棱SB、SC分别于M、N两点，求周长的最小值。 解：注意空间与平面的转化，利用平面解决问题，将正三棱锥沿侧棱SA剪开，得展开图：易知就是的最小值。由于 ，侧棱长=2 的周长最小值为。5已知抛物线，中至少有一条与轴相交，求实数的取值范围。 解：设三条抛物线与轴都不相交，则问题转化为求三条抛物线都不与轴相交时的取值范围。 由： 解得：。故所求的取值范围是反思：一般地，若正面情况较为复杂，我们就可以考虑它的反面情况，再利用其补集求解，此法也可称为“补集思想”。在使用“转化”与“化归”思想解题时，还可以利用“变量与常量”、“整体与局部”、“相等与不等”的转化求解。请在解题时注意：1要认准化归目标，保证“化归”的有效性，规范性；2注意“化归”不等价性，确保逻辑上的正确；3注意“转化”方法的多样性，设计合理的转化方案。四、练习1已知时，是偶函数 则时，的表达式是（ ） A B C D 答案：C2已知二次函数，若区间内至少存在一个实数C，使，则实数P的取值范围是（ ） A B C D 答案：C3设，且，恒成立，则的最小值是（ ） A B2 C D1 答案：C4已知的图象如图： 则（ ） A B C D 答案：A5已知、，且，求证：6求函数的最值。7若、都是定义在R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（ ） A B C D 答案：B8设是定义在R上的增函数，且，若，求的取值范围。 答案： 第五讲 分域讨论思想一、高考要求1. 考查基础知识的同时注重考查能力。2. 注重对数学思想和方法的考查，重视试题的基础性，综合性和现实性，坚持多角度，多层次的考查。3. 分域讨论的思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情况，使条件具体化，难点分散证，并对每种情况分别讨论，各个击破，最终使整个问题获解，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类性的思想方法。4. 分类或分域，必须按同一标准划分，做到不重不漏，同时也要注意优化策略或转化策略，如反证法、补集法、换元法、数形结合法等等。简化、甚至避开讨论。分域讨论是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无硬性的规定。二、试题选析例1. （07浙江-17）设m为实数，若，则m的取值范围是_。 答案： 解：由题意知，可行域应在圆内，如图： 如果中 ，则可行域取到，不能在圆内。 ，即时， ，绕原点旋转直线过B点时的边界位置COB ，。 注意：对m的讨论两种情况，分而求之，最后得解。例2. （06-重庆-9）如图所示：单位圆中弧的长为，表示弧与弦AB所围城的弓形面积的2倍，则函数的图象是（ ）。 答案：Dy=x 解： = 对的取值范围讨论： 1. 时，图象在直线下方。 2. 时，图象在直线上方。 选（D）例3. （06福建-10）已知双曲线，的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）。 答案：C A. B. C. D. 解：设直线方程为，将直线与双曲线方程联立，消去 得： 对讨论： （1）时符合题意 ，排除（B）（D） （2）时， ， ， 综上： 选（C）例4. （06辽宁-10）直线与曲线，（且）的公共点的个数为（ ） 答案：D A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 即 由于此题为选择题，不妨设，特殊化思想！ 对讨论： i）时，曲线为 ii）时，曲线为 作图为： 作图观察与恰有4个交点 选（D）例5. （06江西-3）若，则不等式等价于（ ） 答案：D A. 或 B. C. 或 D. 或 解：对讨论： i）时，从中 ii）当时，从中 讨论即可解决 选（D）三、例题解析 分域讨论可直接从定义讨论，如分段函数，含有绝对值问题等等。1. 对、，记函数 的最小值为_。 答案：2 作图： 2. 已知函数则的值域是（ ） A. B. C. D. 解： 如图： 选 （C）3. 解不等式： 对m讨论： i）时，解出， 结合：， ii）时， 结合：，或 时， 时，或。注意：对“对数底数”讨论！4. 若直线与双曲线无公共点，求的取值范围。 解：联立消去， 得 对二次项系数讨论： i）时，得，有交点不合题意； ii），时，令 即：，得 故所求的取值范围是或。5. 已知等比数列的前n项之和为，前项之和为，公比令，求。 解：当时， 当时， 当时， 当时， 综上：，对公比讨论！6. 已知常数，向量，经过定点以为方向，向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点P， （I）求点P的轨迹C的方程； （II）若，过的直线L交曲线C于M、N两点；求的取值范围。 解：此题是平面向量与解析几何交汇问题，平面向量转化为解n知识，当直线的位置不确定时要对斜率存在，不存在两种情况讨论！ 设，则，又， 故， 由已知与平行：故 与平行：故 联立消去参数，得点P的轨迹方程为： 即： （2），故点P的轨迹方程为 此时点为双曲线的焦点。i）若直线的斜率不存在，其方程为，与双曲线交于点，此时ii）若直线的斜率存在，设其方程为，代入，化简得： 直线与双曲线交于两点， 且， 设两交点为，则 ， 此时， = 当时， 故 当或时， 故 故 的取值范围是四、练习1. 设则所有可能的不相等的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 多于5个 答案：C2. 不等式：的解集_。 答案：3. 函数 若，则的所有可能的值为_。 答案：4. 方程：，表示的曲线是_。 答案：5. 若关于的方程：有实根，则的取值范围是_。 答案：6. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是_。 答案：7. 已知函数，的定义域为，值域为，求常数、的值 答案：或8. 已知椭圆，设直线与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。 答案：（最大时） 第六讲 归纳与探索一、高考要求：1数学科高考旨在考查中学数学的基础知识，基本技能，基本思想和方法。考查思维能力，运算能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，归纳与探索的能力。2数学的思想方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含意上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。3对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力强调探究性，综合性，应用性，坚持多角度，多层次地考查。二、试题选析：例1（全国试题）如图，在直四棱柱中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有，（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）分析：这道题的结论已经给出，需要补充其中的一个条件，我们可从结论入手，探索、寻求所需条件，也可把这个四棱柱变回正方体猜想。解一：为直四棱柱，在平面ABCD的射影为AC 又 当时，则有，故填上：解二：联想正四棱柱具有性质：，因而填上“正方形”即可，类似地也可填上“菱形”等条件。反思：对于条件不完备需要补充条件的，我们可以“执果索因”从结果去探索，猜想。例2（05 天津-16）设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则分析：是上的奇函数， 又图象关于对称，所以有 T=2 ， 故注意：探索寻求规律。例3（05-山东-6）函数 若，则的所有可能值为 （ ） A1 B1， C D1， 答案：B分析：，要知 从可知10， ，则只能为1。 若在（-1，0）内， （）怎么为1？探索两种情况：，但 ，若， 故的可能值为1， 选 （B）例4（05全国I-11）用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的五根细木棒围城一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A B C D分析：令 由海伦公式 = 由于“=”成立的条件为 不满足，等号成立不了，便排除（C）（D）。 由以上不等式推测猜想三边时面积最大，故猜想、三边长最接近时面积最大，此时的三边长为7，7，6，面积为，故选 （B）也可联想：定长线数1围城封闭图形时，圆面积最大，围成多边形时，正多边形面积最大，不能围成正多边形时边长差越小面积越大！选 7，7，6，体现探究、猜想。例5（04全国III-12）设函数为奇函数， 则 （ ）找规律，探索解题方向。 A0 B1 C D5分析： 奇 特殊方法，探索：设， 则 直接求法：令， 令， 令得 三、例题解析1（上海高考题）在等差数列中，若，则有等式： （，）成立，类比上述性质。相应地：在等比数列中，若则有等式： （，）成立。解：（1）从分析所给性质入手探索： 由 ，可得， 因而当n19时， 有 而 同理可得时的情形，等式成立。 由此可知：等差数列之所以有等式成立的性质关键在于等差数列中有性质： ，类似地，在等比数列中，也有性质： 因而得到答案： （，）注意：从经验知，中等差中项的和的性质在中就有类似的项的积的性质， 中 中 知因而猜想2（上海考题）若四面体各棱长分别为2和1，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_（只需写出一个可能的值）分析：关键在于有几条棱长为2，几条棱长为1。据题意作图如下：只有这三种情况。从（1）可计算出其体积为从（2）可计算出其体积为从（3）可计算出， =如果此题改为各棱长均为2或1，但不是正四面体，怎样安排最大体积是_。 答案：3已知等差数列，等比数列，且，（），当时，与哪一个大？证明你的结论。分析：先通过特例探索结论的大致方向。 取试试情形。 解：设，公差为，公比为，由得 即，而，且， 即 即 = = = 即 反思：在这里不仅为我们探明了结论更为我们探出了解决问题的思路。4是否存在实数、使关于的不等式：的解为？若存在，请解不等式，若不存在，说明理由。分析：根据不等式的解与方程根的关系知 不等式应为 ，（）故存在、，只要即可，在此条件下，不等式：，变为： ，反思：由不等式解的结构逆推出、之间关系所满足的条件，逆向思维、探索、寻找出解题方向。5A、B、C为的三个内角，若若任意交换两个角的位置，的值是否变化？证明你的结论。分析：是对函数进行化简探索，能否成为一种轮换式？解： （） = = =所以任意交换两个角的位置，的值不会改变。反思：化简、探索，也可用特殊值办法验证。探索：如令，把A、B互换，也可验出值不变，但计算麻烦，不宜使用。四、练习1已知，且，则为 （ ） A3 B-3 C6 D-6 答案：A2椭圆的焦点是、，椭圆上求一点P，使它满足，则下面结论正确的是（ ） A点P一定存在 B点P一定不存在 C欲求点P还需条件 D以上结论都不对 答案：B3在空间四边形ABCD中，边AB、BC、CD、DA所在的直线互相垂直的最多有（ ） A6对 B5对 C4对 D3对 答案：D4已知函数，（n=1,2,3） 是（ ） A B C D 答案：C5已知，都有成立，你能把它推广到三个字母的情形吗？写出作的一个推论，并加以证明。 答案：，用数学归纳法证明6已知数列及，试问：是否存在这样的自然数n，使成立？若存在，求出所有满足条件的n，若不存在，请加以说明。 答案：n=2 或 n=4时7已知，是否存在常数、，使得的值域为，若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由。 答案：存在：，8观察下面排列：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 问：这个排列里第n行的最后一个数是多少？第n行各数之和是多少？ 答案：， 第七讲 函数与导数一、高考要求函数是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础。函数的观点和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题及其他问题中。导数作为新课程新增内容，近几年已由解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题中必不可少的工具。高考中对“函数与导数”的要求是“稳中求进” 注意以下几点：以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、函数图像与简单性质。以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、图形函数的应用等等。以分式函数、三次函数等复合函为主体的函数性质。考查函数的性质、极限、导数的概念与几何意义、导数的应用。解答题的考查重点是利用导数确定非初等函数的单调性、极值与最值。解决与不等式、方程相关的综合问题，最后压轴题可能设计函数、三角、解析几何等知识的综合起来提高难度。二次函数、二次方程、二次不等式的综合题型会渗透在各问题中进行综合、灵活考查。二、试题选解例1.（07 江苏9）已知二次函数d的导数为对于任意实数,都有，则的最小值为（C）A 3 B C 2 D 解：由题意可知 得 （当且仅当时取“=”号）例2（07 福建 11）已知对任意实数，有 且时， 则时（B） A B C D解：由题意知为奇函数 为偶函数 （） 根据奇函数在对称区间上单调性相同可知时而偶函数在对称区间上单调性互异时，例3（07湖北文13）已知函数的图像在点M处的切线方程是，则 解：在点M处的切线方程为 而 导数的几何意义例4（07 全国 8）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（A） A 3 B 2 C 1 D解： （） 令 解之 或 则切点横坐标为3例5（07 陕西 11）是定义在上的非零可导函数，且满足对任意正数，若，则必有（C） A B C D解：设函数 故在上递减 又 当时 三、例题详解应用导数知识研究函数的性质，特别是函数单调性问题，最值问题的研究成为高考热点，对于导数知识的综合应用不仅有小题，也有解答题，要深刻理解导数的意义及求导方法。1.（06 全国 16）设函数 若是奇函数，则解： 若为奇函数，即: 又 注意：三角函数的化解，奇函数的性质。2.（06 天津 9）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（A）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 解：要想成为极小值点，应有先减后增的特点，如图上的几个与轴的交电中，A的左侧是递增，不符合；B的左侧是递减，右侧是递增 所以 B点为极小值点 C点也不符合要求 故是（A），只有一个极小值点3.（07 陕西 文 21 ）已知，在区间上是增函数，在区间上是减函数。又（1）求的解析式（2）若在区间上恒有成立，求m的取值范围。解：（1） 由已知得 (2)令 即 或 又在区间上恒成立 4.已知，函数在上有极值，求m的取值范围。分析：函数在已知区间上存在极值，即有解，且在两侧区间上导函数值异号。解：令 即 若则有两个相等实根。 故不是函数的极值若则有两个不相等的正根和（不妨设）且的符号如下 0 故函数在处取得极大值 处取得极小值由 得 实数m的取值范围是或四练习1.过原点做曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为。2.已知时，恒