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3 2 3指数函数与对数函数的关系 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 知识探究 1 反函数 1 互为反函数的概念当一个函数y f x 中x任取一个值时 y有唯一确定的值与之对应 反之 y任取一个值时 x有唯一确定的值与之对应 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 而把这个函数的自变量作为新的函数的 我们称这两个函数互为 2 反函数的记法 函数y f x 的反函数通常用来表示 2 指数函数与对数函数的关系函数y ax a 0 a 1 与y logax a 0 a 1 互为 互为反函数的两个图象在同一坐标系内关于直线对称 自变量 因变量 反函数 y f 1 x 反函数 y x 拓展延伸 1 若点P m n 在函数y f x 或在反函数y f 1 x 的图象上 则点P n m 在反函数y f 1 x 或在函数y f x 的图象上 利用这种对称性去解题 常常可以避开求反函数的解析式 从而达到简化运算的目的 2 指数函数y ax与对数函数y logax的图象 性质对比 自我检测 B 2 函数y log3x的定义域为 0 则其反函数的值域是 A 0 B R C 0 D 0 1 A 解析 原函数的定义域恰好是其反函数的值域 3 y 2x与y log2x的图象关于 A x轴对称 B 直线y x对称 C 原点对称 D y轴对称 解析 由反函数的定义知y 2x与y log2x互为反函数 所以它们的图象关于直线y x对称 选B B 答案 y 4x 类型一 指数函数与对数函数图象的关系 课堂探究 素养提升 例1 已知a 0 且a 1 则函数y ax与y loga x 的图象只能是 思路点拨 可以从图象所在的位置及单调性来判别 也可利用函数的性质识别图象 特别要注意底数a对图象的影响 解析 法一首先 曲线y ax只可能在上半平面 y loga x 只可能在左半平面 从而排除A C 其次 从单调性着眼 y ax与y loga x 的增减性正好相反 又可排除D 故选B 法二若01 则曲线y ax上升且过点 0 1 而曲线y loga x 下降且过点 1 0 只有B满足条件 故选B 法三如果注意到y loga x 的图象关于y轴的对称图象为y logax 又y logax与y ax互为反函数 图象关于直线y x对称 则可直接选定B 方法技巧要养成从多角度分析问题 解决问题的习惯 培养思维的灵活性 变式训练1 1 在同一平面直角坐标系中 函数y1 a x y2 logax 其中a 0且a 1 的图象只可能是 类型二 反函数性质的应用 思路点拨 先由A 1 2 在函数f x 的反函数图象上得出A 2 1 在f x 的图象上 然后建立关于a b的方程组求解 方法技巧利用互为反函数的图象关于直线y x对称 可由反函数图象过A 1 2 点得原函数图象过 2 1 点 可简化运算过程 达到事半功倍之功效 变式训练2 1 若a 0且a 1 函数f x ax 2 1的反
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