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例谈高考数学的分类讨论思想一、概念型分类讨论问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的如的定义分、三种情况这种分类讨论题型可以称为概念型 例1、解不等式分析：由于实数的绝对值概念是分类定义的：因此应从及求出的取值范围，然后求出零点，对未知数进行分类讨论，去掉绝对值符号解：当时，原不等式可化为解之，得：；当时，原不等式可化为解之，得：；当时，原不等式可化为解之，得：综上所述，原不等式的解集为例2、讨论方程表示什么曲线分析：由于方程是二次的，所以方程表示二次曲线因此应依据圆、椭圆、双曲线的定义进行分类讨论又由于焦点位置在哪条坐标轴上是不确定的，所以还需要进行二级分类解：当，即时，原方程为，它表示以原点为圆心，为半径的圆当或，即或或时，原方程表示双曲线当时，原方程表示实轴在轴上，中心在原点的双曲线；当或时，原方程表示实轴在轴上，中心在原点的双曲线当，即或时，原方程表示椭圆当或时，原方程表示长轴在轴上，中心在原点的椭圆；当或时，原方程表示长轴在轴上，中心在原点的椭圆二、性质型分类讨论问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的如等比数列的前项和的公式，分和两种情况这种分类讨论题型可以称为性质型例3、设是由正数组成的等比数列，是其前项和求证：分析：应根据等比数列求和公式的限制条件进行分类讨论证明：设的公比为，由题设知，当时，从而；当时，从而由、知：根据对数函数的单调性，得：即例4、已知为正整数，实数，解关于的不等式解：原不等式左端化为原不等式化为当为奇数时，原不等式化为，解之，得：；当为偶数时，原不等式化为，解之，得：综上所述，当为奇数时，原不等式的解集为；当为偶数时，原不等式的解集为三、含参型分类讨论解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论如解不等式时分、和三种情况讨论这种分类讨论题型可以称为含参型例5、解方程解：去分母，得：当时，方程无解，所以原方程无解；当时，则有当时，；当或时，原方程无解当时，原方程的解为四、不确定型分类讨论问题中涉及到某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性这种分类讨论题型可以称为不确定型例6、高为，底面半径为的圆锥中，截面为等腰三角形时，求最大的截面面积解：由圆锥的截面为等腰三角形知截面必过顶点，设圆锥的母线为，截面三角形的顶角为，则当圆锥的轴截面顶角满足时，则可取值，故的最大值为；
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