高考数学大一轮复习 基本不等式精品试题 理（含模拟试题）(1).doc

2015届高考数学大一轮复习 基本不等式精品试题 理（含2014模拟试题）1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，4）已知实数满足，则的值域为（ ）（a） （b） （c） （d）解析 1. 由得，所以.2. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，7) 若实数、满足，则的取值范围是（ ） a. b. c. d. 解析 2.因为，所以，所以，即；又因为，所以，所以的取值范围是.3. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知，是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（ ）a. 2 b. c. 4 d. 解析 3. 是互相垂直的单位向量，设，由，即，当且仅当时取等号，故的最小值为.4.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，7，5分）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元.年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是()a. 8年 b. 10年c. 12年 d. 15年解析 4.设使用年的年平均费用为万元，则，当且仅当，即时等号成立，故这辆汽车报废的最佳年限是10年.5.（2013山东，12,5分）设正实数x, y, z满足x2-3xy+4y2-z=0. 则当取得最大值时, +-的最大值为()a. 0b. 1c. d. 3解析 5.由x2-3xy+4y2-z=0, 得z=x2-3xy+4y2,=.又x、y、z为正实数, +4,当且仅当x=2y时取等号, 此时z=2y2.+-=+-=-+=-+1, 当=1, 即y=1时, 上式有最大值1, 故选b.6.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 14) 已知均为正实数，且，则的最小值为_.解析 6. 因为均为正数，且，所以，解得或（舍去），所以9，当且仅当时取等号.故的最小值为9.7. (2014广东广州高三调研测试，12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_. 解析 7. 由导数的几何意义，又因为，所以，故.8.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，13）若，则的最大值为 解析 8. (当且仅当时等号成立).9.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，12）已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则的最小值为 解析 9. ，而，所以的最小值为18.10. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），10) 已知是内的一点，且，若，和的面积分别为，则的最小值是 . 解析 10. 由已知得 ，即，而.11. (2014天津七校高三联考, 12) 若点(-2, -1) 在直线上，其中，则的最小值为 解析 11. 点在直线上，即，又，当且仅当，即时取等号.故的最小值为8.12.(2014广州高三调研测试, 12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 解析 12. ，又，即的取值范围是.13.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，14,5分）已知椭圆是椭圆上两点，有下列三个不等式. 其中不等式恒成立的序号是. （填所有正确命题的序号）解析 13.对于，不妨设，易知当直线与椭圆在第一象限相切时，取得最大值，由，得，令，得，此时，故此时. 故. 故. 故正确；对于，在式中，令，得，故正确；对于，由两式相乘得，故.故. 故. 故正确.14.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，13,5分）已知向量的模长都为，且，若正数满足,则的最大值为 .解析 14. 由平方，得, 得，化简得，解得. 即的最大值为2.15.（2013陕西，15a, 5分）已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn) (bm+an) 的最小值为.解析 15.(am+bn) (bm+an) =ab(m2+n2) +mn(a2+b2) 2mnab+mn(a2+b2) =mn(a+b) 2=mn=2,当且仅当m=n=时等号成立.16.（2013江苏，13,5分）在平面直角坐标系xoy中, 设定点a(a, a), p是函数y=(x 0) 图象上一动点. 若点p, a之间的最短距离为2, 则满足条件的实数a的所有值为.解析 16.设p,则|pa|2=(x-a) 2+=-2a+2a2-2,令t=x+2(当且仅当x=1时取“=” 号),则|pa|2=t2-2at+2a2-2.(1) 当a2时, (|pa|2) min=22-2a2+2a2-2=2a2-4a+2,由题意知, 2a2-4a+2=8, 解得a=-1或a=3(舍).(2) 当a 2时, (|pa|2) min=a2-2aa+2a2-2=a2-2.由题意知, a2-2=8, 解得a=或a=-(舍),综上知, a=-1或.17.(2013天津，14,5分) 设a+b=2, b 0, 则当a=时, +取得最小值.解析 17.a+b=2, +=+=+=+2=+1.当且仅当=且a 1时，函数f(x) g(x) 恒成立，求实数k的取值范围；() 设正实数a1，a2，a3，an满足a1+a2+a3+an=1，求证：ln(1+) +ln(1+) +ln(1+) .21.22.(2013课标，24,10分)设a, b, c均为正数, 且a+b+c=1, 证明:() ab+bc+ca;() +1.22.23.(2013课标，17,12分)abc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c, 已知a=bcos c+csin b.() 求b;() 若b=2, 求abc面积的最大值.23.答案和解析理数答案 1. c解析 1. 由得，所以.答案 2. a解析 2.因为，所以，所以，即；又因为，所以，所以的取值范围是.答案 3. b解析 3. 是互相垂直的单位向量，设，由，即，当且仅当时取等号，故的最小值为.答案 4.b解析 4.设使用年的年平均费用为万元，则，当且仅当，即时等号成立，故这辆汽车报废的最佳年限是10年.答案 5.b解析 5.由x2-3xy+4y2-z=0, 得z=x2-3xy+4y2,=.又x、y、z为正实数, +4,当且仅当x=2y时取等号, 此时z=2y2.+-=+-=-+=-+1, 当=1, 即y=1时, 上式有最大值1, 故选b.答案 6. 9解析 6. 因为均为正数，且，所以，解得或（舍去），所以9，当且仅当时取等号.故的最小值为9.答案 7.解析 7. 由导数的几何意义，又因为，所以，故.答案 8. 解析 8. (当且仅当时等号成立).答案 9. 18解析 9. ，而，所以的最小值为18.答案 10. 18解析 10. 由已知得 ，即，而.答案 11. 8解析 11. 点在直线上，即，又，当且仅当，即时取等号.故的最小值为8.答案 12. 解析 12. ，又，即的取值范围是.答案 13. 解析 13.对于，不妨设，易知当直线与椭圆在第一象限相切时，取得最大值，由，得，令，得，此时，故此时. 故. 故. 故正确；对于，在式中，令，得，故正确；对于，由两式相乘得，故.故. 故. 故正确.答案 14.2解析 14. 由平方，得, 得，化简得，解得. 即的最大值为2.答案 15.2解析 15.(am+bn) (bm+an) =ab(m2+n2) +mn(a2+b2) 2mnab+mn(a2+b2) =mn(a+b) 2=mn=2,当且仅当m=n=时等号成立.答案 16.-1或解析 16.设p,则|pa|2=(x-a) 2+=-2a+2a2-2,令t=x+2(当且仅当x=1时取“=” 号),则|pa|2=t2-2at+2a2-2.(1) 当a2时, (|pa|2) min=22-2a2+2a2-2=2a2-4a+2,由题意知, 2a2-4a+2=8, 解得a=-1或a=3(舍).(2) 当a 2时, (|pa|2) min=a2-2aa+2a2-2=a2-2.由题意知, a2-2=8, 解得a=或a=-(舍),综上知, a=-1或.答案 17.-2解析 17.a+b=2, +=+=+=+2=+1.当且仅当=且a 0, 即b=-2a, a=-2时, +取得最小值.答案 18.查看解析解析 18.因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为, 半径为1, （4分）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆c 引切线长是，所以直线上的点向圆c引的切线长的最小值是. （10分）d. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 21d) 已知均为正数, 证明：.证法一 因为均为正数，由均值不等式得，因为，所以 . （5分）故.又3，所以原不等式成立. （10分） 证法二 因为均为正数，由基本不等式得，.所以.同理，（5分）所以.所以原不等式成立. （10分）答案 19.查看解析解析 19. 解析 （）设扇环的圆心角为q，则，所以，（4分） （）花坛的面积为.装饰总费用为，（9分）所以花坛的面积与装饰总费用的比，令，则，当且仅当t=18时取等号，此时.答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. （14分）(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)答案 20.查看解析解析 20.（1），即,，又 . (5分)（2）,当且仅当，即时上式取等号又所以，的最小值是，取最小值时 . (12分)答案 21.（） .由的判别式当即时，恒成立，则在单调递增 当时，在恒成立，则在单调递增当时，方程的两正根为则在单调递增，单调递减，单调递增综上，当时，只有单调递增区间当时，单调递增区间为，单调递减区间为（）即时，恒成立当时，在单调递增当时，满足条件当时，在单调递减则在单调递减此时不满足条件故实数的取值范围为.（）由（2）知，在恒成立.令 则，.又，.21.答案 22.() 由a2+b22ab, b2+c22bc, c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c) 2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca) 1, 即ab+bc+ca.() 因为+b2a, +c2b, +a2c,故+(a+b+c) 2(a+b+c),即+a+b+c.所以+1.22.答案 23.()