高考数学大一轮复习 圆锥曲线的综合问题精品试题 理（含模拟试题）(1).doc

2015届高考数学大一轮复习 圆锥曲线的综合问题精品试题 理（含2014模拟试题）1. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 16) 在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点点在正方体的表面上运动，则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于_解析 1.作的中点分别为，易证, 过做一个平面平面交正方体为一个与四边形全等的矩形，此矩形就是p的轨迹，其周长为.2. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，20) 抛物线c1：的焦点与椭圆c2：的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为a，c1, c2在第一象限的交点为b，o为坐标原点，且的面积为. (1) 求椭圆c2的标准方程；（2）过a点作直线交c1于c, d两点，连接oc, od分别交c2于e, f两点，记，的面积分别为, . 问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.解析 2. （1）焦点即1分又 2分代入抛物线方程得. 又b点在椭圆上得，椭圆c2的标准方程为. 4分（2）设直线的方程为，由得设，所以6分又因为直线的斜率为，故直线的方程为，由得，同理所以则，10分所以，所以，故不存在直线使得 12分3. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，21) 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为1. （）求椭圆的方程；（）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点对于任意的，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由解析 3.（）依题意，因为，所以，所以所求椭圆的标准方程为. （5分）（）设直线的方程为，又，联立方程组，消去得，（8分）所以，因为，所以. （12分）4. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），20) 已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线.（）求曲线方程；（）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、，面积的最小值及此时点的坐标.解析 4.（）设动圆圆心坐标为，根据题意得：，化简得. （4分）（）解法一：设直线的方程为，由消去得，设，则，且，（6分）以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理过点的切线的方程为，设两条切线的交点为在直线上，解得，即，则，即，（8分）代入，到直线的距离为，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）解法二：设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理以点为切点的方程为，（6分）设两条切线的均过点，则，点、的坐标均满足方程，即直线的方程为：，（8分）代入抛物线方程消去可得：，直线的距离为，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）5. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，21) 设是圆上的任意一点，过作垂直于轴的垂线段，为垂足，是线段上的点，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹是曲线. （）求曲线的方程；（）过曲线的左焦点作斜率为的直线交曲线于、，点满足，是否存在实数，使得点在曲线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解析 5.（）如图，设，则由可得，即又，即为曲线c的方程. （6分）（）设由，（8分）设，即p点坐标为将点代入，得（负舍去）存在当时，点在曲线c上 . （13分）6. (2014北京东城高三第二学期教学检测，19) 椭圆：() 的离心率为，其左焦点到点的距离为. （）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.解析 6.（）由题：； 左焦点到点的距离为：.所以.所以所求椭圆c的方程为：. （5分）（）设，由得 ，.以为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为（14分）7. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，20) 若点是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线 交于两点. （）求证：为定值；（）若点与点不重合，问的面积是否存在最大值? 若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由.解析 7.解析 （）因为点在抛物线上，所以，有，那么抛物线.若直线的斜率不存在，直线: ，此时, （3分）若直线的斜率存在，设直线: ，点，有那么，为定值. （7分）（）若直线的斜率不存在，直线，此时，.若直线的斜率存在时，（9分）点到直线的距离，令，所以没有最大值. (12分）8.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，20）已知椭圆的离心率为, 椭圆c过点（1）求椭圆c的标准方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于a，b两点, 记为坐标原点) 的面积为, 将表示为m的函数，并求的最大值.解析 8.（2）由题意知，.易知切线的斜率存在, 设切线的方程为由得设a、b两点的坐标分别为，则6分 , (当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1. 13分9.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，20）如图，f1，f2是离心率为的椭圆c：（ab0）的左、右焦点，直线l：x=将线段f1f2分成两段，其长度之比为1：3设a，b是c上的两个动点，线段ab的中垂线与c交于p，q两点，线段ab的中点m在直线l上（） 求椭圆c的方程；（） 求的取值范围解析 9. （）设f2（c，0），则=，所以c=1因为离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆c的方程为-4分（）当直线ab垂直于x轴时，直线ab方程为x=，此时p（，0）、q（，0），-6分当直线ab不垂直于x轴时，设直线ab的斜率为k，m（，m） （m0），a（x1，y1），b（x2，y2）由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则1+4mk=0，k=-8分此时，直线pq斜率为k1=4m，pq的直线方程为，即y=4mxm联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m22=0所以， -10分于是=（x11）（x21）+y1y2=x1x2（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）=令t=1+32m2，由得1t29，则又1t29，所以综上，的取值范围为1，）-13分10.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，20）已知椭圆c：经过点 ，离心率 ，直线的方程为 .(1) 求椭圆c的方程；(2) ab是经过右焦点f的任一弦（不经过点p），设直线与l相交于点m，记pa, pb, pm的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.解析 10.（1）由点在椭圆上得， 由 得，故椭圆的方程为. 4分（2）假设存在常数，使得.由题意可设 代入椭圆方程并整理得设，则有 6分在方程中，令得，从而. 又因为共线，则有，即有所以= 将代入得，又，所以故存在常数符合题意12分11.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 20) 如图，已知点f为抛物线的焦点，过点f任作两条互相垂直的直线， 分别交抛物线于a，c，b，d四点，e，g分别为ac，bd的中点 ( i) 直线eg是否过定点？若过，求出该定点；若不过，说明理由；() 设直线eg交抛物线于m，n两点，试求的最小值.解析 11.12.(2014湖北八市高三下学期3月联考，21) 己知o：x2 +y2=6，p为o上动点，过p作pmx轴于m，n为pm上一点，且（i）求点n的轨迹c的方程；（ii）若a(2，1) ，b(3，0) ，过b的直线与曲线c相交于d、e两点，则kad+kae是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由解析 12. () 设, , 则, , 由, 得, 3分由于点在圆上, 则有, 即.点的轨迹的方程为. 6分() 设, , 过点的直线的方程为,由消去得: , 其中; 8分 10分是定值. 13分13. (2014周宁、政和一中第四次联考，16) 已知动点到点的距离是它到点的距离的倍（）试求点的轨迹方程；（）已知直线经过点且与点的轨迹相切，试求直线的方程解析 13. （）设点，由题意得两边平方整理得.故点的轨迹是一个圆，其方程为. （6分）（）由（）得圆心为，半径. (i) 若直线的斜率不存在，则方程为，圆心到直线的距离，故该直线与圆不相切；(ii) 若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由直线和圆相切得：，整理得，解得或.故所求直线的方程为或. (13分 )14. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），20) 已知椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，过点且不垂直于轴的动直线与椭圆相交于、两点，过点的直线与椭圆交于另一点. （）若，求的直线的方程；() 求面积的最大值.解析 14. （）设c(x, y), 则， （3分）又c点在椭圆上，有：联立解得或，所以的直线的方程为. （6分） () 设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程得：满足 ， （8分）弦长，又点到直线的距离为，所以，令， . （13分）15. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 23) 已知点，动点满足. （）求动点的轨迹的方程；（）在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为. 问：是否存在点，使得直线/？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解析 15. 解析 （）设，则，由，得，化简得.故动点的轨迹的方程. （5分） （）直线方程为，设， ，.过点的切线方程设为，代入，得，由，得，所以过点的切线方程为，（7分）同理过点的切线方程为. 所以直线mn的方程为，又/，所以，得，而，故点的坐标为. （10分）16.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 20) 已知数列满足，是数列 的前项和. （）若数列为等差数列.（）求数列的通项；（）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.解析 16. 解析 （）（）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（）因为，所以，其前项和，又因为，（5分）所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，. （9分） （）由知，两式作差，得，所以, 作差得， （11分）所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值范围为. （16分）17. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数（为常数），其图象是曲线. （）当时，求函数的单调减区间； （）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围； （）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为. 问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解析 17. 解析 （）当时， .令，解得，所以f(x) 的单调减区间为. （4分）（） ，由题意知消去，得有唯一解.令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，故实数的取值范围是. （10分）（）设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标. （12分）由题意知，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得，.故时，存在常数，使；时，不存在常数，使. （16分）18. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 18) 已知的三个顶点，其外接圆为. （）若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；（）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围.解析 18. 解析 （）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为. （4分）设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或. （8分）（）直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以, （12分）又，所以对成立.而在0，1上的值域为，10，所以且.又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故圆的半径的取值范围为. （16分）19. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 21) 已知抛物线: 的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且 （） 求和抛物线的方程;（） 过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线 的距离取得最大值时，四边形的面积.解析 19. （）准线交轴于，在中，所以, 所以，抛物线方程是 ， (3分)在中有, 所以，所以方程是： . (6分)（）解法一：设，所以切线；切线 ， (8分)因为和交于点，所以和成立 ，所以st方程： ， (10分)所以原点到距离，当，即在y轴上时有最大值，此时直线st方程是 ，所以，所以此时四边形的面积 . (12分)20. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 20) 已知椭圆c的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点（）求椭圆c的标准方程；() 线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.解析 20.：（），又. (4分）() 显然直线不与轴重合当直线与轴垂直时，|=3，；当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆c的标准方程，整理，得，(7分）令，所以，由上，得，所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3，设内切圆半径，则即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大，所以，. （12分）21. (2014广州高三调研测试, 21) 如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，. （1）若与的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；（2）求的最大值.解析 21. （1）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，所以，.所以椭圆的方程为. （4分）（2）因为，所以直线与的方程为，其中.因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则.因为点，设点，则有.解得，. （8分）因为点在椭圆上，所以.即. 等式两边同除以得，当，即时，取最大值.故的最大值为. （14分）22.(2014兰州高三第一次诊断考试, 20) 设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且解析 22. （）试求椭圆的方程；（）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图所示）, 试求四边形面积的最大值和最小值解析 （）由题意， 为的中点 即：椭圆方程为 （3分） （）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积同理当与轴垂直时，也有四边形的面积 当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得： 设 （6分）所以，所以，同理 （9分）所以四边形的面积令因为当，且s是以u为自变量的增函数，所以综上可知，故四边形面积的最大值为4，最小值为 （12分）23. （本题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，设点，为抛物线上的动点（异于顶点），连结并延长交抛物线于点，连结、并分别延长交抛物线于点、，连结，设、的斜率存在且分别为、. （1）若，求；（2）是否存在与无关的常数，是的恒成立，若存在，请将用、表示出来；若不存在请说明理由.解析 23.(1) 直线，设 . (5分)（2）设则直线的方程为：，代入抛物线方程，整理得，即从而，故点同理，点.三点共线即整理得所以， 即 . (12分)24. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 已知f1（-1，0），f2（1，0）是椭圆c的两个焦点，a、b为过f1的直线与椭圆的交点，且f2ab的周长为4. （）求椭圆c的方程；（）判断是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由,.解析 24.解：（）由椭圆定义可知，4，所以，=.所以椭圆方程为. (5分)（）设，（1）当直线斜率不存在时，有，. （7分）（2）当直线斜率存在时，设直线方程为代入椭圆方程，并整理得：，所以，（或求出x1，x2的值），所以（10分），所以. （14分）答案和解析理数答案 1.解析 1.作的中点分别为，易证, 过做一个平面平面交正方体为一个与四边形全等的矩形，此矩形就是p的轨迹，其周长为.答案 2.查看解析解析 2. （1）焦点即1分又 2分代入抛物线方程得. 又b点在椭圆上得，椭圆c2的标准方程为. 4分（2）设直线的方程为，由得设，所以6分又因为直线的斜率为，故直线的方程为，由得，同理所以则，10分所以，所以，故不存在直线使得 12分答案 3.查看解析解析 3.（）依题意，因为，所以，所以所求椭圆的标准方程为. （5分）（）设直线的方程为，又，联立方程组，消去得，（8分）所以，因为，所以. （12分）答案 4.查看解析解析 4.（）设动圆圆心坐标为，根据题意得：，化简得. （4分）（）解法一：设直线的方程为，由消去得，设，则，且，（6分）以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理过点的切线的方程为，设两条切线的交点为在直线上，解得，即，则，即，（8分）代入，到直线的距离为，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）解法二：设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理以点为切点的方程为，（6分）设两条切线的均过点，则，点、的坐标均满足方程，即直线的方程为：，（8分）代入抛物线方程消去可得：，直线的距离为，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）答案 5.查看解析解析 5.（）如图，设，则由可得，即又，即为曲线c的方程. （6分）（）设由，（8分）设，即p点坐标为将点代入，得（负舍去）存在当时，点在曲线c上 . （13分）答案 6.查看解析解析 6.（）由题：； 左焦点到点的距离为：.所以.所以所求椭圆c的方程为：. （5分）（）设，由得 ，.以为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为（14分）答案 7.查看解析解析 7.解析 （）因为点在抛物线上，所以，有，那么抛物线.若直线的斜率不存在，直线: ，此时, （3分）若直线的斜率存在，设直线: ，点，有那么，为定值. （7分）（）若直线的斜率不存在，直线，此时，.若直线的斜率存在时，（9分）点到直线的距离，令，所以没有最大值. (12分）答案 8.查看解析解析 8.（2）由题意知，.易知切线的斜率存在, 设切线的方程为由得设a、b两点的坐标分别为，则6分 , (当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1. 13分答案 9.查看解析解析 9. （）设f2（c，0），则=，所以c=1因为离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆c的方程为-4分（）当直线ab垂直于x轴时，直线ab方程为x=，此时p（，0）、q（，0），-6分当直线ab不垂直于x轴时，设直线ab的斜率为k，m（，m） （m0），a（x1，y1），b（x2，y2）由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则1+4mk=0，k=-8分此时，直线pq斜率为k1=4m，pq的直线方程为，即y=4mxm联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m22=0所以， -10分于是=（x11）（x21）+y1y2=x1x2（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）=令t=1+32m2，由得1t29，则又1t29，所以综上，的取值范围为1，）-13分答案 10.查看解析解析 10.（1）由点在椭圆上得， 由 得，故椭圆的方程为. 4分（2）假设存在常数，使得.由题意可设 代入椭圆方程并整理得设，则有 6分在方程中，令得，从而. 又因为共线，则有，即有所以= 将代入得，又，所以故存在常数符合题意12分答案 11.查看解析解析 11.答案 12.查看解析解析 12. () 设, , 则, , 由, 得, 3分由于点在圆上, 则有, 即.点的轨迹的方程为. 6分() 设, , 过点的直线的方程为,由消去得: , 其中; 8分 10分是定值. 13分答案 13.查看解析解析 13. （）设点，由题意得两边平方整理得.故点的轨迹是一个圆，其方程为. （6分）（）由（）得圆心为，半径. (i) 若直线的斜率不存在，则方程为，圆心到直线的距离，故该直线与圆不相切；(ii) 若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由直线和圆相切得：，整理得，解得或.故所求直线的方程为或. (13分 )答案 14.查看解析解析 14. （）设c(x, y), 则， （3分）又c点在椭圆上，有：联立解得或，所以的直线的方程为. （6分） () 设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程得：满足 ， （8分）弦长，又点到直线的距离为，所以，令， . （13分）答案 15.查看解析解析 15. 解析 （）设，则，由，得，化简得.故动点的轨迹的方程. （5分） （）直线方程为，设， ，.过点的切线方程设为，代入，得，由，得，所以过点的切线方程为，（7分）同理过点的切线方程为. 所以直线mn的方程为，又/，所以，得，而，故点的坐标为. （10分）答案 16.查看解析解析 16. 解析 （）（）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（）因为，所以，其前项和，又因为，（5分）所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，. （9分） （）由知，两式作差，得，所以, 作差得， （11分）所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值范围为. （16分）答案 17.查看解析解析 17. 解析 （）当时， .令，解得，所以f(x) 的单调减区间为. （4分）（） ，由题意知消去，得有唯一解.令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，故实数的取值范围是. （10分）（）设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标. （12分）由题意知，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得，.故时，存在常数，使；时，不存在常数，使. （16分）答案 18.查看解析解析 18. 解析 （）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为. （4分）设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或. （8分）（）直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以, （12分）又，所以对成立.而在0，