初中数学奥林匹克训练题(2).doc

初中数学奥林匹克训练题（2）第一试一、填空题1.若，则= 7/92能使关于x的方程只有一个实数根的所有a的值的总和等于 1553要使方程x4+(m4)x2+2(1m)=O恰有一个不小于2的实根，那么m的取值范围是 ml4在平面直角坐标系中，所有满足方程|x|+|y|=一|x|y|的点(x,y)所围成的图形的面积为 20045已知，那么当4x2+12y8达到最大值时，22x33y= 12646已知y=100+10nx10x100，其中n为正整数要使0y300对于满足0x16的所有x 都成立，那么n= 47若关于的方程的两个实数根满足则的最小值为_, 最大值分别为_解：设，则，整理得，且，在以分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等式所表示的规划区域。则，点到规划区域最小值即为到直线的距离，则的最小值为距离的平方；点到规划区域最大值为的圆心的距离与半径2的和，则的最大值为= 8在RtA BC中，AB=3，BC=4，B=9 O，A D、BE、CF是ABC的三条内角平分线那么,DEF的面积等于 10/7 提示：由内角平分线的性质求，9在ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它一条内角平分线，AP的垂直平分线EF与A P相交于点E，与BC的延长线相交于点F那么AF= 6 提示：如图由海伦公式得SABC=15/4 AH=3/2，PC=2 ，PH=1.5，PA=3 ,PHAPFE10如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸点B到A D的最短距离为3 6 0km今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC= km.480120 提示：设物资在每千米铁路上运输费为1公路上的费用为2设CD=x，则AC=480x BC= 总费用y=480x+2 即y2+x2+230400+2xy960x960y=518400+4x2 化简得3x22xy+960xy2+960y+288000=0 关于x的方程O即，y2960y1584000又y最小 y=480+360 x=120 AC=480120 二、解答题 1、求所有能使为正整数的正整数n设=k，k为正整数则n2200kn+999k=0设方程有正整数根n1，且另一根为n2 由韦达定理有n1+n2=200k。 n1n2=999k 因此，n2也是正整数，且n1、n2都满足题设条件。不妨设n1n2由得n1100k 由得n2=999k/n1999k/100k所以，n29经检验可知，只有n2=5符合条件，此时，k=25，n1=4995因此，所求n为5，49952、已知BE、CF是锐角ABC的两条高，求证ABE的平分线、ACF的平分线与线段 EF的垂直平分线相交于一点如图。设ABE的平分线与ACF的平分线相交于点N，联结NE、NF由B、C、E、F四点共圆，则ABE=ACF，FBN=FCN所以，B、C、N、F四点共圆从而，B、C、E、N、F五点共圆于是由FBN=NBE 得NF=NE故N在EF的垂直平分线上3、在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标； (1)直线y=2x+3通过这样的点；(2)不论m取何值，抛物线y=mx2+(m)(2m)都不通过这样的点由(2)知mO设点(x0，y0)满足(1)和(2)，则y0=2x0+3，且对任意非零实数m，都有y0mx02+(m)x0(2m)将式代入式，并整理得(x01)(x0+2)mx0+所以x0=1，2或63/32代入式得同时满足条件(1)、(2)的点的坐标为(1，1)，(2,7)，(63/32,15/16)4、已知两个整数数列和满足（1）对任意非负整数，有；（2）对任意非负整数有证明：数列中最多只有6个不同的数证明：首先，一个整数若是4的倍数，则它一定能表示成，其中是非负整数事实上，由便得若（）的奇偶性相同，则是4的倍数，设，所以于是由条件（2）知，故所以，于是在中，任意两项的差的绝对值至多为2，所以，它们最多能取3个不同的值：同样，在中，任意两项的差的绝对值也至多为2，所以，它们最多能取3个不同的值：综上所述，数列中最多只有6个不同的数初中数学奥林匹克训练题（2）第二试ACBOIHPQA1B1第1题图1、如图，在锐角三角形ABC中，是两条角平分线，I，O，H分别是的内心，外心，垂心，连接HO，分别交AC，BC于点P，Q已知C，I，四点共圆（1）求证：；（2）求证：证明：（1）因为C，I，四点共圆，所以ACBOIHPQA1B1第1题答题图所以，（2）因为，所以，四点共圆，于是，又，所以，于是，同理可得故，2、设函数，如果方程恰有两个不同的实数根，满足，求实数a的取值范围解：因为当a3时，无解；当a 3时，只有一个解当时，直线与和有两个交点，故此时有两个不同的解；当a时，直线与和有两个交点，故此时有两个不同的解对于上述两种情形，分别求出它们的解，然后解不等式，可得实数a的取值范围是3、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数 解：称为的数码组，则；一、当数码组只含一个值，为，共得个值；二、当数码组恰含二个值，、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个，可取个值，则数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，据构成三角形条件，有，的取值123456789中的个数共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个以上共计个三、当数码组恰含三个值，、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，同情况，有个值以上共计个值四、互不相同，则有，这种有组，每组有个排法，共得个值综上，全部四位三角形数的个数为个4、排成一排的名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的），每名教师尽可能多选学生，对于学生所有可能的排序，求的最小值。的最小值为。若，不妨假设这名学生生日的月份分别为，当学生按生日排序为时，存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两名，由于这两名学生生日的月份是逐渐减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不可能再挑选后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再挑选后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生，矛盾。下面先证明：对于互不相同的有序实数列，当时，一定存在三个数满足或。设最大数和最小数分别为，不