北大版高等数学课后题答案6章.pdf

6 1 3 E R2 E E E E E P E P E r P r Ur P E Ur P E Ur P Ur P E Ur P E P E E E 6 2 3 x y 0 0 1 f x y x 2y ln x2 y2 x 2y x2 y2 px2 y2ln x2 y2 0 f 0 2 f x y 1 cos x2 y2 x2 y2 x2y2 1 cos x2 y2 x2 y2 2 1 2 x 2 y2 x2y2 1 x2 1 y2 f 3 f x y x2 y2 x 2y2 1 ln x2 y2 x 2y2 x2y2ln x2 y2 0 f 0 4 f x y Pn x y n 1 px2 y2 Pn x y x y n x n 1 n 1 xn n 1 0 x myn m n 1 0 0 m n f 0 6 3 2 D Oxy P0 x0 y0 D D P0 P0 f x y p x x 0 2 y y0 2 f D f D D P0 P0 3 f x y D xi yi D i 1 2 n D f 1 n f x1 y1 f x2 y2 f xn yn D x1 y1 xn yn E f E f E M m m 1 n f x1 y1 f x2 y2 f xn yn M E f 1 n f x1 y1 f x2 y2 f xn yn 6 4 3 f x y x2 y2 x y x y 6 0 0 0 x y 0 0 0 0 f x 0 0 1 x y 0 0 x x y x x2 x y 0 y2 x y 0 lim x y 0 0 f x y 0 f x y 0 0 f x 0 x x 0 f x 0 0 4 z xsin y x x z x y z y z 2 z x 1 2 x sin y x x y x2 sin y x z y 1 xsin y x 5 f xy 1 f x y ln 2x 3y f x 2 2x 3y f xy 6 2x 3y 2 2 f x y y sinx ex f y sinx f xy cosx 3 f x y x xy2 4x3 ln x2 1 f y 2xy f xy 2y 4 f x y xln xy f y x y f xy 1 y 9 z x y z x siny 1 1 xy z 0 y 2siny y2 z x y z xsiny 1 y ln 1 xy y y 2siny y2 z xsiny 1 y ln 1 xy 2siny y2 10 1 z e y x dz e y xdy x e y x xdy ydx x2 2 z x y x y dz x y d x y x y d x y x y 2 2xdy 2ydx x y 2 3 z arctan y x arctan y x z 2 dz 0 4 z px2 y2 z2 dz d x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 xdx ydy zdz x2 y2 z2 12 z x y dz x y x2 y2 dx y x x2 y2 dy z x y dz 1 2dx 2 1 2dy 2 darctan y x z x y 1 2x 2 1 2y 2 arctan y x C 14 f x y p xy 0 0 f x 0 0 f y 0 0 f x y 0 0 f x y 0 0 f x 0 f 0 y 0 f x 0 0 f y 0 0 0 f x y 0 0 f x y 0 0 f x 0 0 f y 0 0 0 f x y 1 1 d dtf t 2 t 2 t 0 0 1 2 16 f x y x2 y2 xy x2 y2 x y 6 0 0 0 x y 0 0 1 f x 0 y y 6 0 2 f x 0 0 0 2 3 f xy 0 0 1 4 f y x 0 f yx 0 0 1 1 f x x y x2 y2 3x2y y3 2x x3y xy3 x2 y2 2 f x 0 y y y 6 0 2 f x 0 0 f x 0 0 0 3 f x 0 y y f xy 0 0 1 4 f y x 0 x f yx 0 0 1 17 z xln xy 3z x3 3z x y2 z xlnx xlny z x 1 lnx lny 3z x3 1 x2 3z x y2 1 y2 6 5 2 u f x y z x2 y2 z2 u 2u x2 2u y2 2u z2 s x y z t x2 y2 z2 u x f s 2x f t 2u x2 2f s2 2x 2f s t 2 f t 2x 2f t s 4x 2 2f t2 2u y2 2u z2 u 3 2f s2 2 x y z 2f s t 2f t s 6 f t 4 x2 y2 z2 2f t2 8 f x y z f tx ty tz tnf x y z t f x y z n n xf x yf y zf z nf f tx ty tz tnf x y z x y z t t xf x tx ty tz yf y tx ty tz zf z tx ty tz ntn 1f x y z t 1 xf x yf y zf z nf 10 z f x y xf x x y yf y x y 0 F f rcos rsin F r 0 x rcos y rsin r 0 z r f xcos f ysin 1 r xf x yf y 0 9 z F f rcos rsin F 6 6 9 f x y y x2 x2 2y2 1 0 f x 2y x3 f y 1 x2 2x 4yy 0 x y n 2x 4y f n 2y x3 2x n 1 x2 4y n 0 6 7 1 f x y xy y 1 1 f 1 x 1 y 1 x 1 y 1 y x x y f 1 1 x x y 2 0 0 3 1 f x y cos x cos y cosx 1 1 2x 2 o x2 x 0 cosy 1 1 2y 2 o y2 1 cosy 1 1 2y 2 o y2 y 0 f x y 1 1 2x 2 1 2y 2 o 2 0 2 f x y ln 1 x y ln 1 u u 1 2u 2 o u2 u 0 f x y x y 1 2 x y 2 o x y 2 x y 1 2 x y 2 o 2 0 3 f x y p1 x2 y2 1 u 1 1 2u o u u 0 f x y 1 1 2 x 2 y2 o x2 y2 1 1 2 x 2 y2 o 2 0 4 f x y sin x2 y2 f x y x2 y2 o x2 y2 x2 y2 o 2 0 3 0 0 f x y ln 1 x y f x f y 1 1 x y f xx f yy f xy 1 1 x y 2 f x y x y 1 2 x2 2xy y2 1 x y 2 0 1 5 D D x y x2 y2 1 f x y D xf x x y f y x y 0 x y D f x y D 0 0 x y f x y f 0 0 xf x x y yf y x y 0 1 xf x x y yf y x y 0 f x y f 0 0 f x y 6 8 2 f xy2 x y 0 y y x dy dx f 1 y2 2xyy f 2 1 y 0 y y2f 1 f 2 2xyf 1 f 2 3 z cosxy ez z x 2z x2 z x ysinxy ezz x z x y sinxy 1 ez z xx 1 ez y2cosxy ezz xy sinxy 1 ez 2 1 ez 2y2cosxy ezy2sin2xy 1 ez 3 6 9 1 z z x y 1 z x2 x 1 2 y2 z x 2x x 1 2x 1 z y 2y 0 0 1 2 0 1 0 z xx 12x2 12x 2 z xy 0 z yy 2 0 0 1 0 1 2 0 4 2p 4 x y z x y z 2p S pp p x p y p z x h 2S x x V x y z 1 3 h 2x 4 p p x p y p z 3x p p 0 p 0 p p 2 3p 4 3p 4 p 2 3p 4 3p 4 p 2 6 x2 y2 z2 4 1 x y z 0 F x y z x2 y2 z2 x2 y2 z2 4 1 x y z F x y z 1 2 1 2 0 1 3 1 3 2 3 2 1 8 n x1 xn l n a1 an n a 1 an a1 an n f x1 xn x1 xn x1 xn l F x1 xn x1 xn x1 xn l xi6 0 F x1 x2 xn l n n l n n a1 an l n a 1 an l n a1 an n 9 x 2 a2 y2 b2 1 x acos y bsin x y asin bcos bcos x acos asin y bsin 0 bcos x asin y ab x y a cos b sin ab 2 sin cos ab sin2 k 2 4 k Z x a 2 y b 2 6 10 1 2 z x2 y2 2 1 3 r x y x y x2 y2 r x 2 1 1 0 4 r y 2 1 0 1 2 4 2 1 4 x 2 2 y 1 z 3 0 3 x ch cos y ch sin x 1 2 r ch cos ch sin r 1 2 0 ch1 1 r 1 2 sh cos sh sin 1 1 2 0 sh1 1 r 1 2 ch sin ch cos 0 1 2 ch1 0 0 xy ch1z 1 0sh11 ch100 0 y ch1 sh1 z 1 0 4 ez 2z xy 3 2 1 0 F x y z ez 2z xy 3 2 1 0 y x ez 2 2 1 0 1 2 1 x 2 2 y 1 z 0 5 1 f y x x3 x2 y2 3 2 f x x 1 f y 1 1 y2 3 2 f x 1 1 x2 3 2 3 x 6 0 x y 6 0 f x y y x x 2 y2 f x y u x y v y x x u 1 v y uv 1 v f u v u2 1 v2 1 v 2 u2 1 v 1 v f x y x2 1 y 1 y x 6 0 y 6 1 6 1 f x y y sgnx y y a x 6 0 y Z f x y b 0 y x2 y x2 f x y 1 lim x y x0 y0 y x2 f x y 1 f x y x0 y0 f y x2 10 1 lim x y 0 0 arctan xy xy xy 6 0 z x y xy lim x y 0 0 z x y 0 lim z 0 arctanz z 1 2 lim x y 0 0 4 4 cos xy xy xy 6 0 z p xy lim z 0 4 4cos z z2 2 3 lim x y 0 0 2x 2 y2 sin1 x2 y2 x y 0 0 2x2 y2 0 sin 1 x2 y2 0 12 f x y x2 y2 sin 1 x2 y2 x y 6 0 0 0 x y 0 0 1 0 0 f x x y f y x y 0 0 2 f x y 0 0 1 f x x y 2x sin 1 x2 y2 1 x2 y2 cos 1 x2 y2 x y 6 0 0 0 x y 0 0 f x x y x y x 0 0 f x x y 2x sin 1 x2 1 x2 cos 1 x2 f x x y 0 0 f y x y 2 lim x y 0 0 f x y lim 0 sin 1 2 0 px2 y2 f x y o 0 f 0 0 16 x rcos y rsin z z D x y z D r z 6 D x y z D r z cos rsin 0 sin rcos 0 001 r 17 x sin cos y sin sin z cos D x y z D D x y z D sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin 0 cos 2sin cos sin sin2 2sin 21 f x y 2 3 i j 2 2 2j 3 i j f x y 2 3 2i j gradf 2 3 a b 1 i j 1 1 a b 2 2 1 2j 0 2 a b 3 a b 1 3 2i j 1 2i j 2 1 1 3 5 23 z f x y z x x2 y y x f x x x2 f x y f x y 1 3x 3 xy y f x x x2 1 3x 3 x2 x x2 y 1 3y 3 f x y 1 3x 3 xy 1 3y 3 27 6 22 R 1 R 1 R1 1 R2 1 R3 R R1 R1 30 R1 45 R1 90 1 R 1 R1 1 R2 1 R3 R1 1 R2 R R1 1 R2 1 R1 30 R1 45 R1 90 R 15 R R1 1 4 29 z z x y ax by cz F x2 y2 z2 F u a b c cy bz z x az cx z y bx ay x y a cz x F x2 y2 z2 2x 2zz x b cz y F x2 y2 z