内蒙古包头市北方重工三中高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年内蒙古包头市 北方重工三中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1i为虚数单位，复数的虚部是（）a b c d 2积分的值为（）a 4b 6c 8d 123将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）a 12种b 10种c 9种d 8种4函数y=x2lnx的单调递减区间是（）a （1，+）b （0，+）c （0，1）d （1，1）5黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（）块a 21b 22c 20d 236函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=x+8，则f（5）+f（5）=（）a 0b 1c 2d 37由抛物线y=x2与直线y=2x围成的封闭图形的面积为（）a 8b c d 48f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（）a b c d 9由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3、5互不相邻的六位偶数的个数是（）a 108b 72c 48d 3610用数学归纳法证明1+，假设n=k时成立，则当n=k+1时，不等式左边增加的项数是（）a 1b k1c kd 2k11现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）a 484b 472c 252d 23212已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0其中正确结论的序号是（）a b c d 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若不等式x2+x+a0对任意xr恒成立，则a的取值范围是14若复数z=（m2m2）+（m+1）（i为虚数单位）为纯虚数，其中mr，则m=15从3名骨科、4名脑外科、5名内科医生中选派4人组成一个医疗小组，求骨科、脑外科、内科医生都至少有一人的选派方法有种（用数字作答）16已知函数f（x）=x3+ax24在x=2处取得极值，若m，n1，1，则f（m）+f（n）的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知复数z=i，其共轭复数为，求（1）复数的模；（2）的值18设定义在（0，+）上的函数f（x）=ax+b（a0）（）求f（x）的最小值；（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=，求a，b的值19已知数列，的前n项和为sn（1）计算s1，s2，s3，s4的值，并推测sn的公式；（2）用数学归纳法证明sn的公式20现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位问（1）所有可能的坐法有多少种？（2）此4人中甲、乙两人相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）21已知函数f（x）=x3+ax2a2x+2（1）若a=1，求y=f（x）的极值； （2）讨论f（x）的单调区间22已知函数f（x）=+2x，g（x）=lnx（1）设函数f（x）=f（x）g（x），若f（x）在上单调递增，求a的取值范围；（2）是否存在实数a0，使得方程=f（x）（2a+1）在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由2014-2015学年内蒙古包头市北方重工三中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1i为虚数单位，复数的虚部是（）a b c d 考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出解答：解：复数=的虚部是故选a点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数是解题的关键2积分的值为（）a 4b 6c 8d 12考点：定积分专题：导数的概念及应用分析：根据定积分的计算法则计算即可解答：解：=x2|=8，故选：c点评：本题考查二类定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题3将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）a 12种b 10种c 9种d 8种考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果解答：解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有261=12种故选 a点评：本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题4函数y=x2lnx的单调递减区间是（）a （1，+）b （0，+）c （0，1）d （1，1）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：令y=x0，解出即可解答：解：函数y=x2lnx的定义域为（0，+）令y=x=0，解得0x1，函数y=x2lnx的单调递减区间是（0，1）故选：c点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题5黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（）块a 21b 22c 20d 23考点：数列的应用专题：规律型分析：通过观察前几个图形中正六边形地面砖的个数得，每一个图形中的正六边形地面砖个数都可以看成是一个等差数列的项，再利用等差数列的通项公式即可解决问题解答：解：每增加1个图形，就增加4块白色地砖，即：6，6+4，6+24，是一个首项为6，公差为4的等差数列它们的第5项为：22故选b点评：本题主要考查了归纳推理，以及观察能力和分析问题和解决的能力，属于基础题6函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=x+8，则f（5）+f（5）=（）a 0b 1c 2d 3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义和切线方程求出f（5），把x=5代入切线方程求出f（5），代入即可求出f（5）+f（5）的值解答：解：函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=x+8，f（5）=1，f（5）=5+8=3，f（5）+f（5）=31=2，故选：c点评：本题考查导数的几何意义，以及切点在切线上的灵活应用，属于基础题7由抛物线y=x2与直线y=2x围成的封闭图形的面积为（）a 8b c d 4考点：定积分在求面积中的应用专题：导数的概念及应用分析：先求曲线的交点的坐标，确定积分区间，再用定积分表示面积即可得到结论解答：解：由，可得交点的坐标为（0，0），a（2，4），所求的封闭图形的面积为s=（x2）=4=，故选：c点评：本题考查定积分的运用，解题的关键是确定积分区间与被积函数8f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（）a b c d 考点：函数的单调性与导数的关系专题：图表型分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间解答：解：x2时，f（x）0，则f（x）单减；2x0时，f（x）0，则f（x）单增；x0时，f（x）0，则f（x）单减则符合上述条件的只有选项a故选a点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减重点是理解函数图象及函数的单调性9由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3、5互不相邻的六位偶数的个数是（）a 108b 72c 48d 36考点：计数原理的应用专题：排列组合分析：先排3个偶数，形成了了4个空，将1，3，5插入到除了最右端的空之外的3个空中，可得结论解答：解：先排3个偶数，形成了了4个空，将1，3，5插入到除了最右端的空之外的3个空中，故有共有a33a33=36个，故选：d点评：本题考查了分步计数原理，不相邻问题用插空，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题10用数学归纳法证明1+，假设n=k时成立，则当n=k+1时，不等式左边增加的项数是（）a 1b k1c kd 2k考点：数学归纳法专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系解答：解：当n=k时，左端=1+，那么当n=k+1时 左端=1+=1+，左端增加的项为+，所以项数为：2k故选：d点评：本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项11现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）a 484b 472c 252d 232考点：排列、组合的实际应用专题：计算题；排列组合分析：用间接法分析，先求出“从16张卡片中任取3张”的情况数目，再分析计算其中“同一种颜色”以及“有2张红色”的情况数目，用“从16张卡片中任取3张”的情况数目减去“同一种颜色”以及“有2张红色”的情况数目即可得答案解答：解：根据题意，不考虑限制条件，从16张卡片中任取3张有c163种情况，其中如果取出的3张为同一种颜色，有4c43种情况，如果取出的3张有2张红色的卡片，有c424c121种情况，则满足条件的取法有c1634c43c424c121=5601272=472种；故选：b点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意利用排除法分析，即先不考虑限制条件，求出全部的情况数目，再分析排出其中不符合条件的情况数目12已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0其中正确结论的序号是（）a b c d 考点：利用导数研究函数的单调性专题：综合题；压轴题分析：根据f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论解答：解：求导函数可得f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0a1b3c，设f（x）=（xa）（xb）（xc）=x3（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）xabc，f（x）=x36x2+9xabc，a+b+c=6，ab+ac+bc=9，b+c=6a，bc=9a（6a），a24a0，0a4，0a1b3c，f（0）0，f（1）0，f（3）0，f（0）f（1）0，f（0）f（3）0故选：c点评：本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定a、b、c的大小关系是关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若不等式x2+x+a0对任意xr恒成立，则a的取值范围是a考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：根据二次函数的性质得到不等式，解出即可解答：解：若不等式x2+x+a0对任意xr恒成立，则只需=14a0即可，解得：，故答案为：a点评：本题考查了二次函数的性质，是一道基础题14若复数z=（m2m2）+（m+1）（i为虚数单位）为纯虚数，其中mr，则m=2考点：复数的基本概念专题：计算题分析：题干错误：m无解解答：解：复数z=（m2m2）+（m+1）i（为虚数单位）为纯虚数，m2m2=0，且 m+10解得 m=2，故答案为 2点评：本题主要考查纯虚数的定义，一元二次方程的解法，属于基础题15从3名骨科、4名脑外科、5名内科医生中选派4人组成一个医疗小组，求骨科、脑外科、内科医生都至少有一人的选派方法有270种（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用专题：计算题；排列组合分析：根据题意，分析可得有3种不同的组队方案：、2名骨科、1名脑外科和1名内科医生，、1名骨科、2名脑外科和1名内科医生，、1名骨科、1名脑外科和2名内科医生，分别求出每种情况下的选派方法数目，最后由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，按医疗小组的组成分3种情况讨论：、2名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有c32c41c51=60种，、1名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有c31c42c51=90种，、1名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有c31c41c52=120种，则一共有60+90+120=270种选派方法，故答案为：270点评：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步16已知函数f（x）=x3+ax24在x=2处取得极值，若m，n1，1，则f（m）+f（n）的最小值是13考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件专题：计算题；导数的综合应用分析：令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f（n）的最小值解答：解：求导数可得f（x）=3x2+2ax函数f（x）=x3+ax24在x=2处取得极值，12+4a=0，解得a=3f（x）=3x2+6xn1，1时，f（n）=3n2+6n，当n=1时，f（n）最小，最小为9当m1，1时，f（m）=m3+3m24f（m）=3m2+6m令f（m）=0得m=0，m=2所以m=0时，f（m）最小为4故f（m）+f（n）的最小值为9+（4）=13故答案为：13点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知复数z=i，其共轭复数为，求（1）复数的模；（2）的值考点：复数代数形式的混合运算；复数求模专题：数系的扩充和复数分析：（1）把复数z=i代入，化简后由复数的模长公式可得；（2）由题意可得=，代入要求的式子化简即可解答：解：（1）复数z=i，=，|z|=1；（2）由题意可得=，=（）2=+2i=点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及共轭复数，属基础题18设定义在（0，+）上的函数f（x）=ax+b（a0）（）求f（x）的最小值；（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=，求a，b的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式专题：计算题分析：（）根据a0，x0，利用基本不等式，可求f（x）的最小值；（）根据曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=，建立方程组，即可求得a，b的值解答：解：（）f（x）=ax+b2+b=b+2当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2（）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=，可得：f（1）=，a+b=f（x）=a，f（1）=a=由得：a=2，b=1点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及基本不等式的应用，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题19已知数列，的前n项和为sn（1）计算s1，s2，s3，s4的值，并推测sn的公式；（2）用数学归纳法证明sn的公式考点：数学归纳法；归纳推理专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）由题意得s1=a1，由s2=a1+a2求得s2，同理求得 s3，s4猜想猜想sn=，nn*，（2）用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设sk=，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立解答：解：（1）s1=，s2=，s3=，s4=； 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1于是推测sn=，nn*，（2）证明：当n=1时，左边=，右边=，猜想成立假设n=k（kn*）时，猜想成立，即sk=那么当n=k+1时，sk+1=sk+=+=（k+）=所以当n=k+1时，猜想也成立根据，可知猜想对任何nn*时都成立点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：检验n=1成立假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推20现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位问（1）所有可能的坐法有多少种？（2）此4人中甲、乙两人相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）考点：排列、组合的实际应用专题：计算题；排列组合分析：（1）4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位，所有可能的坐法种数是从六个元素中取四个元素的排列数，由此能求出所有可能的坐法种数（2）由于4人中甲，乙两人相邻，用捆绑法分析：将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，将这个元素与剩余2人全排列，最后分析空位的安排方法，由分步计数原理计算可得答案解答：解：（1）根据题意，4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位，在6个座位中任取4个，安排4人即可，则所有可能的坐法种数是从六个元素中取四个元素的排列数，所有可能的坐法有a64=360种（2）根据题意，4人中甲，乙两人相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有a22=2种情况，将这个元素与剩余2人全排列，有a33=6种情况，排好后，如果2个空座位相邻，有c41=4种安排方法，如果空座位不相邻，有c42=6种安排方法，则空位有（4+6）=10种安排方法；则甲，乙两人相邻的坐法有2610=120种点评：本题考查排列、组合的运用，注意（2）中的空位是相同的，不能直接将将这个元素与剩余2人和两个空位进行全排列21已知函数f（x）=x3+ax2a2x+2（1）若a=1，求y=f（x）的极值； （2）讨论f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：（1）将a=1代入函数的表达式，求出函数f（x）的导数，从而得到函数的单调区间，进而求出函数的极值；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间解答：解：（1）a=1时，f（x）=x3+x2x+2，f（x）=3x2+2x1=（3x1）（x+1），令f（x）0，解得：x或x1，令f（x）0，解得：1x，函数f（x）在（，1），（，+）递增，在（1，）递减，极大值为f（1）=4，极小值为；（2）f（x）=3x2+2axa2=（3xa）（x+a），当a=0时，f（x）=3