有理函数的不定积分

7 3有理函数的不定积分 一 有理函数的部分分式分解 有理函数的定义 有理函数 是指两个多项式的商表示的函数其一般形式为 其中及为常数 且 有理函数的分类 次数 1 n m 时称为有理真分式即 如果分子多项式的次数小于分母多项式的次数 称分式为有理真分式 2 n m 时称为有理假分式即 如果分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数 称分式为有理假分式 假分式 多项式 真分式 利用多项式除法可得 任一假分式可转化为多项式与真分式之和 即其中F x 的次数低于Q x 的次数 多项式 例如 举例 例如 求有理函数不定积分的关键 假分式 多项式 真分式因为多项式的不定积分易求 所以求有理数不定积分的函关键在于求有理真分式的不定积分 因此 我们仅讨论有理真分式的积分 先介绍代数学中两个定理 多项式的因式分解定理分项分式定理 部分分式展开定理 多项式的因式分解定理 任何次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数一次和二次不可约因式的乘积 其中都是正整数 分项分式定理 有理真分式必定可以表示成若干个简单部分分式之和 即 例如 因此任意有理函数的积分问题就都归结为求以下两种类型不定积分 1 2 求常数的方法 待定系数法 方法一 比较系数法 把 式等号右端所有分式通分相加 得由于 式等号两端的分母都是Q x 所以通分后所得分式的分子与原分子F x 应该相等 即或F x H x F x H x F x 与H x 同次幂系数相等根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则 得到待定系数所满足的一次线性方程组 由此求解方程组 就求出了这些待定常数方法二 使用 赋值法 简化对待定系数的求解 部分分式分解具体步骤简述如下 1 对分母Q x 在实数系内作标准分解 第二步 2 根据分母各个因式结构分别写出与之相应的待定部分分式 第三步 待定系数的确定 1 解线性方程组法 比较系数法 把所有部分分式加起来 通分 根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则 得到待定系数所满足的线性方程组 求解方程 由此确定上述部分分式中的待定系数 2 特殊值法 赋值法 例题讲解 例1将分成分项分式例2将分成分项分式 例3 将分成分项分式 解设 于是 练习 将下列真分式分解为部分分式 并将A B值代入 取 取 取 有理函数的不定积分 根据分项分式定理 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形式的不定积分之和 下面分别求这两类不定积分 有理真分式的递推公式 由此可知这两类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数 例题 例4求 解 例5求 例6求 例7求 随堂练习 小结 1 有理函数的原函数一定是初等函数有理函数的不定积分总能 积 出来 即有理函数的不定积分总能用初等函数表示出来 有理函数存在初等函数的原函数 不定积分 这是有理函数的一个理想的性质 如果求一个函数的不定积分 只要选择适当的换元 将被积函数转化为有理函数 那么这个不定积分总能 积 出来 这种方法也叫 有理化法 2 求有理函数不定积分的步骤 1 若被积函数是有理假分式 则通过多项式除法 把它化成多项式 有理真分式 2 用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之和 用比较系数法或赋值法求出