2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)试题.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷大纲版）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设，则的共轭复数为(A) (B) (C) (D)（2）设集合，则(A) (B) (C) (D)（3）设，则(A) (B) (C) (D)（4）若向量、满足：，则(A)2 (B) (C)1 (D)（5）有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(A)60种 (B) 70种 (C)75种 (D) 150种（6）已知椭圆C：(ab0)的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为(A) (B) (C) (D) （7）曲线在点(1,1)处切线的斜率等于(A) (B) (C)2 (D)1（8）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )(A) (B) (C) (D)（9）已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则(A) (B) (C) (D)（10）等比数列中，则数列的前8项和等于(A)6 (B)5 (C)4 (D)3（11）已知二面角为，A为垂足，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(A) (B) (C) (D) （12）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是(A) (B) (C) (D)第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）的展开式中的系数为_.(用数字作答)（14）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为_（15）设直线和是圆的两条切线，若与的交点为(1,3)，则与夹角的正切值等于_.（16）若函数在区间是减函数，则a的取值范围是_三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）(本小题满分10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，求B。（18） (本小题满分12分)等差数列的前n项和为，已知，为整数，且。()求的通项公式；()设，求数列的前n项和。（19）(本小题满分12分)如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，。()证明：；()设直线与平面的距离为，求二面角的大小。（20）(本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需要使用设备相互独立。()求同一工作日至少3人需使用设备的概率；()X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望。（21）(本小题满分12分)已知抛物线C：(p0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且。()求C的方程；()过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与C交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程。（22）(本小题满分12分)函数(a1).()讨论的单调性；()设，证明：。2014年普通高等学校招生全国统一考试(广西卷)理科数学（全国卷大纲版）试题答案与解读一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DBCBCACAACBD（1）【解读与点评】设，则的共轭复数为( )(A) (B) (C) (D)解法：选（D）.（求解对照）由已知有，选（D）.点评：本试题主要考查了复数四则运算法则，通过利用除法运算来求解。（2）【解读与点评】设集合，则( )(A) (B) (C) (D)解法：选（B）.（求解对照）由已知有，得又，则。选（B）点评：本题主要考查一元二次不等式的解及集合的交集运算。（3）【解读与点评】设，则( )(A) (B) (C) (D)解法：选（C）.（求解对照）由已知有选（C）.点评：本题主要考查在单位圆上正弦线、余弦线、正切线长度。（4）【解读与点评】 若向量、满足：，则( )(A)2 (B) (C)1 (D)解法：选（B）.（求解对照）由已知有选（B）.点评：本题考查考生对平面向量的加、减法运算，数量积运算等知识的掌握程度，考查考生的运算求解能力。（5）【解读与点评】有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选共有( )(A)60种 (B) 70种 (C)75种 (D) 150种解法：选（C）.（求解对照）由已知有6名男医生从中选出2名,有种;5名女医生,从中选出1名, 有种。则6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选共有（种） 选（C）.点评：本题考查考生运用分步计数原理分析、解决问题的能力，考查有条件排列以及排列数公式的应用，考查考生利用排列组合知识经济实际问题的能力和逻辑推理能力。以现实生活中的情境为素材，强调数学在现实生活中的应用性，在考查数学基础知识的同时，激发考生对数学知识的学习兴趣，有利于中学数学教学。（6）【解读与点评】已知椭圆C：(ab0)的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为( )(A) (B) (C) (D) 解法：选（A）.（求解对照）由椭圆定义有，又，得,则椭圆C为： 选（A）.点评：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、离心率、斜率公式等知识，考查考生将椭圆的几何性质转化为数量关系的能力，考查数形结合的思想方法，考查考生知识的综合运用能力和运算求解能力。（7）【解读与点评】曲线在点(1,1)处切线的斜率等于( )(A) (B) (C)2 (D)1解法：选（C）.（求解对照）由已知有,则得曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，选（C）.点评：本题主要考查复合函数导数的运算，经过求导以后很快就可以求出经过(1,1)处切线的斜率，考查考生知识的综合运用能力和运算求解能力。（8）【解读与点评】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )(A) (B) (C) (D)解法一：选（A）.（求解对照）设正四棱锥为P-ABCD，作PH底面ABCD于H，又设O为球心，则O在PH上，PH=4，令球的半径为R，则解得R=，所以球的表面积为： . 选（A）. APHDBQCPDDCHAB解法二：选（A）.（求解对照）如图，延长PH交球于另一点Q，则PQ为球的直径，连结AQ，则PAAQ，显然设球的半径为R，则选（A）.点评：本题考查学生的空间想象能力，重点在考查正四棱锥的性质以及球的性质。着重求出球的半径来解决问题。（9）【解读与点评】已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则( )(A) (B) (C) (D)解法：选（A）.（求解对照）由双曲线有选（A）.点评：本题考查双曲线有关知识和余弦定理的应用，考查数学结合的思想方法，考查考生的预算求解能力。（10）【解读与点评】等比数列中，则数列的前8项和等于( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解法：选（C）.（求解对照）由已知有在等比数列中，则=10所以。选（C）.点评：本题主要考查等比数列及对数函数的性质。 （11）【解读与点评】已知二面角为，A为垂足，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D)解法：选（B）.（求解对照）如图，BEDAFCl点评：本题考查异面直线所成的角，关键是如何找异面直线所成的角的平面角，再通过解三角方式把角的余弦值求出来。（12）【解读与点评】函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是( )(A) (B) (C) (D)解法：选（D）.（求解对照）由已知有点评：本题主要考查函数关于直线对称问题，这道题考查方式跟求反函数非常相似。第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）【解读与点评】的展开式中的系数为_.(用数字作答) 解：点评：本试题主要考查了二项式定理展开公式的运用利用二项式系公式求出相应项的系数，确定了n的值，然后再次利用通项公式，分析项的系数（14）【解读与点评】yA (1，1)xoBC(-1，-1)设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为_如图：点评：本题考查简单线性规划的问题，要求考生能够准确作出二元一次不等式组不是的平面区域，考查定点问题，试题立足教材，侧重考查基础知识和基本方法的应用，考查考生对线性规划问题的理解和应用，考查数形结合的思想方法。（15）【解读与点评】设直线和是圆的两条切线，若与的交点为(1,3)，则与夹角的正切值等于_.点评：本题主要考查了学生数形结合能力，把比较复杂的问题通过图形画出来使问题简单化。（16）【解读与点评】若函数在区间是减函数，则a的取值范围是_点评：本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数的图像性质及导数性质。三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）【解读与点评】(本小题满分10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，求B。解：由题设和正弦定理得： 3sinAcosC=2sinCcosA 故 3tanAcosC=2sinC 因为 ,所以cosC=2sinC 所以 tanB=tan1800-(A-C) =-tan(A+C) 即 B=1350点评：这道试题从整体上看保持了往年的解题形式，依然是通过边角的转换，结合三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和正切定理来求解三角形中的角的问题，通过三角函数关系的化简得到角A、C的正切函数值，然后通过正切的两角和与差求出角B的正切函数值求出来（18）【解读与点评】(本小题满分12分)等差数列的前n项和为，已知，为整数，且。()求的通项公式；()设，求数列的前n项和。解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数。 又，故 于是 解得 因此 所以数列的通项公式为 点评：本题考查等差数列、等比数列的概念、通项公式与性质，考查考生对数列知识的综合运用，考查考生的运算求解的能力。（19）【解读与点评】(本小题满分12分)如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，。()证明：；()设直线与平面的距离为，求二面角解法一：（I）因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC又BCAC，所以BC平面AA1C1C连结A1C .因为侧面AA1C1C为菱形，A1CAC1由三垂线定理得，.(II) 因为BC平面AA1C1C, BC平面BCC1B1, 故平面AA1C1C平面BCC1B1作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1 ，又直线AA1平面BCC1B1 ，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离， 因为A1C为ACC1的平分线，故A1D=A1E=作DFAB，F为垂足，连结A1F ，由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1-AB-C的平面角。 DA1B1ACBC1zxy解法二：以C为坐标原点，射线CA为轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内。 ,点评：试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是三角形，一个侧面垂直于底面的三棱柱问题，这样的题目对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好考查数形结合、化归与转化的思想方法，考查考生的空间想象能力和运算求解能力。（20）【解读与点评】(本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需要使用设备相互独立。()求同一工作日至少3人需使用设备的概率；()X表示同一工作日需使用设备的人数，求X得数学期望。解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2 .B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，解：（II）X的可能值得为0，1，2，3，4,其分布列为 数学期望为： 点评：本题考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的概念及相应概率的计算；以考生熟悉生活事件为背景，既全面考查考生对概率知识的理解和应用，又引导考生关心身边的数学问题，形成自觉应用数学知识指导生活实践的能力，增强实践意识。21、【解读与点评】(本小题满分12分)已知抛物线C：(p0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且。()求C的方程；()过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与C交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程。 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于 点评：本题主要考查了抛物线方程的求法，接着考查四点共圆问题，涉及抛物线的标准方程，直线方程。R点评（22）【解读与点评】(本小题满分12分)函数(a1).()讨论的单调性；()设，证明：解：（I） （II） 点评：本题是函数题型的综合题，第（1）问要求函数的单调性，可以通过求导，判断函数的符号来判断函数的单调性。这种含有参数问题对我们学生来说难度真的太大了。第（2）问主要考查数学归纳法的证明。2014年普通高等学校招生全国统一考试(广西卷)文科数学（全国卷大纲版）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，则中元素的个数为（A）2 （B）3 （C）5 （D）7 （2）已知角的终边经过（-4，5），则=（A） （B） （C） （D）（3）不等式组 的解集为（A） （B） （C） （D）（4）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（A） （B） （C） （D）（5）函数的反函数是（A） （B） （C） （D） （6）已知为单位向量，其夹角为 ，则=（A） （B）0 （C）1 （D）2 （7）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（A）60种 （B）70种 （C）75种 （D）150种 （8）等比数列的前n项和为，则（A）31 （B）32 （C）63 （D）64（9）已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（A） （B） （C） （D）（10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（A） （B） （C） （D）（11）已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（A）2 （B） （C）4 （D） （12）奇函数的定义域为R,若为偶函数,且,则（A） （B） （C）0 （D）1 第卷二、填空题：本大题4个小题，每题5分。（13） 的展开式中的系数为 .（用数字作答）（14）函数的最大值为 .（15）设x、y满足约束条件，则的最大值为 .（16）直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于 .三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）数列满足，.（）设，证明是等差数列；（）求的通项公式。（18）（本小题满分12分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，求B.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，.（）证明：；（）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.（20）（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为，各人是否需使用设备相互独立.（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.（21）（本小题满分12分）函数 .（）讨论的单调性；（）若在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.（22）（本小题满分12分）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（）求C的方程；（）过F的直线与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求的方程.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(广西卷) （全国卷大纲版）试题答案与解读一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCBDBCCAACD（1）【解读与点评】设集合，则中元素的个数是A2 B3 C5 D7 解法：选（B）.（求解对照）由已知有=1，2，6，则中元素的个数是3个。选（B）.点评：本题考查集合的表示方法及集合的交集运算。与往年的集合题类似，试题以考生最熟悉的知识呈现，体现面向全体考生，注意考查基础知识的特点，设问明确，求解简单，有助于考生缓解的紧张情绪。（2）【解读与点评】已知角的终边经过（-4，3），则=A B C D 解法：选（D）.（求解对照）由已知有，选（D）.点评：本题考查三角函数的概念，考查考生的运算求解能力。（3）【解读与点评】不等式组 的解集为A B C D解法：选（C）.（求解对照）由已知有，选（C）.点评：本题考查一元二次不等式及绝对不等式的解。（4） 【解读与点评】正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为A B C D 解法：选（B）.（求解对照）如图取AD的中点F，连EF、FC，有EF/BD，则直线EF与EC所成的异面直线CE与BD所成的角ABCDEF设BD=2，则EF=1，则,选（B）.点评：本题主要考查异面直线所成的角的解法，在找到平面角以后又如何构造三角形来求解，余弦定理运用的考查。（5）【解读与点评】函数的反函数是A B C D 解法：选（D）.（求解对照）由已知有选（D）.点评：本题主要是对求反函数三大步的重点考查，很一道非常常规的题目，加强了题目的反解及原函数值域的求解。（6）【解读与点评】已知为单位向量，其夹角为 ，则=A B0 C1 D2 解法：选（B）.（求解对照）由已知有=,选（B）.点评：本题考查考生对平面向量的加、减法运算，数量积运算等知识的掌握程度，考查考生的运算求解能力。（7）【解读与点评】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A60种 B70种 C75种 D150种 解法：选（C）.（求解对照）由已知有6名男医生从中选出2名,有种;5名女医生,从中选出1名, 有种。则6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选共有（种） 选（C）.点评：本题考查考生运用分步计数原理分析、解决问题的能力，考查有条件排列以及排列数公式的应用，考查考生利用排列组合知识经济实际问题的能力和逻辑推理能力。以现实生活中的情境为素材，强调数学在现实生活中的应用性，在考查数学基础知识的同时，激发考生对数学知识的学习兴趣，有利于中学数学教学。（8）【解读与点评】等比数列的前n项和为，则A31 B32 C63 D64解法：选（C）.（求解对照）由已知有选（C）.点评：本题考查等比数列的前n项和问题，考查学生的运算能力。（9）【解读与点评】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A B C D解法：选（A）.（求解对照）由椭圆定义有，又，得,则椭圆C为： 选（A）.点评：本题考查椭圆定义及基本性质，通过运算，算出椭圆方程各个参数，即a、b、c.（10）【解读与点评】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A B C D解法一：选（A）.（求解对照）设正四棱锥为P-ABCD，作PH底面ABCD于H，又设O为球心，则O在PH上，PH=4，令球的半径为R，则解得R=，所以球的表面积为： . 选（A）.APHDBQCPDDCHAB解法二：选（A）.（求解对照）如图，延长PH交球于另一点Q，则PQ为球的直径，连结AQ，则PAAQ，显然设球的半径为R，则选（A）.点评：本题考查学生的空间想象能力，重点在考查正四棱锥的性质以及球的性质。着重求出球的半径来解决问题。（11）【解读与点评】 已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于A2 B C4 D 解法：选（C）.（求解对照）由已知有，焦点到渐近线的距离为，从而,选（C）.点评：本题主要考查双曲线方程的定义及各个参数之间的关系。考查学生的运算能力。（12）【解读与点评】奇函数的定义域是R，若是偶函数，且，则（ ）A B C0 D1 解法：选（D）.（求解对照）由已知有奇函数的定义域是R,则,又是偶函数，则则1.选（D）.点评：本题是一道抽象函数，要通过已知是偶函数及把所求问题进行化简。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）（13）【解读与点评】的展开式中的系数为 .（用数字作答）解析：,则的展开式中的系数为，答：-160点评：本试题主要考查了二项式定理展开公式的运用利用二项式系公式求出相应项的系数，确定了n的值，然后再次利用通项公式，分析项的系数（14）【解读与点评】函数的最大值为 .解析：由，答： 点评：本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数的图像性质、函数值。（15）【解读与点评】yA (1，1)xoBC(-1，-1)设x、y满足约束条件，则的最大值为 .如图：点评：本题考查简单线性规划的问题，要求考生能够准确作出二元一次不等式组不是的平面区域，考查定点问题，试题立足教材，侧重考查基础知识和基本方法的应用，考查考生对线性规划问题的理解和应用，考查数形结合的思想方法。（16）【解读与点评】直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于 .点评：本题主要考查了学生数形结合能力，把比较复杂的问题通过图形画出来使问题简单化。三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） (17) 【解读与点评】（本小题满分10分）数列满足，.（）设，证明是等差数列；（）求的通项公式；点评：本题考查等差数列、等比数列的概念、通项公式与性质，考查考生对数列知识的综合运用，考查考生的运算求解的能力。(18) 【解读与点评】（本小题满分12分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，求B.解：由题设和正弦定理得 3sinAcosC=2sinCcosA 故 3tanAcosC=2sinC 因为 ,所以cosC=2sinC 所以 tanB=tan1800-(A-C) =-tan(A+C) 即 B=1350点评：这道试题从整体上看保持了往年的解题形式，依然是通过边角的转换，结合三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和正切定理来求解三角形中的角的问题，通过三角函数关系的化简得到角A、C的正切函数值，然后通过正切的两角和与差求出角B的正切函数值求出来(19)（本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，.（）证明：；（）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.解法一：（I）因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC又BCAC，所以BC平面AA1C1C连结A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，A1CAC1由三垂线定理得，.(II) 因为BC平面AA1C1C, BC平面BCC1B1, 故平面AA1C1C平面BCC1B1作A1ECC1，E为垂足，则A