大一上学期(第一学期)高数期末考试题.doc

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A） （B）（C） （D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数由方程确定，求以及.10.11.12. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 四、 解答题（本大题10分）13. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）14. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）15. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.16. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在处连续。四、 解答题（本大题10分）13. 解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）14. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）15. 证明：故有： 证毕。16.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 一.选择题（3分10）1.点到点的距离（ ）.A.3 B.4 C.5 D.62.向量，则有（ ）.A. B. C. D.3.函数的定义域是（ ）.A. B.C. D4.两个向量与垂直的充要条件是（ ）.A. B. C. D.5.函数的极小值是（ ）.A.2 B. C.1 D.6.设，则（ ）.A. B. C. D.二.填空题（4分5）1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为_.三.计算题（5分6）4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2.曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点，求此曲线方程试卷3参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD二.填空题1.三.计算题4. .四.应用题1.长、宽、高均为时，用料最省.2.高数试卷4（下）一.选择题（3分10）1.点，的距离（ ）.A. B. C. D.2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（ ）.A. B. C. D.3.函数的定义域为（ ）.A. B.C. D.4.点到平面的距离为（ ）.A.3 B.4 C.5 D.65.函数的极大值为（ ）.A.0 B.1 C. D.二.填空题（4分5）1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为_._.三.计算题（5分6）1.设，求4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）2.如图，以初速度将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律（提示：.当时，有，）试卷4参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题1.三.计算题1.4. .四.应用题2. .高数试卷5（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数的定义域为_.2.设函数, 则当a=_时, 在处连续.3. 函数的无穷型间断点为_.4. 设可导, , 则5. 6. =_.7. 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. ; 2.; 3. 三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. , 求. 2. , 求.3. 设, 求. 四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. . 2. .3. 五、(8分)求曲线在处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线 直线和所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.高数试卷5参考答案一1 2. 3. 4.5. 6.0 7. 二.1.原式=2.3.原式=三.1. 2. 3.两边对x求写： 四.1.原式= 2.原式= = = 3.原式=五. 切线：法线：六. 高等数学试卷6（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式 2 -3 的值为（ d ）4 5 A、10 B、20 C、24 D、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b 的向量积为（ c ）A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ c ）A、2 B、3 C、4 D、56、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（ ）（面积A=）A、R2A B、2R2A C、3R2A D、二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L1：x=y=z与直线L2：_。 直线L3：_。2、（0.98）2.03的近似值为_,sin100的近似值为_。三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。参考答案一、选择题1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B 10,A二、填空题1、 2、0.96，0.17365三、计算题2、解：因为x=t,y=t2,z=t3,所以xt=1,yt=2t,zt=3t2，所以xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3故切线方程为：法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0即x+2y+3z=6四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z则2（xy+yz+zx）=a2构造辅助函数F（x,y,z）=xyz+求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得： yz+2(y+z)=0 xz+2(x+z)=0 xy+2(x+y)=0与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零可得x=y=z代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为高数试卷7（上）一、 选择题（每小题3分）1、函数 的定义域是（ ）.A B C D 2、极限 的值是（ ）.A、 B、 C、 D、 不存在3、（ ）.A、 B、 C、 D、4、曲线 在点处的切线方程是（ ）A、 B、 C、 D、6、设 ，则 （ ）.A、 B、 C 、 D、7、（ ）.A、 B、 C、 D、 8、曲线 ， ，所围成的图形绕轴旋转所得旋转体体积（ ）.A、 B 、 C、 D、9、（ ）.A、 B、 C、 D、二、 填空题（每小题4分）1、设函数，则 ；2、如果 , 则 .3、 ；5、函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分）1、求极限 ； 2、求 的导数； 4、求不定积分 ；5、求定积分 ； 6、解方程 ；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线 与 所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数 的图象.参考答案一、1、C； 2、D； 3、C； 4、B； 5、C； 6、B； 7、B； 8、A； 9、A； 10、D；二、1、； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、8，0三、1、 1； 2、 ； 3、 ； 4、； 5、 ； 6、 ；四、 1、； 2、图略高数试卷8（上）一、选择题（每小题3分）1、函数 的定义域是（ ）.A、 B、 C、 D、 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A、 B、 C、 D、3、（ ）. A、 B、 C、 D、4、曲线的平行于直线的切线方程是（ ）.A、 B、 C、 D、 5、已知 ，则（ ）.A、 B、 C、 D、6、下列等式成立的是（ ）.A、 B、C、 D、 7、计算 的结果中正确的是（ ）.A、 B、 C、 D、 8、曲线 ， ，所围成的图形绕轴旋转所得旋转体体积（ ）.A、 B 、 C、 D、9、设 ，则 （ ）.A、 B、 C、 0 D、二、填空题（每小题4分）1、设 ，则有 ， ；2、设 ，则 ；3、函数在区间的最大值是 ，最小值是 ；4、 ；三、 计算题（每小题5分）1、求极限 ；2、求 的导数；4、求不定积分 ；5、求定积分 ；四、 应用题（每小题10分）1、求由曲线 和直线 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 的图象.参考答案（B 卷）一