第一十八章：三角形中位线定理.docx

三角形中位线定理 弋阳葛溪中学 路金生 教学目标：1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.3.在灵活运用三角形中位线定理进行有关证明和计算的过程中,经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.4.结合实际问题,进一步理解三角形中位线的概念及性质,培养创造性思维.【重点】掌握三角形中位线的性质.【难点】三角形中位线性质的证明.教学过程：一、导入:1、将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友,要求每人分得的形状和大小必须完全相同,该如何切割?学生思考,并尝试画出剪切线.同学们,通过今天的学习,你会找到一种新的切割方法.今天将要学习的内容是三角形中重要的线段中位线及其性质.2、通过操作实验导入新课,激发了学生学习本课的好奇心,为学习中位线及其性质做好铺垫.二、构建新知：1.三角形的中位线的定义思路一：我们应用平行四边形的性质与判定来研究三角形的中位线的概念及其性质.如图,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.教师讲解:三角形中位线的定义的两层含义:D,E分别为AB,AC的中点,DE为ABC的中位线.DE为ABC的中位线,D,E分别为AB,AC的中点.提问:三角形有几条中位线?你能画出来吗?学生尝试画图,教师巡视指正,引导学生观察总结:三角形有三条中位线.教师画出三角形的一条中线和一条中位线,追问:说出三角形的中位线与中线有何相同点和不同点.学生独立思考并回答,教师归纳总结:相同之处:都是和边的中点有关的线段.不同之处:三角形中位线的两个端点都是边的中点;三角形中线只有一个端点是边的中点,另一端点是三角形的顶点.这两个概念容易混淆,通过画图比较,巩固学生对中位线概念的理解,培养学生严谨细致的学习习惯.思路二：下面,我们一起来动手实践探索.请你做一做(让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板):(1)找出三边的中点.(2)连接六点中的任意两点(边除外).(3)找找哪些线是你已经学过的,哪些是未曾学过的?学生根据老师要求画出图形,如图所示,并说出已经学过的线段有AF,BE,CD,未曾学过的线段有DE,DF,EF.提问:没有学过的线段有什么特点呢?学生发现:线段DE,DF,EF的端点都是三角形的边的中点.教师明确:连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.如图,DE,EF,DF是三角形ABC的3条中位线.跟踪训练:如果D,E分别为AB,AC的中点,那么DE为ABC的; 如果DE为ABC的中位线,那么D,E分别为AB,AC的.答案:中位线中点师生总结:一个三角形有三条中位线.三角形的中位线和三角形的中线不一样,三角形的中位线是连接两边中点的线段,而三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段.设计意图在本环节,经过动手操作,学生会发现有3条是已经学过的中线,有3条是没有学过的.最终给出三角形中位线的定义,也引出了本节课的课题:三角形的中位线.这样做,既让学生得出三角形中位线的概念,又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线.为了使学生加深对三角形中位线的概念的理解,为后面的探究打下基础,设立了以上两道简单的练习题,让学生学会从图中找出信息.2.三角形的中位线的性质思路一提问:观察图形,猜想DE与BC有何位置关系,有何数量关系.学生活动:(1)剪一个三角形,记为ABC.(2)分别取AB,AC的中点D,E,并连接DE.第一小组代表:如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由题意易得ADECFE,从而可得ADFC,且AD=FC,因此有BDFC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DFBC,DF=BC,由作图知DE=DF,所以DEBC且DE=BC.(也可以过点C作CFAB,交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同)第二小组代表:如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,CD和AF,因为AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以ADFC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BDFC,且BD=FC.所以四边形BCFD是平行四边形.所以DFBC,且DF=BC,因为DE=DF,所以DEBC且DE=BC.第三小组代表:如图,过E点作AB的平行线交BC于N,交过A点与BC平行的直线于M,由题意及作图易知AEMCEN,可得ME=EN,AM=CN,因为AMBC,ABMN,所以四边形AMNB是平行四边形,所以AB=MN,AM=BN.又因为BD=AB,EN=MN,所以BD=EN,所以四边形BDEN是平行四边形,则DE=BN,DEBC,所以DE=BN=AM=CN,即DE=BC.第四小组代表:如图,过A,B,C三点分别作DE的垂线,分别交直线DE于点P,M,N.因为AP,BM,CN都垂直于DE,所以APBMCN.可证明APECNE,则AP=CN,PE=EN,ADPBDM,则AP=BM,MD=DP,所以BM=CN,DE=MN,所以四边形BMNC是平行四边形,所以DEBC,DE=MN=BC.教师明确:我们证明了以上结论的正确性,上述结论称为三角形中位线定理.请同学们用不同的表达方式(文字语言,符号语言)表述这一定理.师生归纳:三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.D,E分别是AB,AC的中点,DEBC,DE=BC.设计意图先由直观的方法感知DE与BC在位置与数量上的关系,再用说理的方式来证明这一关系,此举既满足了学生探求新知的欲望,获得成功的体验,又刺激学生进行更深入的探求.知识拓展(1)三角形的中位线所构成的三角形的周长是原三角形周长的一半.(2)三角形三条中位线可以把三角形分成三个平行四边形,分成的四个三角形全等.(3)三角形三条中位线所构成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一.3.例题讲解(补充)如图,ABC的中位线DE=5 cm,把ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8 cm,求ABC的面积.学生独立寻找三角形的底边和高后,再进行交流.连接AF,由折叠可知AFDE,再由中位线的性质,得到BC=2DE,DEBC,则AF是ABC的BC边上的高,进而求得ABC的面积.解:连接AF,如图所示.DE是ABC的中位线,BC=2DE=10 cm,DEBC.由折叠可知AFDE,AFBC,AF是ABC的边BC上的高.AF=8 cm,SABC=BCAF=108=40(cm2).归纳拓展本题还可以这样解:ABC的面积是四边形ADFE面积的2倍,而四边形ADFE的对角线互相垂直,因此它的面积等于对角线乘积的一半,所以ABC的面积等于AFDE.(补充)如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.解析因为已知点E,F,G,H分别是线段的中点,所以可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形,所以考虑添加辅助线,连接AC或BD,构造含有三角形中位线的基本图形后,此题便可得证.证明:连接AC,如图所示.在DAC中,AH=HD,CG=GD,HGAC,HG=AC(三角形中位线性质).同理可得EFAC,EF=AC.HGEF,且HG=EF.四边形EFGH是平行四边形.归纳总结顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四