勾股定理-提优.doc

第第四讲 勾股定理（提优）模块精讲1、 立体图形中的最短路径最短路径问题在很多题型中出现过，我们今天学习利用勾股定理求立体图形中的最短路径。EHMCDB例1、 如图，正方体的棱长为2，M是BC的中点。小明被绑在H点，李雷在M点，沿正方体表面去救小明，求救援的最短距离。GF2本题的关键是“沿正方体表面”，所以要把正方体的表面展开。如左图，线段MH就是最短的路径。MD = 3，HD = 2，易得MH = 13。HEGFMCBGHFMDCB那么，我们能把正方体表面像右图这样展开吗？可以计算一下，这时MH = 17，比刚才长。DCDCBADBA例2、 如图，圆柱体的高为40cm，底面周长为60cm。如果一只蚂蚁要从圆柱下底面上的A点沿侧面爬到相对的上底面上的C点，然后在侧面上另找一条路线爬回A点，求蚂蚁爬行的最短路线的长度。蚂蚁实际上是在圆柱的整个侧面上爬行。把圆柱的侧面沿AD母线A剪开，侧面展开得到一个矩形AADA。根据“两点之间线段最短”，可得所求的最短路线为：ACCA = 2AC由已知，BC = 40cm，AB = 底面周长的一半 = 30cm。根据勾股定理，AC = 50cm。因此，蚂蚁爬行的最短路线长为ACCA = 2AC = 100cm。2、 含15角的直角三角形B常见的特殊角有30，45，60等，含有这些角的直角三角形三边长构成固定的比例，在计算中我们现在研究含有15角的直角三角形三边边长的比例关系。例3、 如图，在ABC中，C = 90，A = 15，BC = 1，求AC、AB的长。15CA15不是特殊角，但它是特殊角30的一半。因此，我们想办法构造一个30的角，利用30角的比例关系解决问题。D作BD，使ABD = 15，则BDC = 30，DBC = 60.因此，BD = 2，CD = 3，且AD = BD = 2，AC = 23。根据勾股定理，AB = 8+43 = 6+2 。因此，我们得出含15角的直角三角形的三边的比例关系是 1：(32)：(6+2)在习题中，我们介绍另一种求解的方法。ED15BCDA15练习： 1、如图，在ABC中，C = 90，BAC = 15，BC = 1，求AC、AB的长。如图，过点A作BAD = BAC = 15，交CB的延长线于点D，过点B作BEAD于E，则可得BE = _，D = _；在RtBDE中，由D和BE，可得BD = _； CD = BCBD = _；又在RtACD中，CAD = 30，AC = _；在RtABC中，BC = 1，AB = _。3、 特殊角在计算中的应用A对于含特殊角的直角三角形我们已经非常熟悉，如果特殊角在一般的三角形中时，我们需要构造特殊的直角三角形。例4、 如图，在ABC中，B = 45，C = 60，（1）若AB = 152，求AC的长度；CB（2）若BC = 20，求ABC的周长。（1）作ADBC，构造两个直角三角形，并以AD作为过渡。（2）设未知数，列方程B例5、 （典型）如图，在ABC中，A = 30，AC = 20，BC = 15，C若B为钝角，求ABC的面积。A这题如果作BDAC，无法解决问题。主要有一个条件为“B为钝角”，可以把垂线段画在ABC之外。作CE垂直于AB的延长线，垂足为E。容易求出CE和BEA例6、如图，在ABC中，B = 15，C = 45，AB = 1，CB求BC的长。这题同样在ABC之外构造直角三角形。过B作CA的延长线的垂线，垂足为E。容易求出BE，再求出BC。总结：构造特殊直角三角形时，最好不要破坏已知的特殊角和边长。练习： 1、已知在ABC中，B = 60，C = 45，BC = 4，求AB的长。2、已知在ABC中，A为钝角，B = 45，BC = 10，AC = 8，求AB的长。3、已知在ABC中，B = 30，C = 15，AC = 10，求AB的长。4、 已知三角形两边及夹角求第三边ACB我们在全等三角形中学过SAS可以判定三角形全等，也就是说，三角形的两边和夹角确定了，第三边也确定了。如果夹角又是特殊角，就可以求出第三边的长了。例7、（1）已知在ABC中，AB = 5，BC = 42,B = 45，求AC边的长。思路还是构造特殊角直角三角形。过C作AB边上的高，或者过A作BC边上的高（2）已知在ABC中，AB = 3，BC = 42,B = 45，求AC边的长。结果相同。注意这时B是钝角，过C作AB边上的高时，垂足D在BA的延长线上。思路：在作三角形的高线时，首先要判断高线在三角形内还是在三角形外。C例8、如图，已知在ABC中，AC = 7，BC = 43,ACB = 150，求AB边的长。AB过A作BC边上的高，垂足在BC延长线上练习： 1、已知在ABC中，AB = 8，BC = 10,B = 60，求AC边的长。2、已知在ABC中，AB = 22，BC = 7,B = 45，求AC边的长。3、已知在ABC中，A = 150，AB = 6，AC = 63, 求BC边的长。A5、 构造特殊的直角三角形E例9、如图，已知在ABC中，AB = AC，A = 30，在AB上取点D，在AC上取点E，使BD = AE，DEC = 45，求证：DC = DE。DCB在构造直角三角形时，要保证不破坏已知的特殊角。因此，我们过D点作AC的垂线，垂足为H。这样形成了两个直角三角形：ADH和EDH。根据两个特殊角，就有：DH = EH和AD = 2DH = 2EH. 又根据BD = AE得AD = EC。A所以，EC = 2EH，再由三线合一DCB例10、如图，已知BD = DC = AC，ACD = 2ABD。求证：A = 120B。整理已知和结论。连AD，设B = ，则C = 2，CAD = 90，要证明A = 120B = 120，也就是要证明BAD = 30；这时，作DHAB于H，需证：AD = 2DH.C作CEAD于E，需证：DE = DH。 再由BHDCED可得证。DBA练习： 1、如图，已知在ABC中，ACB = 90，CAD = 30，且AC = BC = AD. 求证：BD = CD.作DMAC于M，作DNBC于N。有AD = 2DM，四边形DMCN为矩形。BC = AD = 2DM = 2CN. 因此DN是垂直平分线A6、 用勾股定理求三角形的高和中线例11、（1）如图，已知在ABC中，AB = 13，BC = 14，AC = 15，求ABC的面积。CB作一条高，设未知数列方程。（2）已知在ABC中，AB = 3，BC = 5，AC = 7，求AB边上的高。利用两个直角三角形的公共边。古希腊的数学家海伦发明了已知三角形三边长求面积的公式海伦公式： 已知三角形的三边长为a、b、c，设p = a+b+c2（半周长），则三角形的面积 S = pp-ap-b(p-c)C练习： 1、已知三角形的三边长分别为12、 15、 23，求此三角形的面积。2、已知三角形的三边长分别为12、 13、 5，求此三角形的面积。下面我们学习已知三角形的三边，求某一边上的中线（先求出高，再求中线）：例12、 如图，已知在ABC中，CD是AB边上的中线，且AB = 7，BC = 5，ABAC = 6，求CD的长。D图形中没有直角三角形，因此需要构造。作CEAB于E，得到三个CBAD直角三角形，需要求出CE和DE的长。求CE根据上一节的内容，设未知数列方程最后得CD = 73/2.例13、 如图，已知在ABC中，CD是AB边上的中线，且AB = c，BC = a，AC = b。 设CD = l，求证：l2=a2+b22-c24 .这题和上题一模一样，只是把具体的数字变成了字母，代表更一般的情况。方法和上题完全相同，最后由勾股定理可得CD2 = l2 = 题目结果通过这个题目，我们得到了已知三边长，求中线的公式：中线长公式：l2=a2+b22-c24其中，a、b为中线左右的两边，c为中线的底边。练习： 1、已知在ABC中， AB = 15，BC = 14，AC = 13，求BC边上的中线AD的长。2、已知在ABC中， AB = 25，BC = 6，AC = 42，求BC边上的中线AD的长。AB7、 构造直角三角形例14、 如图，四边形ABCD中，ABCD，AD = DC = BD = 3，BC = 4，ECD求AC。首先，构造直角三角形，并包含AC，作AECD的延长线于E。需求出AE和DE。F作BFCD，由ABCD，BF = AE.在BCD中，已知三边长，求高线。可做DGBC，运用面积法。A求出AE，在ADE中，可求出DE。最后得25.例15、（讲解）如图，ABC是等腰直角三角形，BC = AC，D是斜边AB的中点，EE、F分别是AC、BC边上的点，且DEDF。求证：AE2BF2 = EF2.GFDCB要证明的三个线段不在同一个直角三角形中，要转换延长ED到G，使DG = ED.易得ADEBDG. AE = BG；且BGBC；又DF垂直平分EG， EF = FG；由 BG2BF2 = FG2，可得AE2BF2 = EF2.A例16、 （练习）ABC是等腰直角三角形，AB = AC，BAC = 90，D、E是BC上两点，且DAE = 45， 求证：DE2 = BD2CE2. EDCB和例15类似，构造直角三角形。作CGBC于C，且使CG = BD，连EG和AG。易得ABDACG， AD = AG，且BAD = CAG。再由DAE = 45，易得GAE = 45， DAEGAE， DE = EG. C在ECG中，EG2 = DE2 = GC2CE2 = BD2CE2.例17、 （练习）ABC是等腰直角三角形，BC = AC，BCA = 90，P是斜边AB上一点。求证：AP2BP2 = 2CP2.PBA和上题相同，作BDAB于B，且使BD = AP.易得ACPBCD， AP = BD. AP2BP2 = BD2BP2 = PD2 ；需证 PD2 = 2CP2. 即PD = 2CP. 只需证CPD等腰直角即可。B8、 构造等边三角形例18、 （讲解）如图，在四边形ABCD中，ABC = 30，ADC = 60，AD = DC.A求证：BD2 = AB2BC2.EDC首先，易得ADC等边，要证明BD2 = AB2BC2，非常像勾股定理的形式，但是，这三条边不在一个三角形内，因此要转化线段。BPCA以BC为边构造等边BCE，易得BCDECA， BD = AE，又BC = BE，易得ABBE，在ABE中，AE2 = AB2BE2，得证。例19、 （练习）如图，ABC是等边三角形，P是ABC内一点，且PA = 2，PB = 23，PC =