函数与极限课件

1 1函数的概念及其初等性质 1 1 1预备知识 1 一些常用的符号 2 实数集 有理数集的稠密性 任意两个不同的有理数之间都有无穷多个有理数 无理数集 实数集 无理数 实数 无理数 实数 实数集的连续性 实数集与数轴上点的集合之间建立一一对应关系 3 常用不等式 绝对值 1 1 2函数的概念 一 函数的定义 定义 函数传统的习惯符号 注意 一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示 则称之为分段定义的函数 简称分段函数 有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 并用约定的符号予以表示 称为取整函数 例如 5 3 4 9 求极限时有用 阶梯曲线 称为非负小数部分函数 例3符号函数 三 函数的初等性质 1 函数的有界性 定理 2 函数的单调性 减 3 函数的奇偶性 证 偶函数 奇函数 4 函数的周期性 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 在 无穷 多个正周期中若存在一个最小数 此最小数称为最小正周期 1 1 3复合函数和反函数 1 复合函数 定义 注意 2 反函数 定义 定理 证明略 注意 1 1 4初等函数 基本初等函数 6类 常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 1 常值函数 2 幂函数 3 指数函数 4 对数函数 5 三角函数 6 反三角函数 都是初等函数 1 2数列极限 引例 如何用渐近的方法求圆的面积S 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积 A2表示圆内接正12边形面积 A3表示圆内接正24边形面积 An表示圆内接正6 2n 1边形面积 显然n越大 An越接近于S 因此 需要考虑当n 时 An的变化趋势 数列 如果按照某一法则 对每一n N 对应着一个确定的实数xn 则得到一个序列x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为 xn 其中第n项xn叫做数列的一般项 数列举例 2 4 8 2n 1 1 1 1 n 1 一 数列极限的定义 数列是整标函数 注意 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 1 2 3 分析当n无限增大时 下列数列的项的变化趋势及共同特征 问题 意味着什么 如何用数学语言定量地刻划它 定义1 定义2 注意 用定义 验证数列极限 关键是如何由任意给定的寻找N 例1 证 例2 证 注 例3 证 证 综合之 故 二 收敛数列的性质和运算 定理1 唯一性 定理2 有界性 二 收敛数列的性质 定理1 极限的唯一性 如果数列 xn 收敛 那么它的极限唯一 定理2 收敛数列的有界性 如果数列 xn 收敛 那么数列 xn 一定有界 定理3 收敛数列的保号性 如果数列 xn 收敛于a 且a 0 或a 0 那么存在正整数N 当n N时 有xn 0 或xn 0 推论如果数列 xn 从某项起有xn 0 或xn 0 且数列 xn 收敛于a 那么a 0 或a 0 用反证法证明 子数列的概念 定义 左向右任意选取无穷多项 并按它们在原数 列中的次序排成一个新的数列 表为 简称子列