普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷含解析） (2).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=( )a、1+i b、1-i c、-1+i d、-1-i 【答案】d【解析】试题分析：.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z的代数式；由题 ，故选d.考点：复数的运算2、 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图i所示;若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数为( )a、3 b、4 c、5 d、6【答案】b考点：茎叶图3、设xr，则“x1”是“1”的（ ） a、充分不必要条件 b、必要不充分条件c、充要条件 d、既不充分也不必要条件【答案】c【解析】试题分析：.由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知“x1”可以推得“1”， “1”可以得到“x1”，所以“x1”是“1”的充要条件，故选c.考点：命题与条件4、若变量x、y满足约束条件 ，则z=2x-y的最小值为( )a、-1 b、0 c、1 d、2【答案】a 考点：简单的线性规划5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的s=( )a、 b、 c、 d、【答案】b考点：程序框图6、若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为a、 b、 c、 d、【答案】d【解析】试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4）， 故选d.考点：双曲线的简单性质7、若实数a，b满足，则ab的最小值为( )a、 b、2 c、2 d、4【答案】c考点：基本不等式8、设函数f（x）=ln （1+x）-ln（1-x），则f（x）是( )a、奇函数，且在（0,1）上是增函数 b、奇函数，且在（0,1）上是减函数c、偶函数，且在（0,1）上是增函数 d、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】a【解析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），函数的定义域为（-1，1），函数f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-ln（1+x）-ln（1-x）=-f（x），所以函数是奇函数 ，已知在（0,1）上 ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选a.考点：利用导数研究函数的性质9、已知点a,b,c在圆上运动，且abbc，若点p的坐标为（2，0），则 的最大值为a、6 b、7 c、8 d、9【答案】b【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆是一ac位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到，易知当b为（-1，0）时取得最大值.由题意，ac为直径，所以 ,已知b为（-1，0）时，取得最大值7，故选b.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）a、 b、 c、 d、 【答案】a 考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、已知集合u=，a=,b=,则a()=_.【答案】1，2，3.考点：集合的运算12、在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线c的极坐标方程为，则曲线c的直角坐标方程为_.【答案】【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可曲线c的极坐标方程为 ，它的直角坐标方程为 ， 故答案为：考点：圆的极坐标方程13. 若直线3x-4y+5=0与圆相交于a,b两点，且（o为坐标原点），则r=_.【答案】【解析】试题分析：直线3x-4y+5=0与圆交于a、b两点，aob=120，则aob为顶角为120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离为，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案如图直线3x-4y+5=0与圆 交于a、b两点，o为坐标原点，且aob=120，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离为 ， .故答案为2.考点：直线与圆的位置关系14、若函数f（x）=| -2 |-b有两个零点，则实数b的取值范围是_.【答案】0b2 考点：函数零点15、已知0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则 =_.【答案】 考点：三角函数图像与性质三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。（i）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（ii）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。【答案】（i） (ii) 说法不正确；【解析】试题分析：（i）利用列举法列出所有可能的结果即可；(ii)在（i）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，什么镇江概率大于不中奖概率是错误的；试题解析：（i）所有可能的摸出结果是： （ii）不正确，理由如下： 由（i）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确。考点：概率统计17. （本小题满分12分）设的内角的对边分别为。（i）证明：；(ii)若，且为锐角，求。【答案】（i）略；(ii) 【解析】试题分析：（i）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得，所以 ；(ii)根据两角和公式化简所给条件可得，可得，结合所给角b的范围可得角b,进而可得角a,由三角形内角和可得角c.试题解析：（i）由及正弦定理，得，所以。 （ii）因为 有（）知，因此，又为钝角，所以，故，由知，从而，综上所述，考点：正弦定理及其运用18. （本小题满分12分）如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。（i）证明：平面平面；（ii）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。【答案】（i）略；(ii) .【解析】试题分析：（i）首先证明，得到平面，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面平面； (ii)设ab的中点为d,证明直线直线与平面所成的角，由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.试题解析：（i）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形 的边的中点，所以，因此平面，而平面，所以平面平面。（ii）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，所以，在中，所以故三棱锥的体积。考点：柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质19. （本小题满分13分）设数列的前项和为，已知，且，（i）证明：；（ii）求。【答案】（i）略；(ii) 【解析】试题分析：（i）当时，由题可得，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可； (ii)通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.试题解析：（i）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，。（ii）由（i）知，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，于是 从而，综上所述，。考点：数列递推关系、数列求和20. （本小题满分13分）已知抛物线的焦点f也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点f的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向。（i）求的方程；（ii）若，求直线的斜率。【答案】（i） ；(ii) .【解析】试题分析：（i）由题通过f的坐标为，因为f也是椭圆的一个焦点，可得，根据与的公共弦长为，与都关于轴对称可得，然后得到对应曲线方程即可； (ii) 设根据，可得，设直线的斜率为，则的方程为，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.试题解析：（i）由知其焦点f的坐标为，因为f也是椭圆的一个焦点，所以 ； 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为， ，联立得，故的方程为。（ii）如图，设 因与同向，且，所以，从而，即，于是 设直线的斜率为，则的方程为，由得，由是这个方程的两根，由得，而是这个方程的两根， 将、代入，得。即所以，解得，即直线的斜率为考点：直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质21. （本小题满分13分）函数，记为的从小到大的第个极值点。（i）证明：数列是等比数列；（ii）若对一切恒成立，求的取值范围。【答案】（i）略；(ii) 【解析】试题分析：（i）由题 ，令 ，求出函数的极值点，根据等比数列定义即可得到结果；(ii)由题问题等价于恒成立问题，设，然后运用导数知识得到，所以，求得，得到a的取值范围；试题解