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数学归纳法例题例请读者分析下面的证法：证明：n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立假设n=k时，等式成立，即：那么当n=k+1时，有：这就是说，当n=k+1时，等式亦成立由、可知，对一切自然数n等式成立评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求正确方法是：当n=k+1时这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，例2是否存在一个等差数列an，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来an，然后再证明一般性解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组，解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因为起始值已证，可证第二步骤假设n=k时，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时，a1+2a2+3a3+kak +(k+1)ak+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3=(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1(k+1)+2这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)成立综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立例3证明不等式 (nN)证明：当n=1时，左边=1，右边=2左边2*3+1,2的n次方大于2n+1成立设nk,k3时成立则：2(k+1)=2*2k2*(2k+1)=4k+22k+82(k+1)+1n=k+1时成立所以，2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1n2n3n4n能被5整除证明 设A=1n2n3n4n，当n=4k(k为整数)时，1n、3n的个位数均为1，2n、4n的个位均为6，1+1+6+6=14，A的个位为4，显然A不能被5整除当n4k时，若n=4k+1，易知A的个位=（1+2+3+4）的个位=0，A能被5整除当n=4k+2时，A的个位=（1+4+9+16）的个位=0，A能被5整除当n=4k+3时，A的个位=（1+8+27+64）的个位=0，A能被5整除综上所述，当且仅当指数n不能被4整除时，A能被5整除，也即当且仅当指数n不能被4整除时，1n2
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