随机变量及其概率分布.doc

2.1随机变量及其概率分布替换原书37页1抛掷两颗骰子，所得点数之和为X，那么X4表示的随机试验的结果是.解析：由431或22，得X4表示一颗3点，一颗1点，或两颗都是2点.答案：一颗3点，一颗1点，或两颗都是2点.替换原书37页知识要点一：随机变量与函数的区别联系联系：随机变量与函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射；函数是实数到实数的映射.随机试验的结果相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.区别：随机变量与函数的自变量不同，随机变量的自变量是试验结果（即样本点），函数的自变量是实数.替换原书37页知识要点二：随机变量1随机变量是随机试验的结果数量化.2随机变量的取值对应于随机试验的某一. 例如“掷一颗骰子”这一随机事件中所得到的点数是一个随机变量X，随机变量X2，即对应随机事件：“掷五颗骰子，出现2点”. 3.随机变量作为一个变量，当然有它的取值范围，这和以前学过的变量一样，不仅如此，还有它取每一个值的可能性的大小.替换原书37页例1写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.（1）盒中装有6枝白粉笔和2枝红粉笔，从中任意取出3枝，其中所含白粉笔的枝数为X，所含红粉笔的枝数为Y；（2）从4张已编号（14号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡号数之和X.思路点拨：根据随机变量的概念分析求解.解：（1）X可取1，2，3.Xi表示取出枝白粉笔，3枝红粉笔，其中1,2，3.Y可取0，1，2. Yi表示取出枝红粉笔，3枝白粉笔，其中0，1，2.（2）X可取3，4，5，6，7.其中X3表示取出分别标有1,2的两张卡；X4表示取出分别标有1,3的两张卡；X5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡；X6表示取出分别标有2,4的两张卡；X3表示取出分别标有3,4的两张卡.方法技巧：随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本质.替换原书39页例4设随机变量X的分布列P（X）（1）求常数的值；（2）求P（X）；（3）求P（）.思路点拨：先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定.解：由题意可得XP2345（1）由23451，得.（2）P（X）P（X）P（X）P（X）.（3）P（）P（X）P（X）P（X）.方法技巧：利用随机变量分布列可以求随机变量在某范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列随机变量取不同的值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出概率.变式训练：设随机变量X的概率分布如下：X012P求：（1）P（X1）；（2）解：（1）P（X1）P（X0）P（X1）.（2）替换原书.40页1袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 。取到球的个数；取到红球的个数；至少取到一个红球；至少取得一个红球的概率答案：X01P41替换原书40页3若离散型随机变量的分布列为则.解析：由题意得，解得.答案：替换原书.40页4.设随机变量的分布列为，则.解析：由题意可得，X123P则1，解得.故答案：替换原书.41页10甲、乙等5名奥运志愿者，被随机分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位的概率；（3）设随机变量为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列.解：（1）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件M，则P（M）.（2）记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件N，则P（N），故甲、乙两人不在同一个岗位的概率为P（）1P（N）.（3）随机变量可能取的值为1,2，事件“2”是指有两人参加A岗位服务，则P（2），故P（1）1P（2），所以的分布列为12P2.2超几何分布替换原书.42页 2某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任选6人参加竞赛，用表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是.P（2）；P（3）；P（4）；P（5）.解析：由表示从5名“三好生”中选出3人的方法种数，得P（3）答案：替换原书.43页例1某校高三年级某班课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生人数，求X的概率分布.思路点拨：选出的男生人数是随机变量，服从超几何分布.解：依题意得随机变量X服从超几何分布，则H（k；4，6，10），所以，.故X和概率分布为：X01234P方法技巧：像古典型概率公式一样，利用我们熟悉的超几何分布的概率模型可以避免随机变量取每一个可能值时重复求解概率过程，从而简化解题过程.因此我们必须熟练掌握这些常用的概率模型.替换原书.44页1一个盒子中装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列概率中等于的是.P（02）P（1）P（1）P（2）解析：表示所取的两个球中恰有1白球的种数，表示所取的两个球中没有白球的种数，故P（1）.答案：替换原书.44页3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，则“所选3人中女生人数1”的概率是.解析：P（1）P（0）P（1）.答案：替换原书.44页5.教师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出2篇才能及格.某同学只能背诵其中的篇，则他能及格的概率是.解析：记该同学抽到会背诵的篇数为，则他能及格的概率为P（2）P（2）P（3）.答案：替换原书.44页11某箱子中装有30个零件，其中5件是次品，其余为合格品，从箱子中任意取出4个零件，其中次品数为随机变量，求：（1）所取出的4个零件中没有次品的概率；（2）所取出的4个零件中恰有2件次品的概率；（3）所取出的4个零件中至多有2件次品的概率. 解：依题意得随机变量X服从超几何分布，则H（k；4，5，30）. （1）P（0）；（2）P（2）；（3）P（2）P（0）P（1）P（2）.2.3.1条件概率替换原书.4.7页2设A、B是两个随机事件，且事件A发生必有事件B发生，P（B）0，则下列各式中正确的是（只填序号）P（A）P（A/B）P（A）P（A/B）P（A）P（A/B）P（A）P（A/B）解析：由P（A/B），且0P（B）1，得P（A）P（A/B）.答案：替换原书.47页例1一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品，从中取产品两次，作不放回抽样，设事件A第一次取到一等品，事件B第二次取到一等品，试求条件概率P（B/A）.思路点拨：利用古典概型概率公式求P（A），P（AB），再利用条件概率公式求P（B/A）.解：从5件产品中分两次取出两件产品，含有5420个基本事件，事件A中含有3412个基本事件，事件AB中含有326个基本事件，故P（A），P（AB），所以P（B/A）.方法技巧：求条件概率时的关键是计算试验及事件A、AB所含基本事件的个数，从而利用古典概型概率公式计算好P（A），P（AB）.变式训练11：一个人口调查结果表明，深色眼睛和父亲和深色眼睛的儿子占被调查的5；深色眼睛和父亲和浅色眼睛的儿子占7.9；浅色色眼睛和父亲和深色眼睛的儿子占被调查的8.9；浅色色眼睛和父亲和浅色眼睛的儿子占被调78.2. 问：（1）在父亲是深色眼睛的条件下，儿子是深色眼睛的概率是多少？（2）在儿子是深色眼睛的条件下，父亲是深色眼睛的概率是多少？解：记事件A：“父亲是深色眼睛”，事件B：“儿子是深色眼睛”，依题意得，P（AB）0.05，P（）0.079，P（）0.089，P（）0.782,则P（A）P（AB）P（）0.129，P（B）P（AB）P（）0.139,（1）P（B/A）.（2）P（A/B）.替换原书.48页例2一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，从中任取两次，每次取一只，每次取后不放回.（1）求第一只是好的概率；（2）在第一只是好的情况下，求第二只也是好的概率.思路点拨：根据计数原理，计算出事件总数及各种事件数后即可求解.解：记事件A：“第一只是好的”，事件B：“第二只是好的”，依题意得，试验所含基本事件数为：10990，事件A所含基本事件数为：6954，事件AB所含基本事件数为：6530.（1）P（A）（2）P（AB），所以P（B/A）.方法技巧：用古典概型准确求解事件A、AB的概率，是准确求解条件概率的关健.变式训练21：袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取2个球，求第一次是白球的情况下，第二次是黑球的概率.解：设事件A：“第一次是白球”，事件B：“第二次是黑球”，试验中所含基本事件数为：5420，事件A中含基本事件数为：248，事件AB含基本数为：236，则P（A），P（AB），所以P（B/A）.替换原书49页2若100件产品中有10件次品，从中任取两件，已知取出的两件中有次品，则两件都是次品的概率是.解析：记事件A：“两件都是次品”，事件B：“两件中有次品”，则P（A），P（B），P（AB）P（A），故P（A/B）.答案：.3.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有1件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是.解析：记事件A：“所取的两件中有1件是不合格品”，事件B：“另一件也是不合格品”，则P（A），P（AB），故P（B/A）.答案：5投掷红、蓝两枚骰子，事件A红骰子出现4点，事件B蓝骰子出现的点数是偶数，则P（A/B）.解析：P（B），P（AB），故P（A/B）.答案：10在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求：（1）第一次抽到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.解：记第一次抽到理科题为事件B，第二次抽到理科题为事件A，则第一次和第二次都抽到理科题为事件AB.（1）从5道题中不放回的依次抽取2道题的事件数为5420，事件B的总数为3412，故P（B）.（2）事件AB的总数为326，故P（AB）.（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题为事件A/B，故P（A/B）.2.3.2事件的独立性替换原书51页做一做3甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率是，乙能解出的概率是，则试题被解出的概率是. 解析：记“甲解出试题”为事件A，“乙解出试题”为事件B，试题被解出，即甲、乙两人至少有一人解出，其对立事件是两人都未解出，即事件，依题意得，P（）1P（A）1，P（）1P（B）1，故P（）P（）P（），所以试题被解出的概率为1P（）1.答案：替换原书53页例2一个布袋里有3个白球，2个红球，每次从中任取两个球，取出后再放回，求：（1）第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率；（2）第一次取出的2上球1个是白球，1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率.思路点拨：利用独立事件的概率求解.解：记：“一次取出的2个球都是白球”为事件A，“一次取出的2个球都是红球”为事件B，“一次取出的2个球1个是白球，1个是红球”相互为事件C，由于每次取出后再放回，故A，B，C都是独立事件.（1）P（AB）.故第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球也都是红球的概率是（2）P（CA）.故第一次取出的2上球1个是白球，1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率是方法技巧：求相互独立事件同时发生的概率的关键是运用古典概型公式求好各事件发生的概率.变式训练21：甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译概率分别为和求：（1）两人都译出密码的概率；（2）密码被译出的概率.解析：记：“甲独立译出密码”事件A，“乙独立译出密码”事件B，则A，B为相互独立事件， 且P（A），P（B）（1）两人都译出密码的概率为：P（AB）P（A）P（B）（2）密码被译出，即是说两人中至少有一人译出密码，其对立事件是两人都没有译出密码，即事件，依题意得，P（）1P（A）1，P（）1P（B）1，故P（）P（）P（），所以密码被译出的概率为1P（）1.替换原书55页例5.某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均不影响.(1) 求他不需要补考就可获得证书的概率；(2) 在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列.思路点拨：（1）不需要补考就可获得证书，即两科考试都合格.（2）参加考试的次数的所有取值为2，3，4，将各自的概率算出.解:设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B. ()不需要补考就获得证书的事件为A1B1,注意到A1与B1相互独立，则. ()由已知得，2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 =故他参加考试次数分布列为234P方法技巧：本题是以相互独立事件的概率为模型的随机变量的分布列问题，考查了利用对立事件求概率思想，以及应用数学知识解决实际问题的能力.变式训练51：在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球.求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数的分布列.解析：(1)设取球次数为，则.所以最多取两次的概率 (2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为 (3)设取球次数为，则，则分布列为123P替换原书55页1已知下列各对事件：甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.今从甲、乙两组中各选1名同学参加游园活动.“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.一盒内装有5白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”一筐内装有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把苹果再放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”.其中为相互独立事件的是.解析：记“从甲组中选出1名男生”为事件A，“从乙组中选出1名女生”为事件B，则P（A），P（B），P（AB）P（A）P（B），故A与B是相互独立事件；记“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”为事件A，“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”为事件B，则P（A）P（B）若事件A不发生，则P（B）故事件A发生与否对事件B的概率有影响，所以A与B不是相互独立事件；这是有放回的抽取，两事件的概率互不影响，故是相互独立事件.答案：替换原书55页2在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内，两地是否下雨互不影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率是.解析：记“甲地下雨”为事件A，“乙地下雨”为事件B，则A，B是相互独立事件，且P（A）0.3，P（B）0.4，故甲、乙两地都不下雨的概率是（10.3）（10.4）0.42.答案：0,42替换原书56页.5.从甲袋中模出一个红球的概率是，从乙袋中模出一个红球的概率是，则从两袋中各模出一个球，至少有一个红球的概率是.解析：记“从甲袋中模出一个红球”为事件A，“从乙袋中模出一个红球”为事件B，则“从两袋中各模出一个球，至少有一个红球的对立事件”是事件，故所求的概率是1P（）11（1）（1）.答案：替换原书57页11.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（）求取出的4个球均为黑球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.解：（）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.则事件A、B相互独立，且, .所以取出的4个球均为黑球的概率为.（）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.则事件C、D互斥，且,. 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为 . （）设可能的取值为0,1,2,3.由（）、（）得, ,.所以. 的分布列为0123P2.4二项分布替换原书58页做一做3设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于.解析：第3次首次测到正品，第一、二次测到的都是次品，故答案： .4.设随机变量的概率分布列为，则a的值为.解析：依题意得，解得a.答案：替换原书58页思路点拨：（1）油罐被第三发子弹引爆，即是说前两发子弹只有一发击中油罐，且第三子弹击中油罐.（2）用对立事件求解.替换原书58页例1在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立. () 求油罐被第三发子弹引爆的概率； () 求油罐被引爆的概率.解：（I）记“油罐被第三发子弹引爆”为事件A，则P(A).答：油罐被第三发子弹引爆的概率是.（II）“油罐被引爆”的事件为事件B，其对立事件为，则P()=C，P(A)=1-答：油罐被引爆的概率为.方法技巧：解决此类问题不仅要注意“击中”，还要注意“未击中”，否则会出现错误P(A)，同时注意对立事件的灵活应用.变式训练11：已知某射手每次射击击中目标的概率都是0.8，现连续射击次，求：（1）的概率；（2）至少有一发子弹击中目标的概率.解：（1）记“恰有3次击中目标”为事件A，则（2）记“至少有一发子弹击中目标”为事件B，其对立事件为，则P（B）1P()10.9984.替换原书59页例3在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为. （1）其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率； （2）设这4名考生中选做第15题的学生数为个,求的分布列及数学期望.思路点拨：运用独立重复试验与二项分布求解.解：（）设事件表示“甲选做14题”,事件表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”,且事件、相互独立 =（）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4.且. 所以变量的分布列为01234方法技巧：解决此类问题的关键是分清事件类型，准确运用相关公式求解.替换原书60页2已知随机变量服从二项分布，则(等于( )解析：.答案：替换原书60页3某学生解选择题出错的概率为，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是 .A. B. C. D. 解析：记“该生解三道选择题至少有一道出错”为事件A，则，故P（A）.答案：替换原书61页5.某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是 解析：设击中目标的次数为X，则0.512，0.4096，至少击中3次的概率是0.9216.答案：0.9216替换原书61页探究创新11某人在水池中养了10条金鱼，其中4条为白色，6条为红色，他每天随机地从水池中取出3条放入水箱中进行观察，观察后又把这3条放回水池中，连续5天的观察。（1）问一天中，他取出两种颜色鱼的概率是多少？（2）设随机变量X是取出两种颜色鱼的天数，求X的概率分布.解：（1）取出两种颜色的鱼有两种可能，即1条白色鱼，2条红色鱼；或2条白色鱼，1条红色鱼。取出1条白色鱼，2条红色鱼的方法数为；取出2条白色鱼，1条红色鱼的方法数为；而从10条鱼中取出3条鱼的方法数为.故所求的概率为：； 5（2）依题意得，则X的概率分布X012345P可以化简为X012345P2.5.1离散型随机变量的均值替换原书62页 做一做X123P0.40.20.42随机变量的分布列是 则. A.2和0.8 B.1.8和0.8 C.2和1 D.2和1.8解析：依题意得10.420.230.42.答案：2替换原书63页例1某一射手射击所得环数分布列为45678910P0.020.040.060.090.280.290.22.（1） 求射击所得环数的数学期望；（2）求此射手“射击一次命中环数7”的概率.思路点拨：（1）根据数学期望公式求解.（2）根据互斥事件的概率加法公式求解.解：（1）依题意得，40.0250.0460.0670.0980.2890.29100.22 8.32（2）“射击一次命中环数X7”是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：P（7）P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88 方法技巧：求离散型随机变量的均值关键在于列出概率分布表.变式训练11：某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数的数学期望.解：的取值分别为0、1、2表示抽取两件均为正品 表示抽取一件正品一件次品表示抽取两件均为次品 的概率分布为： 012P0902500950002500.902510.09520.00250.10替换原书64页1已知随机变量X的分布列为：012P且Y2X3，则.解析：012，则234.2.答案：4.2替换原书64页3.已知随机变量X的分布列为：1234Paa则.解析：依题意得1，解得，故1234.答案：替换原书64页6某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为，击中目标停止射击，射击次数X为随机变量，则.解析:X的可能取值为：1，2，3，4，5，由得，X的分布列：12345P则12345.答案：替换原书65页11.甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙大。（）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；（）求测试结束后通过的人数的数学期望。解：（）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、依题意得：即 或 （舍去）所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、. （）依题意得随机变量可能的取值为：0，1，2，3，则 ； ；，故随机变量的分布列为：0123P所以.高考赏析替换原书66页（2009重庆卷理）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（）两种大树各成活1株的概率；（）成活的株数的分布列与期望 解：设表示甲种大树成活k株，k0，1，2，表示乙种大树成活l株，l0，1，2，则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 , .据此算得 , , . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , , .() 所求概率为.() 解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且 , ,= . .综上知有分布列01234P从而，的期望为（株）解法二：分布列的求法同上令分别表示甲乙两种树成活的株数，则，故有 ， ， 从而知2.5.1离散型随机变量的方差与标准差替换原书67页做一做2设随机变量X服从二项分布B（4，），则V（X）的值为.解析：由二项分布的方差性质得V（X）4（1）答案：替换原书68页例3欲从甲、乙两名射击运动员中选拨一人参加射击比赛，已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列分别为：X10987650P0.50.20.10.10.050.050Y10987650P0.40.20.10.10.10.10试分析甲、乙两人的技术优劣，判断选哪人参赛最合适.思路点拨：求出E（X）、E（Y）、V（X）、V（Y），比较它们的大小，得出合理的判断.解：依题意得，E（X）100.590.280.170.160.0550.05008.85，E（Y）100.490.280.170.160.150.1008.4V（X）2.2275V（Y）3.04，则E（X）E（Y），V（X）V（Y）.由E（X）E（Y），说明甲的平均水平比乙高，由V（X）V（Y），说明甲比乙稳定，所以甲比乙技术好，故选甲参赛最合适.方法技巧：解决此类问题主要是将实际问题的数量指标用随机变量表示，把实际问题转化为随机变量的均值与方差问题求解.替换原书69页2已知随机变量，且，则n.解析：依题意得，解得n60.答案：60替换原书69页4对于随机变量X，若10，则.解析：由，得0.1.答案：0.1替换原书69页5.已知随机变量X，其分布列为：101P则.解析：依题意得1，解得或1（舍去），故.答案：替换原书70页11在奥运会射箭决赛中，参赛号码为14号的四名射箭运动员参加射箭比赛。 （）通过抽签将他们安排到14号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率； （）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为（所有取值为0，1，2，3，10）分别为、.根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：01234567891000000.060.040.060.30.20.30.0400000.040.050.050.20.320.320.02若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率； 判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由解：（）从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为 （）由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P=（1-0.3）（1-0.32）=0.476至少有一人命中9环的概率为P=1-0.476=0.524 又V（）2.162.2275V（）1.8275.因为E（）E（），V（）V（），所以2号射箭运动员的射箭水平高.2.6正态分布替换原书72页2设随机变量X服从，且，则p.解析：根据正态分布的性质可得，1，故0.5.答案：0.5替换原书73页例4某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N（4,0.52），质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？思路点拨：判断外径为5.7cm这一事件是否为小概率事件.解：由于X服从正态分布N（4,0.52），由正态分布分布的性质可得，正态分布N（4,0.52）在（430.5，430.5）之外的取值概率只有0,003，而5.7，这说明在这一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件不合格.方法技巧：本题的解题方法体现了统计中假设检验的基本思想，即根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则，和从总体中抽测的个体数值，对事件所做的统计假设做出判断：是拒绝假设，不是接受假设.变式训练41：某砖瓦厂生产砖的“抗断强度”X服从正态分布N（30,0.82），质检人员从该厂某天生产的1000块中随机抽查一砖块，测得它的抗断强度为27.5kg/cm2,你认为该厂这天生产的这批砖是否合格.解：由于X服从正态分布N（30,0.82），由正态分布分布的性质可得，正态分布N（30,0.82），在（3030.8，3030.8）之外的取值概率只有0,003，而27.5，这说明在这一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这天生产的这批砖不合格.替换原书74页2正态总体N（0,1）在区间（3，2）和（2，3）上取值的概率分别为，则的大小关系是.解析：根据标准正态分布的性质可知，.答案：.替换原书74页3某电器的使用寿命为X（单位：小时），已知X服从（1000,302），要使电器的平均寿命为1000小时的概率不小于99.7，则应将电器的寿命控制在小时之上.解析：依题意得，在（1000330，1000330）即（910,1090）上的概率约为99.7，故电器的寿命控制在910小时之上.答案：910替换原书74页5某厂生产的零件的外直径（mm），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一件，测得其外直径分别为7.9mm 和7.5mm，则可认为.上、下午生产情况均为正常上、下午生产情况均为异常上午生产情况正常，下午生产情况异常上午生产情况异常，下午生产情况正常.解析：由于X服从正态分布，由正态分布分布的性质可得，正态分布，在（830.15，830.15）即（7.55,8.45）之外的取值概率只有0,003，而7.9（7.55,8.45）7.5，所以上午生产情况正常，下午生产情况异常.答案：替换原书75页8某中学高考数学成绩近似地服从正态分布N（100,10），求此校数学成绩在120分以上的考生点总人数的百分比.解：1，又，所以，所以该校数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28.答：该校数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28.章末总结替换原书77页例3旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 （2）求恰有2条线路没有被选择的概率. （3）求选择甲线路旅游团数的分布列.思路点拨：利用古典概型求各概率.解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1= （2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2= （3）设选择甲线路旅游团数为，则=0，1，2，3 P（=0）= P（=1）=P（=2）= P（=3）= 的分布列为：0123P 方法技巧：利用古典概型求概率的关键是运用计数有条理和排列组合知识计算各事件的基本事件数.替换原书78页例.6某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.思路点拨：运用相互独立事件概率知识求各事件的概率.解：（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.（）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），即的分布列是02468的期望是.方法技巧：写出离散型随机变量的分布列或求其数学期望关键在于确定随机变量的取值以及每一个值对应的概率.替换原书78页例7主持人准备了A、B两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金元，答对问题B可获奖金2元，先答哪个问题由观众