内蒙古北方重工三中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

内蒙古北方重工三中2015届高 三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1已知复数z满足（1i）=2，则z5=( )a16b4+4ic16d16i考点：复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数分析：由已知的等式利用复数代数形式的乘除运算求出，得到z，再由复数代数形式的乘法运算求得答案解答：解：（1i）=2，则z=1i25=（1i）5=（1i）4（1i）=4（1i）=4+4i故选：b点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2若a=x|log2（x4）1，b=y|y=3x+2，4x3，则ab=( )ad（0，11考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算 专题：函数的性质及应用分析：由条件根据对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域求得a，再根据一次函数的定义域求出它的值域，可得b，从而求得ab解答：解：a=x|log2（x4）1=x|0x42=x|4x6，b=y|y=3x+2，4x3=x|10x11，ab=（4，6），故选：b点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题3已知函数y=sin（2x+）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则的最小正值为( )abcd考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=asin（x+）的图象变换 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：求得sin（2x+）向左平移个单位后的解析式，利用正弦函数的对称性可得的最小值解答：解：y=sin（2x+）的图象向左平移个单位后得：g（x）=f（x+）=sin（2x+），g（x）=sin（2x+）的图象关于y轴对称，g（x）=sin（2x+）为偶函数，+=k+，kz，=k+，kz0，min=故选：b点评：本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，求得函数图象平移后的解析式是关键，考查综合分析与运算能力，属于中档题4下列各式中最小值为2的是( )abcex+ex（xr）d考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用基本不等式的性质即可判断出解答：解：a，sinx（0，1），=2，因此无最小值b.=+2，因此无最小值；cex+ex=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值为2dx0时，2，最小值不可能是2综上可得：只有c满足题意故选：c点评：本题考查了基本不等式的性质，使用时注意“一正二定三相等”的法则，属于基础题5已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )abcd考点：简单线性规划 专题：数形结合分析：我们可以画出满足条件 ，的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数a的方程，即可得到a的取值解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：由 ，得a（1，1），由，得b（a，a），当直线z=2x+y过点a（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点b（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=43a，a=，故选b点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），即可求出参数的值6由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为( )ab4cd6考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：s=故选c点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题7已知rtabc，c=90，ca=3，cb=4，点d、e在ab上，满足，则=( )abcd考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：将则中的向量分别用三角形的三边对应的向量表示，结合已知，可得解答：解：=，其中=0，=45=16，=53（）=9，=25，所以=16（9）=；故选c点评：本题考查了向量的三角形法则和数量积的运算；在运用数量积的定义求数量积时，注意向量的夹角8已知定义域为r的函数f（x）在（，4）上为增函数，且函数y=f（x4）为偶函数，则( )af（5）f（3）bf（7）f（3）cf（2）f（3）df（8）f（0）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据函数y=f（x4）为偶函数，f（x）在（，4）上为增函数，将f（3），f（2），f（0）都变到单调增区间（，4）上再根据增函数的定义比较大小即可解答：解：y=f（x4）为偶函数；f（3）=f（14）=f（14）=f（5）；f（2）=f（24）=f（24）=f（6）；f（0）=f（44）=f（44）=f（8）；又f（x）在（，4）为增函数；f（5）=f（3）；f（7）f（5），即f（7）f（3）；f（6）f（5），即f（2）f（3）；f（8）=f（0）；b正确故选b点评：考查偶函数、增函数的定义，以及将自变量的值变到单调区间上再比较函数值大小的方法，以及对偶函数定义的理解及运用9若=+30，则sin2+cos2+sincos=( )abccos2dsin2考点：两角和与差的余弦函数 专题：计算题分析：根据=+30，结合两角和的余弦公式代入化简，再用同角三角函数的平方关系，即可得到原式的值，得到正确答案解答：解：=+30，cos2=（coscos30sinsin30）2=cos2sincos+sin2sincos=sincos（+30）=sin（coscos30sinsin30）=sincossin2sin2+cos2+sincos=sin2+（cos2sincos+sin2）+（sincossin2）=sin2+cos2+sin2sin2=sin2+cos2=（sin2+cos2）=故选b点评：本题将一个三角函数式化简，再求它的值，着重考查了两角和的余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题10已知每项均大于零的数列an中，首项a1=1且前n项的和sn满足（nn*，且n2），则a81=( )a638b639c640d641考点：数列的应用 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：等式两边同除以，可得是以1为首项，2为公差的等差数列，从而得到sn=4n24n+1，利用n2时，an=snsn1，即可求得结论解答：解：，=2（nn*，且n2），a1=1，=1是以1为首项，2为公差的等差数列=1+2（n1）=2n1sn=4n24n+1n2时，an=snsn1=（4n24n+1）=8n8a81=8818=640故选c点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意求解通项公式的方法技巧11对任意x，yr，|x1|+|x|+|y1|+|y+1|的最小值为( )a1b2c3d4考点：绝对值三角不等式；函数最值的应用 专题：不等式的解法及应用分析：把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值解答：解：对任意x，yr，|x1|+|x|+|y1|+|y+1|=|x1|+|x|+|1y|+|y+1|x1x|+|1y+y+1|=3，当且仅当x，y成立故选：c点评：本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法12函数f（x）的定义域是r，f（0）=2，对任意xr，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为( )ax|x0bx|x0cx|x1，或x1dx|x1，或0x1考点：函数单调性的性质；导数的运算 专题：函数的性质及应用分析：构造函数g（x）=exf（x）ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式exf（x）ex+1的解集解答：解：令g（x）=exf（x）ex，则g（x）=ex对任意xr，f（x）+f（x）1，g（x）0恒成立即g（x）=exf（x）ex在r上为增函数又f（0）=2，g（0）=1故g（x）=exf（x）ex1的解集为x|x0即不等式exf（x）ex+1的解集为x|x0故选a点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=exf（x）ex，是解答的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13函数f（x）=x2+|xa|具有奇偶性，则a=0考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由f（x）=x2+|xa|具有奇偶性可知f（x）=f（x）或f（x）+f（x）=0，从而求a解答：解：f（x）=x2+|xa|具有奇偶性，f（x）=f（x）或f（x）+f（x）=0，a=0，故答案为：0点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题14在abc中，若a=，sinb=cosc 则abc为等腰直角三角形（填形状）考点：三角形的形状判断 专题：三角函数的求值；解三角形分析：首先根据函数关系式的变换求出tanc=1，进一步求出c的大小，再利用三角形内角和定理求出结果解答：解：在abc中，sinb=cosc sin（a+c）=cosc若a=，则：tanc=10c135c=45所以：有三角形内角和定理得：b=90所以：abc为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，三角形内角和定理的应用15已知命题p：f（x）=ax为增函数，q：函数q（x）=x+（a0）在所以+s=1+cos+sin =sin（+）+1又0，所以当=时，+s的最大值为+1（2）由题意，知=（2，1），=（cos，sin），因为cbop，所以cos=2sin又0，cos2+sin2=1，解得sin =，cos =，所以sin2=2sin cos=，cos 2=cos2sin2=所以sin（2）=sin 2coscos 2sin=点评：本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数，三角函数的求值与化简20已知数列an的前n项和为sn，数列sn+1是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和tn考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由数列an的前n项和为sn，数列sn+1是公比为2的等比数列，知sn+1=2n1，（s1+1）=2n1（a1+1），sn1+1=2n2（a1+1），故an=2n2（a1+1），n2，由此能求出an=2n1（2）由an=2n1，知nan=n2n1，故tn=120+221+322+n2n1，由此利用错位相减法能求出数列nan的前n项和tn解答：解：（1）数列an的前n项和为sn，数列sn+1是公比为2的等比数列，sn+1=2n1（s1+1）=2n1（a1+1）sn1+1=2n2（a1+1）得an=2n2（a1+1），n2a2=a1+1，a3=2（a1+1）a2是a1和a3的等比中项，故a22=a1a3，（a1+1）2=a12（a1+1），解得a1=1，（a1=1则a2=0不合题意舍去）故an=2n1（2）由an=2n1，知nan=n2n1，tn=120+221+322+n2n1，2tn=121+222+323+n2n，得tn=n2n=n2n=n2n2n+1点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用21已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值；（）若存在x1，x2，使得|f（x1）f（x2）|e1，试求a的取值范围考点：函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：计算题；压轴题分析：（）证明a1时函数的导数大于0（）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）t|1有三个零点，所以方程f（x）=t1有三个根，根据t1应是f（x）的极小值，解出t（）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（1），最小值f（0）=1，由f（1）f（1）的单调性，判断f（1）与f（1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e1求出a的取值范围解答：解：（）f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna 由于a1，故当x（0，+）时，lna0，ax10，所以f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增 （）当a0，a1时，因为f（0）=0，且f（x）在（0，+）上单调递增，故f（x）=0有唯一解x=0所以x，f（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）t|1有三个零点，所以方程f（x）=t1有三个根，而t+1t1，所以t1=（f（x）min=f（0）=1，解得t=2；（）因为存在x1，x2，使得|f（x1）f（x2）|e1，所以当x时，|（f（x）max（f（x）min|=（f（x）max（f（x）mine1，由（）知，f（x）在上递减，在上递增，所以当x时，（f（x）min=f（0）=1，（f（x）max=maxf（1），f（1），而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t（0，+）上单调递增，而g（1）=0，所以当t1时，g（t）0；当0t1时，g（t）0，也就是当a1时，f（1）f（1）；当0a1时，f（1）f（1）当a1时，由f（1）f（0）e1alnae1ae，当0a1时，由，综上知，所求a的取值范围为（16分）点评：本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22如图，ab是o的直径，ac是弦，bac的平分线ad交o于点d，deac，交ac的延长线于点e，oe交ad于点f（1）求证：de是o的切线（2）若，求的值考点：圆的切线方程；与圆有关的比例线段 专题：证明题分析：（i）连接od，aod是等腰三角形，结合，bac的平分线ad，得到odae可得结论（ii）过d作dhab于h，设od=5x，则ab=10x，oh=2x，ah=7x，由aedahd和aefdof推出结果解答：（i）证明：连接od，可得oda=oad=dacodae又aededeod，又od为半径de是的o切线（ii）解：过d作dhab于h，则有doh=cab设od=5x，则ab=10x，oh=2x，ah=7x由aedahd可得ae=ah=7x又由aefdof可得点评：本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为 （为参数），以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为sin（+）=4（1）求曲线c1的普通方程与曲线c2的直角坐标方程；（2）设p为曲线c1上的动点，求点p到c2上点的距离的最小值，并求此时点p坐标考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题：计算题；坐标系和参数方程分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=c