几何证明选讲.doc

第 1 页 共 3 页 几何证明选讲几何证明选讲 一 考试说明要求 一 考试说明要求 要要 求求 内内 容容 ABC 相似三角形的判定和性质定理 直角三角形的射影定理 圆的切线的判定和性质定理 圆周角定理 弦切角定理 相交弦定理 割线定理 切割线定理 圆内接四边形的判定与性质定理 二 应知应会知识和方法 二 应知应会知识和方法 1 如图所示 圆 O 上的一点 C 在直径 AB 上的射影为 D CD 4 BD 8 求圆 O 的直 径 解解 10 说明说明 本题所用的知识点为 圆周角定理 射影定理 2 等边 内接于 且 DE BC 已知于点 H BC 4 AH DEFABCBCAH 求 的边长 3DEF 解解 设等边的边长为 x 则它的高为 DEF x 2 3 因为 DE BC 所以 解得 x 3 2 3 3 4 x x 3 4 说明说明 本题所用的知识点为 相似三角形的性质 等边三角形的性质 3 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 外一点 且 AC AB BC 交 O 于点 D 已知 BC 4 AD 6 AC 交 O 于点 E 求四边形 ABDE 的周长 解解 因为 AB 是 O 的直径 所以 BCAD 所以 AD 是 ABC 的中线 所以 AB AC 102 BD DC 2 由 所以 DE DC 2 CBDEC A DO C B BC A D FH E A B O E C D 第 2 页 共 3 页 由 CE CA CD CB 得 CE 所以 5 102 10 5 8 5 102 102 AE 说明说明 所用知识点为 割线定理 等腰三角形的三线合一定理 勾股定理 4 已知 AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分线 交 BC 的延长线于点 D 延长 DA 交 ABC 的外接圆于点 F 连接 FB FC 1 求证 FB FC 2 若 AB 是 ABC 的外接圆的 直径 EAC 120 BC 6 求 AD 的长 证明证明 1 因为 AD 平分 EAC 所以 EAD DAC 因为四边形 AFBC 内接于圆 所以 FBCDAC 所以 FCBFABEAD 所以 所以 FB FC FCBFBC 2 因为 AB 是 ABC 的外接圆的直径 所以 90ACD 因为 所以 EAC 120 1 60 2 DACEAC 30D 在 RT ACB 中 因为 BC 6 所以 60BAC 2 3AC 又在 RT ACD 中 所以 30D2 3AC 4 3AD 说明说明 本题所用的知识点有 圆的内接四边形的性质 角平分线的概念 特殊直角三 角形的性质 5 如图 已知PA与 O相切 A为切点 PBC为割线 弦CD AP AD BC相交于E点 F 为CE上一点 且DE2 EF EC 1 求证 P EDF 2 求证 CE EB EF EP 3 若 CE BE 3 2 DE 6 EF 4 求 PA 的 长 解解 1 因为 DE2 EF EC 所以 DE CE EF ED 因为 DEF 是公共角 所以 DEF CED 所以 EDF C 因为 CD AP 所以 C P 所以 P EDF 2 因为 P EDF DEF PEA 所以 DEF PEA 所以 DE PE EF EA 即 EF EP DE EA 因为弦 AD BC 相交于点 E 所以 DE EA CE EB 所以 CE EB EF EP 3 因为 DE2 EF EC DE 6 EF 4 所以 EC 9 因为 CE BE 3 2 所以 BE 6 因为 CE EB EF EP 所以 9 6 4 EP 解得 EP 2 27 A B F CD E P E O D C B A F 第 3 页 共 3 页 所以 PB PE BE PC PE EC 由切割线定理得 PA2 PB PC 2 15 2 45 所以 PA2 所以 PA 2 15 2 45 3 2 15 说明说明 本题所用知识点 相似三角形的判断 相交弦定理 切割线定理 6 如图 ABC 是 O 的内接三角形 PA 是 O 的切线 PB 交 AC 于点 E 交 O 于点 D 若 PE PA PD 1 BD 8 求线段 BC 的长 60ABC 解解 由切割线定理得 PA 3 根据弦切角定理 得 60ABCPAC 又因为 PA PE 所以 PA PE AE 3 ED 2 BE 6 由