浙江省高考数学总复习 第8单元 第7节 抛物线课件 文 新人教A版.ppt

第七节抛物线 基础梳理 1 抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 距离 的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 2 抛物线的标准方程和几何性质 如下表所示 3 抛物线的焦半径 焦点弦 1 y2 2px p0 的焦半径 pf x2 2py p0 的焦半径 pf 2 过焦点的所有弦中最短的弦 也被称做通径 其长度为 3 ab为抛物线y2 2px的焦点弦 则xaxb p2 4 yayb p2 ab xa xb p 答案 1 相等焦点准线2 x 0 y rx 0 y r ffx轴o 0 0 1y 0 x ry 0 x r ffy轴o 0 0 13 2 2p 基础达标 1 教材改编题 抛物线y x2的准线方程是 a 4y 1 0b 4x 1 0c 2y 1 0d 2x 1 02 教材改编题 以坐标轴为对称轴 以原点为顶点且过圆x2 y2 2x 6y 9 0的圆心的抛物线的方程是 a y 3x2或y 3x2b y 3x2c y2 9x或y 3x2d y 3x2或y2 9x3 2010 湖南 设抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是 a 4b 6c 8d 12 4 连接抛物线x2 4y的焦点f与点m 1 0 所得的线段与抛物线交于点a 设点o为坐标原点 则三角形oam的面积为 a 1 b 3 2 c 1 d 3 2 5 2010 上海 动点p到点f 2 0 的距离与它到直线x 2 0的距离相等 则p的轨迹方程为 答案 1 a解析 p 准线方程为y 即4y 1 0 2 d解析 圆心为 1 3 设x2 2py 则p 即x2 y 设y2 2px 则p 即y2 9x 3 b解析 点p到y轴的距离为4 则到准线的距离为6 因此 点p到焦点的距离为6 选b 4 b解析 线段fm所在直线方程x y 1与抛物线交于a x0 y0 则 y0 3 2 s oam 1 3 2 选b 5 y2 8x解析 定义知p的轨迹是以f 2 0 为焦点的抛物线 p 4 所以其方程为y2 8x 经典例题 题型一抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时p点的坐标 解 将x 3代入抛物线方程y2 2x 得y 2 点a位置如图 设抛物线上点p到准线l x 的距离为d 由定义 知 pa pf pa d 当pa l时 pa d最小 最小值为 即 pa pf 的最小值为 此时p点的纵坐标为2 代入y2 2x 得x 2 即点p的坐标为 2 2 变式1 1 2011 广东东莞五校联考 设抛物线y2 8x的焦点为f 准线为l p为抛物线上一点 pa l a为垂足 如果直线af的斜率为 那么 pf a 4b 8c 8d 16 答案 b解析 设a 2 b 则kaf 所以b 4 把 x 4 代入y2 8x 得x 6 所以p 6 4 所以 pf 6 2 8 题型二抛物线的几何性质和标准方程 例2 已知抛物线c的顶点在原点 焦点f在x轴的正半轴上 设a b是抛物线c上的两个动点 ab不垂直于x轴 但 af bf 8 线段ab的垂直平分线恒经过定点q 6 0 求抛物线的方程 解 设抛物线的方程为y2 2px p 0 其准线为x 设a x1 y1 b x2 y2 因为 af bf 8 所以x1 x2 8 即x1 x2 8 p 因为q 6 0 在线段ab的中垂线上 所以由点q到a b两点距离相等易得 x1 x2 x1 x2 12 2p 0 因为ab与x轴不垂直 所以x1x2 故x1 x2 12 2p 8 p 12 2p 0 即p 4 从而抛物线方程为y2 8x 变式2 1分别求满足下列条件的抛物线方程 1 抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 抛物线上一点p 3 a 到焦点的距离为5 2 以原点为顶点 以坐标轴为对称轴 并且经过点p 2 4 解 1 由已知设所求抛物线方程为y2 2px p 0 则准线方程为x 因为抛物线上点p 3 a 到焦点的距离为5 由定义知 3 5 从而得p 4 故所求的抛物线方程为y2 8x 2 由于抛物线过点p 2 4 故设方程为y2 2p1x p1 0 或x2 2p2y p2 0 将点p 2 4 代入得p1 4 p2 故所求的抛物线方程为y2 8x或x2 y 题型三直线与抛物线 例3 2010 福建 已知抛物线c y2 2px p 0 过点a 1 2 1 求抛物线c的方程 并求其准线方程 2 是否存在平行于oa o为坐标原点 的直线l 使得直线l与抛物线c有公共点 且直线oa与l的距离等于 若存在 求直线l的存在 若不存在 说明理由 1 将点a 1 2 代入抛物线c y2 2px p 0 解得p 2 所求抛物线c的方程为y2 4x 准线方程为x 1 2 假设存在适合题意的直线l 设其方程为y 2x t 由得y2 2y 2t 0 直线l与抛物线c有公共点 4 8t 0 解得t 又 直线oa与l的距离等于 解得t 1 1 1 存在适合题意的直线l 其方程为y 2x 1 变式3 1顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线与直线y 2x 1交于p q两点 已知 pq 求抛物线的方程 设抛物线的方程为y2 2px 则消去y得4x2 2p 4 x 1 0 x1 x2 则x1x2 pq x1 x2 化简得p2 4p 12 0 解得p 2或6 y2 4x或y2 12x 例4 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 求证 1 x1x2为定值 2 为定值 证明 1 抛物线y2 2px的焦点为f 当直线ab的斜率存在时 设直线ab的方程为y k k 0 由消去y 整理得k2x2 p k2 2 x 0 由韦达定理 得x1x2 定值 当ab x轴时 x1 x2 x1x2 也成立 2 由抛物线的定义知 fa x1 fb x2 为定值 变式4 1已知抛物线c的顶点在坐标原点 焦点为f 1 0 直线l与抛物线c相交于a b两点 若ab的中点为 2 2 则直线l的方程为 解 y x解析 由焦点f 1 0 知抛物线的方程为y2 4x 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y 2 k x 2 a x1 y1 b x2 y2 代入抛物线方程得 kx 2 2k 2 4x 整理得k2x2 4k 4k2 4 x 2 2k 2 0 即 2 解得k 1 则直线l的方程为y x 当斜率不存在时的直线不合题意 题型四抛物线的应用 例5 一水渠的横截面如图所示 它的横截面边界aob是抛物线的一段 已知渠宽ab为2m 渠深oc为1 5m 水面ef距ab为0 5m 求水面ef的宽度 解 建立如图所示的直角坐标系 则a 1 1 5 b 1 1 5 c 0 1 5 设抛物线方程为x2 2py p 0 把点a 1 1 5 代入方程 得1 2p 1 5 即p 所以抛物线方程为x2 y 由点e的纵坐标为1 得点e的横坐标为 所以水面ef的宽度为m 易错警示 例1 抛物线y2 mx的准线与直线x 1的距离为3 求抛物线的方程 错解准线方程为x m 4 因为准线与直线x 1的距离为3 所以准线方程为x 2 则 m 4 2 所以m 8 所以抛物线方程为y2 8x 错解分析本题错误在于忽视了一次项系数m的正负 以为只有m 0这种情况 其实m 0 即开口向左时也满足题中的条件 正解 当m 0时 准线方程为x 2 所以m 8 此时抛物线方程为y2 8x 当m 0时 准线方程为x 4 所以m 16 此时抛物线方程为y2 16x 所以所求抛物线方程为y2 8x或y2 16x 例2 过定点p 0 1 且与抛物线y2 2x只有一个公共点的直线l有 a 0条b 1条c 2条d 3条错解设直线l的方程为y kx 1 将其代入抛物线方程y2 2x 得k2x2 2 k 1 x 1 0 由d 4 k 1 2 4k2 0得k 1 2 故选b 错解分析上述解法只考虑了直线的斜率k存在且不为零的情况 而忽视了k不存在以及直线l平行于抛物线对称轴即k 0的情形 正解 当直线的斜率k存在且不为零时 由错解知直线方程为y x 1 当k 0时 直线l为y 1平行于抛物线的对称轴 与抛物线只有一个交点 当k不存在时 直线l为x 0 与抛物线也只有一个交点 故选d 链接高考 2010 山东 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的中点的纵坐标为2 则该抛物线的准线方程为 a x 1b x 1c x 2d x 2知识准备