浙江省高考数学总复习 第8单元 第6节 双曲线课件 文 新人教A版.ppt

第六节双曲线 基础梳理 1 双曲线的定义 1 平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件 到两个定点f1 f2的距离的 等于常数2a 2a f1f2 2 上述双曲线的焦点是 焦距是 2 双曲线的标准方程和几何性质 3 等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线 其标准方程为x2 y2 0 离心率e 渐近线方程为 答案 1 1 差的绝对值 小于 2 f1 f2 f1f2 2 x a或x a y rx r y a或y a坐标轴原点坐标轴原点 a 0 a 0 0 a 0 a y xy x 1 2a2ba2 b23 实轴和虚轴y x 1 教材改编题 已知双曲线x2 4y2 4上一点p到双曲线的一个焦点的距离等于6 那么p点到另一焦点的距离等于 a 10b 10或2c 6 2d 6 2 基础达标 2 2011 山东滨州模拟 已知f1 f2是椭圆 1的两个焦点 平面内一个动点m满足 mf1 mf2 2 则动点m的轨迹是 a 双曲线b 双曲线的一个分支c 两条射线d 一条射线 3 在平面直角坐标系xoy中 双曲线的中心在坐标原点 焦点在y轴上 一条渐近线的方程为x 2y 0 则它的离心率为 a b c d 2 4 2011 天津高三期中考试 设双曲线 1 a 0 b 0 的虚轴长为2 焦距为2 则双曲线的渐近线方程为 5 教材改编题 以椭圆 1的焦点为顶点 x轴上顶点为焦点的双曲线的标准方程为 答案 1 b解析 由 y2 1 得a 2 根据双曲线的定义知 pf1 6 4 所以 pf1 10或2 2 d解析 因为 f1f2 2 mf1 mf2 2 所以m在f1f2的延长线上 故选d 3 a解析 b 2a c2 a2 b2 5a2 e 4 c解析 由已知得到b 1 c a 因为双曲线的焦点在x轴上 故渐近线方程为y x x 5 解析 椭圆的焦点为f1 5 0 f2 5 0 顶点a1 13 0 a2 13 0 由题意知双曲线的焦点为f1 13 0 f2 13 0 顶点是a1 5 0 a2 5 0 则双曲线中a 5 c 13 所以b2 c2 a2 144 故所求的双曲线为 经典例题 题型一双曲线的定义及标准方程 例1 已知动圆m与圆c1 x 4 2 y2 2外切 与圆c2 x 4 2 y2 2内切 求动圆圆心m的轨迹方程 解 如图 设动圆m的半径为r 则由已知得 mc1 r mc2 r mc1 mc2 2 又c1 4 0 c2 4 0 c1c2 8 2 c1c2 根据双曲线定义知 点m的轨迹是以c1 4 0 c2 4 0 为焦点的双曲线的右支 a c 4 b2 c2 a2 14 点m的轨迹方程是 x 变式1 1如图 f1 f2是双曲线x2 y2 3 1的左 右焦点 m 6 6 为双曲线内部一点 p为双曲线右支上一点 求 pm pf2 的最小值 解 因为c2 1 3 4 所以c 2 f1 2 0 mf1 10 又 pf1 pf2 2a 2 所以 pm pf2 mf1 pf1 pf2 mf1 pf1 pf2 10 2 8 当且仅当m p f1三点共线时取等号 所以 pm pf2 的最小值为8 题型二双曲线的几何性质 例2 已知双曲线的方程是16x2 9y2 144 1 求此双曲线的焦点坐标 离心率和渐近线方程 2 设f1和f2是双曲线的左 右焦点 点p在双曲线上 且 pf1 pf2 32 求 f1pf2的大小 解 1 由16x2 9y2 144 得 a 3 b 4 c 5 焦点坐标f1 5 0 f2 5 0 离心率e 渐近线方程为y x 2 pf1 pf2 6 cos f1pf2 0 f1pf2 90 变式2 1 2010 辽宁 设双曲线的 个焦点为f 虚轴的 个端点为b 如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 a b c d 答案 d解析 设双曲线方程为 a 0 b 0 则f c 0 b 0 b 直线fb方程为 1 即bx cy bc 0 又直线bf与渐近线y x垂直 1 即b2 ac c2 a2 ac 即e2 e 1 0 解得e 或e 舍去 题型三直线与双曲线的位置关系 例3 已知双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 点p 2 0 与其渐近线的距离为 过点p作斜率为1 6的直线交双曲线于a b两点 交y轴于m 且 pm 是 pa 与 pb 的等比中项 1 求双曲线c的渐近线方程 2 求双曲线c的方程 解 1 设双曲线的一条渐近线方程为y kx 由点到直线的距离公式得k 即双曲线的渐近线方程为y x 2 设双曲线方程为x2 9y2 m m 0 a x1 y1 b x2 y2 则直线ab的方程为y x 2 由得3x2 4x 4 4m 0 当d 16 4 3 4 4m 0 即m 时 有x1 x2 x1x2 1 m 点m坐标为 由 mp 2 pa pb 可得 x1 2 x2 2 4 从而m 7或m 1 故所求的双曲线方程为或x2 9y2 1 题型四双曲线的实际应用 例4 某接报中心接到其正东 正西 正北方向三个观测点的报告 正西 正北两个观察点同时听到了一声巨响 正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4s 已知各观测点到该中心的距离都是1020m 试确定该巨响发生的位置 假定声音传播的速度为340m s 且各观测点均在同一平面内 解 如图 以接报中心为原点 正东 正北方向分别为x y轴的正方向建立直角坐标系 设a b c分别为西 东 北观测点 则a 1020 0 b 1020 0 c 0 1020 设p x y 为巨响发生点 则 pb pa 340 4 1020 2 2040 所以点p在某双曲线的左支上 由双曲线的定义知a 680 c 1020 得b2 5 3402 双曲线方程为 x 0 由a c同时听到巨响声 得 pa pc 因此p在直线y x上 由解得x 680或680 舍去 p 680 680 因此 op 680 故巨响发生在接报中心的西偏北45 方向 距中心680m处 例1 已知双曲线的渐近线方程为y 4 3x 则此双曲线的离心率为 a 5 3b 5 4c 5 3或5 4d 5 2或5 3 错解因为双曲线的渐近线方程为y 4 3x 所以故选a 易错警示 错解分析错解的原因是只考虑了双曲线的焦点在x轴上的情况 而忽视了焦点在y轴上的情况 正解 当双曲线的焦点在x轴上时 所以离心率为e 当双曲线的焦点在y轴上时 所以离心率为e 故选c 例2 已知双曲线方程x2 y2 4 1 过点p 1 1 的斜率为k的直线l与双曲线只有一个公共点 求k的值 错解设l的方程为y k x 1 1 代入双曲线方程得 4 k2 x2 2k 2k2 x k2 2k 5 0 因为d 0 所以k 5 2 错解分析上述解法忽视了当4 k2 0 即k 2时 l与双曲线的渐近线平行 此时l与双曲线只有一个交点 正解 把l的方程y k x 1 1代入双曲线方程得 4 k2 x2 2k 2k2 x k2 2k 5 0 当4 k2 0 即k 2时 l与双曲线的渐近线平行 此时l与双曲线只有一个交点 当4 k20 即k 2时 由d 0 得k 所以k的值为或 2 链接高考 1 2010 天津 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线方程是y x 它的一个焦点与抛物线y2 16x的焦点相同 则双曲线的方程为 知识准备 1 知道双曲线方程与其渐近线的关系 2 会求双曲线与抛物线的焦点坐标 3 会用待定系数法求解 答案 解析 由题意知 双曲线的一个焦点为 4 0 即a2 b2 16 又因为已知双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线方程是y x 所以有 即b a 可解得a2 4 b2 12 故双曲线的方程为 2 2010 浙江 设o为坐标原点 f1 f2是双曲线 1 a 0 b 0 的焦点 若在双曲线上存在点p 满足 f1pf2 60 op a 则该双曲线的渐近线方程为 知识准备 双曲线的定义以及余弦定理的运用 双曲线中a b c的关系 答案 d