高中数学 2.2.2《反证法》课件 新人教B版选修22.ppt

2 2 2反证法 一 反证法 证明命题 设p为正整数 如果p2是偶数 则p也是偶数 我们可以不去直接证明p是偶数 而是否定p是偶数 然后得到矛盾 从而肯定p是偶数 具体证明步骤如下 假设p不是偶数 可令p 2k 1 k为整数 可得p2 4k2 4k 1 此式表明 p2是奇数 这与假设矛盾 因此假设p不是偶数不成立 从而证明p为偶数 一般地 由证明p q转向证明 t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判定为假 推出q为真的方法 叫做反证法 例1 证明不是有理数 证明 假定是有理数 则可设 其中p q为互质的正整数 把两边平方得到 2q2 p2 式表明p2是偶数 所以p也是偶数 于是令p 2l l是正整数 代入 式 得q2 2l2 式表明q2是偶数 所以q也是偶数 这样p q都有公因数2 这与p q互质矛盾 因此是有理数不成立 于是是无理数 例2 证明质数有无穷多个 证明 假定质数只有有限多个 设全体质数为p1 p2 p3 pn 令p p1p2p3 pn 1 显然p不含因数p1 p2 p3 pn p要么是质数 要么含有除p1 p2 p3 pn之外的质因数 因此质数只有有限多个不成立 于是质数有无穷多个 从上述两例看出 反证法不是直接去证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上 运用演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 二 反证法的主要步骤 1 反设 反设是反证法的基础 为了正确地作出反设 掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的 例如 是 不是 存在 不存在 平行于 不平行于 垂直于 不垂直于 等于 不等于 大 小 于 不大 小 于 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 至少有n个 至多有 n一1 个 至多有一个 至少有两个 唯一 至少有两个 2 归谬 归谬是反证法的关键 导出矛盾的过程没有固定的模式 但必须从反设出发 否则推导将成为无源之水 无本之木 推理必须严谨 导出的矛盾有如下几种类型 与已知条件矛盾 与已知的公理 定义 定理 公式矛盾 与反设矛盾 自相矛盾 3 结论 由前两步 得到正确的结论 一点要在前面的基础上肯定结论的真实性 例3 证明1 2不能为同一等差数列的三项 证明 假设1 2是某一等差数列中的三项 设这一等差数列的公差为d 则 1 md 2 nd 其中m n为某两个正整数 由上两式中消去d 得到n 2m n m 因为n 2m为有理数 m n 为无理数 所以n 2m n m 因此假设不成立 1 2不能为同一等差数列中的三项 例4 平面上有四个点 没有三点共线 证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形 记这四个点为a b c d 考虑 abc 点d在 abc之内或之外两种情况 1 如果点d在 abc之内 根据假设 围绕点d的三个角都是锐角 其和小于270 这与一个周角等于360 矛盾 2 如果点d在 abc之外 根据假设四边形abcd的四个内角分别是某锐角三角形的内角 即 a b c d都小于90 这和四边形内角和等于360 矛盾 综上所述 原题的结论正确 例5 设a3 b3 2 求证a b 2 证明 假设a b 2 则有a 2 b 从而a3 8 12b 6b2 b3 a3 b3 6b2 12b 8 6 b 1 2 2 因为6 b 1 2 2 2 所以a3 b3 2 这与题设条件a3 b3 2矛盾 所以 原不等式a b 2成立 例6 设0 a b c 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不可能同时大于 证明 设 1 a b 1 b c 1 c a