高中数学 3.1.4《概率的加法公式》课件 新人教B版必修3.ppt

3 1 4概率的加法公式 一 互斥事件 事件的并 对立事件 1 互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 或称为互不相容事件 2 事件的并 由事件a和b至少有一个发生 即a发生 或b发生 或a b都发生 所构成的事件c 称为事件a与b的并 或和 记作c a b 或c a b 事件a b是由事件a或b所包含的基本事件所组成的集合 3 对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件 事件a的对立事件记作 例1 抛掷一颗骰子 观察掷出的点数 设事件a为 出现奇数点 b为 出现2点 已知p a p b 求 出现奇数点或2点 的概率 这里的事件a和事件b不可能同时发生 这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 设事件c为 出现奇数点 或2点 它也是一个随机事件 事件c与事件a b的关系是 若事件a和事件b中至少有一个发生 则c发生 若c发生 则a b中至少有一个发生 我们称事件c为a与b的并 或和 设事件c为 出现奇数点 或2点 它也是一个随机事件 事件c与事件a b的关系是 若事件a和事件b中至少有一个发生 则c发生 若c发生 则a b中至少有一个发生 我们称事件c为a与b的并 或和 如图中阴影部分所表示的就是a b 例2 判断下列各对事件是否是互斥事件 并说明理由 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 其中 1 恰有1名男生和恰有2名男生 2 至少有1名男生和至少有1名女生 3 至少有1名男生和全是男生 4 至少有1名男生和全是女生 解 1 是互斥事件 2 不可能是互斥事件 3 不可能是互斥事件 4 是互斥事件 例3 判断下列给出的每对事件 1 是否为互斥事件 2 是否为对立事件 并说明理由 从40张扑克牌 红桃 黑桃 方块 梅花 点数从1 10各4张 中 任取1张 1 抽出红桃 与 抽出黑桃 2 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 3 抽出的牌点数为5的倍数 与 抽出的牌点数大于9 解 1 是互斥事件 不是对立事件 2 既是互斥事件 又是对立事件 3 不是互斥事件 当然不可能是对立事件 所以对立事件一定是互斥事件 而互斥事件不一定是对立事件 假定事件a与b互斥 则p a b p a p b 二 互斥事件的概率加法公式 证明 假定a b为互斥事件 在n次试验中 事件a出现的频数为n1 事件b出现的频数为n2 则事件a b出现的频数正好是n1 n2 所以事件a b的频率为 如果用 n a 表示在n次试验中事件a出现的频率 则有 n a b n a n b 由概率的统计定义可知 p a b p a p b 一般地 如果事件a1 a2 an彼此互斥 那么p a1 a2 an p a1 p a2 p an 即彼此互斥事件和的概率等于概率的和 在求某些较为复杂事件的概率时 先将它分解为一些较为简单的 并且概率已知 或较容易求出 的彼此互斥的事件 然后利用概率的加法公式求出概率 因此互斥事件的概率加法公式具有 化整为零 化难为易 的功效 但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件 彼此互斥 例1中事件c 出现奇数点或2点 的概率是事件a 出现奇数点 的概率与事件b 出现2点 的概率之和 即 p c p a p b 例4 在数学考试中 小明的成绩在90分以上的概率是0 18 在80 89分的概率是0 51 在70 79分的概率是0 15 在60 69分的概率是0 09 计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率 解 分别记小明的成绩在90分以上 在80 89分 在70 79分 在60 69分为事件b c d e 这四个事件是彼此互斥的 根据概率的加法公式 小明的考试成绩在80分以上的概率是 p b c p b p c 0 18 0 51 0 69 小明考试及格的概率为 p b c d e p b p c p d p e 0 18 0 51 0 15 0 09 0 93 对立事件的概率 如果求小明考试不及格的概率 则由公式得 即小明考试不及格的概率是0 07 例5 某战士射击一次 问 1 若事件a 中靶 的概率为0 95 则a的概率为多少 2 若事件b 中靶环数大于5 的概率为0 7 那么事件c 中靶环数小于6 的概率为多少 3 事件d 中靶环数大于0且小于6 的概率是多少 2 事件b与事件c也是互为对立事件 所以p c 1 p b 0 3 3 事件d的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率 即 例6 盒内装有各色球12只 其中5红 4黑 2白 1绿 从中取1球 设事件a为 取出1只红球 事件b为 取出1只黑球 事件c为 取出1只白球 事件d为 取出1只绿球 已知p a p b p c p d 求 1 取出1球为红或黑 的概率 2 取出1球为红或黑或白 的概率 解 1 取出红球或黑球 的概率为p a b p a p b 2 取出红或黑或白球 的概率为p a b c p a p b p c 又 2 a b c的对立事件为d 所以p a b c 1 p d 即为所求 例7 某公务员去开会 他乘火车 轮船 汽车 飞机去的概率分别为0 3 0 2 0 1 0 4 1 求他乘火车或乘飞机去的概率 2 求他不乘轮船去的概率 3 如果他乘某种交通工具去开会的概率为0 5 请问他有可能是乘何种交通工具去的 解 记 他乘火车去 为事件a 他乘轮船去 为事件b 他乘汽车去 为事件c 他乘飞机去 为事件d 这四个事件不可能同时发生 故它们彼此互斥 1 故p a c 0 4 2 设他不乘轮船去的概率为p 则p 1 p b 0 8 3 由于0 5 0 1 0 4 0 2 0 3 故他有可能乘火车或乘轮船去 也有可能乘汽车或乘飞机去 练习题 1 每道选择题有4个选择项 其中只有1个选择项是正确的 某次考试共有12道选择题 某人说 每题选择正确的概率是1 4 我每题都选择第一个选择项 则一定有3题选择结果正确 这句话 a 正确 b 错误 c 不一定 d 无法解释 b 2 从1 2 9中任取两数 其中 恰有一个偶数和恰有一个奇数 至少有一个奇数和两个都是奇数 至少有一个奇数和两个都是偶数 至少有一个奇数和至少有一个偶数 在上述事件中 是对立事件的是 a b c d c 3 甲 乙2人下棋 下成和棋的概率是 乙获胜的概率是 则甲不胜的概率是 a b c d b 4 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球 那么互斥而不对立的两个事件是 a 至少有一个黑球 与 都是黑球 b 至少有一个黑球 与 至少有一个红球 c 恰有一个黑球 与 恰有两个黑球 d 至少有一个黑球 与 都是红球 c 5 抽查10件产品 设事件a 至少有两件次品 则a的对立事件为 a 至多两件次品b 至多一件次品c 至多两件正品d 至少两件正品 b 6 从一批羽毛球产品中任取一个 其质量小于4 8g的概率为0 3 质量小于4 85g的概率为0 32 那么质量在 4 8 4 85 g 范围内的概率是 a 0 62b 0 38c 0 02d 0 68 c 7 某产品分甲 乙 丙三级 其中乙 丙两级均属次品 若生产中出现乙级品的概率为0 03 丙级品的概率为0 01 则对成品抽查一件抽得正品的概率为 a 0 09b 0 98c 0 97d 0 96 d 8 某射手射击一次击中10环 9环 8环的概率分别是0 3 0 3 0 2 那么他射击一次不够8环的概率是 0 2 9 某人在打靶中 连续射击2次 事件 至少有一次中靶 的互斥事件是 两次都不中靶 10 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下