高中数学 分类记数原理和分步记数原理课件 新人教A版必修3.ppt

10 1分类计数原理和分步计数原理 问题1 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有4班 汽车有2班 轮船有3班 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 分析 从甲地到乙地有3类方法 第一类方法 乘火车 有4种方法 第二类方法 乘汽车 有2种方法 第三类方法 乘轮船 有3种方法 所以从甲地到乙地共有4 2 3 9种方法 一 新课引入 问题2 如图 由a村去b村的道路有3条 由b村去c村的道路有2条 从a村经b村去c村 共有多少种不同的走法 分析 从a村经b村去c村有2步 第一步 由a村去b村有3种方法 第二步 由b村去c村有2种方法 所以从a村经b村去c村共有3 2 6种不同的方法 分类记数原理 做一件事情 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 分步记数原理 做一件事情 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事有n m1 m2 mn种不同的方法 二 新课 三 例题 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架上任取1本书 有多少不同的取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少不同的取法 分析 1 从书架上任取1本书 有三类办法 第一类办法 从第1层中任取一本书 共有m1 4种不同的方法 第二类办法 从第2层中任取一本书 共有m2 3种不同的方法 第三类办法 从第3层中任取一本书 共有m3 2种不同的方法所以 根据分类记数原理 得到不同选法种数共有n 4 3 2 9种 三 例题 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架上任取1本书 有多少不同的取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少不同的取法 分析 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 可以分成3个步骤完成 第一步 从第1层取1本计算机书 有m1 4种方法 第二步 从第2层取1本文艺书 有m2 3种方法 第三步 从第3层取1本体育书 有m3 2种方法 所以 根据分步记数原理 得到不同选法种数共有n 4 3 2 24种 点评 解题的关键是从总体上看做这件事情是 分类完成 还是 分步完成 分类完成 用 分类记数原理 分步完成 用 分步记数原理 例2 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 分析1 按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 则根据分类记数原理共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 分析2 按十位数字是1 2 3 4 5 6 7 8分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 则根据分类记数原理共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 例3 一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共十个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码 各位上的数字允许重复 分析 按号码位数 从左到右依次设置第一位 第二位 第三位 第四位 需分为四步完成 第一步 m1 10 第二步 m2 10 第三步 m2 10 第四步 m4 10 根据分步记数原理 共可以设置n 10 10 10 10 104种四位数的号码 首位数字不为0的号码数是n 9 10 10 10 9 103种 首位数字是0的号码数是n 1 10 10 10 103种 由此可以看出 首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号码数之和等于号码总数 首位数字不为0的号码数是多少 首位数字是0的号码数又是多少 例3 一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共十个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码 各位上的数字允许重复 首位数字不为0的号码数是多少 首位数字是0的号码数又是多少 问 若设置四个 五个 六个 十个等号码盘 号码数分别有多少种 答 它们的号码种数依次是104 105 106 种 分类记数原理 做一件事情 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 分步记数原理 做一件事情 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事有n m1 m2 mn种不同的方法 二 新课 点评 分类记数原理中的 分类 要全面 不能遗漏 但也不能重复 交叉 类 与 类之间是并列的 互斥的 独立的 也就是说 完成一件事情 每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法 若完成某件事情有n类办法 即它们两两的交为空集 n类的并为全集 分步记数原理中的 分步 程序要正确 步 与 步 之间是连续的 不间断的 缺一不可 但也不能重复 交叉 若完成某件事情需n步 则必须且只需依次完成这n个步骤后 这件事情才算完成 在运用 分类记数原理 分步记数原理 处理具体应用题时 除要弄清是 分类 还是 分步 外 还要搞清楚 分类 或 分步 的具体标准 在 分类 或 分步 过程中 标准必须一致 才能保证不重复 不遗漏 课堂练习1 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 课堂练习1 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 解 按地图a b c d四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据分步记数原理 得到不同的涂色方案种数共有n 3 2 1 1 6种 课堂练习1 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 问 若用2色 3色 4色 5色等 结果又怎样呢 答 它们的涂色方案种数分别是0 4 3 2 2 48 5 4 3 3 180种等 2 如图 该电路 从a到b共有多少条不同的线路可通电 解 从总体上看由a到b的通电线路可分三类 第一类 m1 3条第二类 m2 1条第三类 m3 2 2 4 条所以 根据分类记数原理 从a到b共有n 3 1 4 8条不同的线路可通电 当然 也可以把并联的4个看成一类 这样也可分2类求解 m2 m2 点评 我们可以把分类记数原理看成 并联电路 分步记数原理看成 串联电路 如图 3 如图 一蚂蚁沿着长方体的棱 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条 解 如图 从总体上看 如 蚂蚁从顶点a爬到顶点c1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以 第一类 m1 1 2 2条第二类 m2 1 2 2条第三类 m3 1 2 2条所以 根据分类记数原理 从顶点a到顶点c1最近路线共有n 2 2 2 6条 练习4 如图 从甲地到乙地有2条路可通 从乙地到丙地有3条路可通 从甲地到丁地有4条路可通 从丁地到丙地有2条路可通 从甲地到丙地共有多少种不同的走法 解 从总体上看 由甲到丙有两类不同的走法 第一类 由甲经乙去丙 又需分两步 所以m1 2 3 6种不同的走法 第二类 由甲经丁去丙 也需分两步 所以m2 4 2 8种不同的走法 所以从甲地到丙地共有n 6 8 14种不同的走法 优化设计p99 例2 例4 小结 1 本节课学习了那些主要内容 答 分类记数原理和分步记数原理 2 分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么 不同点什么 答 共同点是 它们都是研究完成一件事情 共有多少种不同的方法 不同点是 它们研究完成一件事情的方式不同 分类记数原理是 分类完成 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事 分步记数原理是 分步完成 即这些方法需要分步 各个步骤顺次相依 且每一步都完成了 才能完成这件事情 这也是本节课的重点 3 何时用分类记数原理 分步记数原理呢 答 完成一件事情有n类方法 若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从