高中数学 定积分的简单应用习题课课件 新人教A版选修2.ppt

定积分的简单应用 1 定积分的概念如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式f i x 当n 时 上述和无限接近某个常数 这个常数叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 f x dx 即f x dx a与b分别叫做 与 区间 a b 叫做 函数f x 叫做 x叫做 f x dx叫做 注意 1 定积分f x dx是一个常数 2 当a b时f x dx 0 2 定积分的几何意义是什么 1 如果函数f x 在 a b 上连续且f x 0时 那么 定积分就表示以y f x 为曲边的曲边梯形面积 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 2 定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示 4 一般情况下定积分f x dx的几何意义是介于x轴 函数y f x 的图象以及直线 之间的曲边梯形面积的代数和 如图 其中在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积取负号 x a x b 应用一定积分的概念及几何意义 例1 求下列定积分 1 dx 2 4 x x 2 dx 1 因为dx表示曲线y 与直线x x 1及x轴所围成的面积 如图 所以dx 2 4 x x 2 dx 4 x dx x 2 dx故 4 x x 2 dx 4 4 2 2 2 4 解 作出y2 x y x2的图象如图所示 即两曲线的交点为 0 0 1 1 直线y x 4与x轴交点为 4 0 解 作出y x 4 的图象如图所示 点评 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤 设物体运动的速度v v t v t 0 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 应用二1 变速直线运动的路程 2 变力所做的功 问题 物体在变力f x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与f x 相同的方向从x a点移动到x b点 则变力f x 所做的功为 1 一物体在力f x 3x 4 单位 n 的作用下 沿着与力f相同的方向 从x 0处运动到x 4处 单位 m 求f x 所作的功 练一练 40 2 一物体沿直线以v 2t 3 t的单位为s v的单位为m s 的速度运动 求该物体在3 5s间行进的路程 3 一点在直线上从时刻t 0 s 开始以速度v t2 4t 3 m s 运动 求 1 在t 4s时的位置 2 在t 4s时运动的路程 1 在时刻t 4s时该点的位置为 t2 4t 3 dt t3 2t2 3t m 即在t 4s时刻该点距出发点m 2 因为v t t2 4t 3 t 1 t 3 所以在区间 0 1 及 3 4 上 v t 0 在区间 1 3 上 v t 0 所以在t 4s时的路程为s t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt 4 m 即在t 4s时运动的路程为4m 因为位置决定于位移 所以它是v t 在 0 4 上的定积分 而路程是位移的绝对值之和 因此需判断在 0 4 上 哪些时间段的位移为负值 变式1如图 曲线y x2 x 0 与切线l及x轴所围成图形的面积为 求切线l的方程 y 2x 1 变式2设动抛物线y ax2 bx a 0 b 0 与x轴所围成图形的面积为s 若该抛物线与直线x y 4相切 当a b变化时 求s的最大值 1 复习定积分的求法 2 定积分在几何和物理中的应用3 1 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的 它的解决过程充