高中数学 期末复习专题（数列）课件 新人教A版必修5.ppt

数列 期末复习专题 知识体系 1 数列的概念 1 数列是按一定 排列的一列数 记作a1 a2 a3 an 简记 an 2 数列 an 的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an f n 给出 则这个公式叫做这个数列的 顺序 通项公式 3 数列可以看做定义域为n 或其子集 的函数 当自变量由小到大依次取值时 对应的一列函数值 它的图象是一群 2 数列的表示方法数列的表示方法有 列举法 图示法 解析法 用通项公式表示 和递推法 用递推关系表示 孤立的点 3 数列分类 1 按照数列的项数分 2 按照任何一项的绝对值是否超过某一正常数分 3 从函数单调性角度考虑分 递增数列 常数列 4 数列通项an与前n项和sn的关系 1 sn a1 a2 a3 an 2 an 有穷数列 无穷数列 有界数列 无界数列 递减数列 摆动数列 s1 n 1 sn sn 1 n 2 4 等差数列 1 等差数列定义 n n 这是证明一个数列是等差数列的依据 要防止仅由前若干项 如a3 a2 a2 a1 d 常数 就说 an 是等差数列这样的错误 判断一个数列是否是等差数列 还可由an an 2 2an 1 即an 2 an 1 an 1 an来判断 an 1 an d 常数 2 等差数列的通项为 可整理成an nd a1 d 当d 0时 an是关于n的一次式 它的图象是一条直线上n为自然数的点的集合 3 对于a是a b的等差中项 可以表示成 4 等差数列的前n项和公式sn 可以整理成sn n2 a1 n 当d 0时 sn的一个常数项为0的二次式 an a1 n 1 d 2a a b na1 d 5 等比数列 1 等比数列定义 n n 这是证明一个数列是等比数列的依据 也可由an an 2 an 12来判断 2 等比数列的通项公式为 3 对于g是a b的等比中项 则g2 ab g q 非零常数 an a1 qn 1 4 特别要注意等比数列前n项和公式应分为q 1与q 两类 当q 1时 sn 当q 时 sn na1 或 6 等差数列的性质 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式an a1 n 1 d dn a1 d是关于n的一次函数 且斜率为公差d 前n项和sn na1 n2 a1 n是关于n的二次函数 且常数项为0 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 则为常数列 d 0 d 0 d 0 3 当m n p q时 则有 特别地 当m n 2p时 则有am an 2ap 4 若 an 是等差数列 则 kan k是非零常数 sn s2n sn s3n s2n 也成等差数列 而 aan a 0 成等比数列 若 an 是等比数列 且an 0 则 lgan 是等差数列 5 在等差数列 an 中 当项数为偶数2n时 s偶 s奇 项数为奇数2n 1时 s奇 s偶 s2n 1 2n 1 a中 这里a中即an s奇 s偶 k 1 k am an ap aq nd a中 6 若等差数列 an bn 的前n项和分别为an bn 且 f n 则 f 2n 1 7 首正 的递减等差数列中 前n项和的最大值是所有 之和 首负 的递增等差数列中 前n项和的最小值是所有 之和 8 如果两等差数列有公共项 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 非负项 非正项 7 等比数列的性质 1 当m n p q时 则有 特别地 当m n 2p时 则有am an ap2 2 若 an 是等比数列 则 kan 成等比数列 若 an bn 成等比数列 则 anbn 成等比数列 若 an 是等比数列 且公比q 1 则数列sn s2n sn s3n s2n 也是 数列 当q 1 且n为偶数时 数列sn s2n sn s3n s2n 是常数数列0 它不是等比数列 am an ap aq 等比 3 若a1 0 q 1 则 an 为数列 若a11 则 an 为数列 若a1 0 0 q 1 则 an 为递减数列 若a1 0 0 q 1 则 an 为递增数列 若q 0 则 an 为摆动数列 若q 1 则 an 为数列 4 当q 时 sn qn aqn b 这里a b 0 但a 0 b 0 这是等比数列前n项和公式的一个特征 据此很容易根据sn判断数列 an 是否为等比数列 递增 递减 常 5 sm n sm qmsn sn qnsm 6 在等比数列 an 中 当项数为偶数2n时 s偶 项数为奇数2n 1时 s奇 a1 qs偶 7 如果数列 an 既成等差数列又成等比数列 那么数列 an 是非零常数数列 故常数数列 an 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 qs奇 8 常见递推数列的通项公式的求法 1 若an an 1 f n 求an可用 法 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 n 2 2 若 f n 求an可用 法 an a1 n 2 3 已知a1 a2 an f n 求an 用 法f 1 n 1 n 2 迭加 累乘 an 作商 4 若an 1 f an 求an可用 法 5 若an 1 kan b 则可化成 an 1 x k an x 从而 an x 是 数列 其中x可以由 求出 6 若an kan 1 bn k b为常数 可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列 再求an 7 若数列 an 满足a1 a a2 b an 2 pan 1 qan 则可化为 an 2 xan 1 y an 1 xan 其中x y可用待定系数法求得 从而 an 1 xan 构成 数列 迭代 等比 待定系数法 等比 8 若an 1 an pan qan 1 0 可化成1 0 令 bn 从而上式变成bn 1 k bn b型 9 已知sn的递推关系 先求出sn 再求an 用作差法 s1 n 1 sn sn 1 n 2 an 9 公式法常用的公式有 1 等差数列 an 的前n项和sn 2 等比数列 an 的前n项和sn q 1 3 12 22 32 n2 4 13 23 33 n3 na1 d n n 1 2n 1 n2 n 1 2 10 倒序相加法将一个数列倒过来排序 它与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项易于求和 则这样的数列可用倒序相加法求和 11 分组转化法分析通项虽不是等差或等比数列 但它是等差数列和等比数列的和的形式 则可进行拆分 分别利用基本数列的求和公式求和 如求 n n 1 前n项的和 12 错位相减法利用等比数列求和公式的推导方法求解 一般可解决型如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和 如求数列 n 3n 的前n项和 13 裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后 消去一部分从而计算和的方法 它适用于通项为的前n项求和问题 其中 an 为等差数列 如 常见的拆项方法有 1 2 3 4 5 n n 6 并项法将数列的每两项 或多次 并到一起后 再求和 这种方法常适用于摆动数列的求和 n 1 n 1 以下关于数列的叙述 数列是以正整数集为定义域的函数 数列都有通项 且是惟一的 数列只能用通项公式的方法来表示 既不是递增也不是递减的数列 则为常数列 数列1 1 2 3 5 8与数列8 5 3 2 1 1是同一数列 对所有的n n 都有an 3 an 则数列 an 是以3为周期的周期数列 其中正确的结论有 b a 0个b 1个c 3个d 5个 课堂练习 本题是考查数列及相关概念的题 在解题过程中 每一个叙述都有可能判断错误 故需一一给予剖析 命题 数列可以看作是一个定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 命题 不是每一个数列都有通项 有的数列不存在通项 另外 有通项公式的数列 通项公式也不一定惟一 命题 数列除了用通项公式表示外还可以用列表法和图象法表示 命题 数列存在递增数列 递减数列 常数数列 还有摆动数列 命题 数列是有序的 正确 2 数列 1 7 13 19 的一个通项公式是an 1 n 6n 5 符号问题可通过 1 n或 1 n 1表示 其各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 3 如果数列 an 的前n项的和sn n2 那么这个数列的通项公式是 an 2n 1 a1 s1 1 所以a1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 经检验 a1符合上式 所以an 2n 1 4 在数列 an 中 若an 1 a1 1 则a6 因为an 1 a2 a3 a4 a5 a6 5 已知数列 an n n 满足an 1 an t an t t 2 an an2 若an k an k n 则实数k的最小值是 4 因为tt a4 a3 t t 2 a1 t a5 t 2 a4 a1 所以最小正周期为4 故k的最小值为4 数列通项公式的求法 观察分析法 s1 n 1 sn sn 1 n 转化成等差 等比数列 迭加 累乘法 见第34讲 公式法 an 6 已知数列 an 那么 对任意的n n 点p n an 都在直线y x 2上 是 数列 an 为等差数列 的 b a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 当通项为an n 2时 可推出数列 an 为等差数列 反之不成立 故为充分不必要条件 7 2010 苏州模拟 在数列 an 中 若a1 1 a2 n n 则该数列的通项为 an 由 n n 知 为等差数列 且首项 1 公差d 1 所以 n 1 d n 所以an 8 2010 长沙市一中 an 为等差数列 且a7 2a4 1 a3 0 则公差d a7 2a4 1 得a3 4d 2 a3 d 1 即2d a3 1 又a3 0 则d 9 在数列 an 中 an 2n a1 a2 a3 an an2 bn n n 其中a b为常数 则1000a 10102b 2010 因为an 2n 所以 an 是首项为a1 d 2的等差数列 所以sn na1 d n2 n an2 bn 所以a 1 b 所以1000a 10102b 2010 10 在数列 an 中 a1 15 3an 1 3an 2 n n 则该数列中乘积为负值的相邻两项是 前项和取得最大值 第23项 第24项 23 由已知得an 1 an a1 15 所以an a1 n 1 d 显然 a23 0 a24a2 a3 a23 0 a24 所以前23项和取得最大值 1 等差数列的判定方法 定义法 对于数列 an 若an 1 an d 常数 则数列 an 是等差数列 等差中项法 对于数列 an 若2an 1 an an 2 则数列 an 是等差数列 2 在熟练应用基本公式的同时 还要会用变通的公式 如在等差数列中 am an m n d 3 已知三个或四个数成等差数列这类问题 要善于设元 目的仍在于减少运算量 如三个数成等差数列时 除了设a a d a 2d外 还可设a d a a d 四个数成等差数列时 可设为a 3m a m a m a 3m 11 已知数列 an 的前n项和sn an 3 a为不等于零的实数 那么数列 an d a 是等比数列b 当a 1时是等比数列c 从第2项起是等比数列d 从第2项起是等比数列或等差数列 由sn an 3 可得an a 3 n 1 a 1 an 1 n 2 当a 1时 数列 3 0 0 0 为从2项起的等差数列 当a 1时 为从第2项起的等比数列 12 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a2011 a a 22010b 22011c 32010d 32011 令 an 的公比为q 则a1 1 q 3 a1q 1 q 6 则a1 1 q 2 所以a2011 a1 q2010 22010 13 若数列 an 成等比数列 则 a2010 a2012 16 是 a2011 4 的 b a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 由a2010 a2012 16 则a2011 4 充分性不满足 由a2011 4 则a2010 a2012 a20112 16 14 2010 江苏溧水模拟 等比数列 an 中 sn是数列 an 的前n项和 s3 3a3 则公式q 或1 当q 1时 an a1 s3 3a3 则q 1符合题意 当q 1时 3a1q2 解得q 或1 舍去 所以q 或1 15 2009年 某内河可供船只航行的河段长为1000km 但由于水资源的过度使用 促使河水断流 从2010年起 该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 则到2018年 该内河可行驶的河段长度为km 1000 设an表示第n年船只可行驶河段长度 2009为第一年 则an an 1 a1 1000 所以an 1000 n 1 a10 1000 9 1 方程思想的应用 在等比数列的五个基本量a1 an q n sn中 知三求二 一般是运用通项公式和前n项和公式列方程 通过解方程求解 2 等比数列的判定常用定义法和等比中项法 而证明不是等比数列时 只需举反例 常从前几项入手 16 在等差数列 an 与等比数列 bn 中 下列结论正确的是 c a a1 a9 a10 b1 b9 b10b a1 a9 a3 a6 b1 b9 b3 b6c a1 a9 a4 a6 b1 b9 b4 b6d a1 a9 2a5 b1 b9 2b5 当m n p q时 等差数列中有am an ap aq 等比数列中有bm bn bp bq 17 已知等比数列 an 中 有a3a11 4a7 数列 bn 是等差数列 且b7 a7 则b5 b9等于 c a 2b 4c 8d 16 因为a3a11 a72 4a7 因为a7 0 所以a7 4 所以b7 4 因为 bn 为等差数列 所以b5 b9 2b7 8 故选c 18 命题 若数列 an 的前n项和sn an b a 1 则数列 an 是等比数列 命题 若数列 an 的前n项和sn an2 bn c a 0 则数列 an 是等差数列 命题 若数列 an 的前n项和sn na n 则数列 an 既是等差数列 又是等比数列 上述三个命题中 真命题有 a a 0个b 1个c 2个d 3个 由命题 得 a1 a b 当n 时 an sn sn 1 a 1 an 1 若 an 是等比 数列则 a 即 a 所以只有当b 1且a 0时 此数列才是等比数列 由命题 得 a1 a b c 当n 时 an sn sn 1 2na b a 若 an 是等差数列 则a2 a1 2a 即2a c 2a 所以只有当c 0时 数列 an 才是等差数列 由命题 得 a1 a 1 当n 时 an sn sn 1 a 1 显然 an 是一个常数列 即公差为0的等差数列 因此只有当a 1 0 即a 时 数列 an 才又是等比数列 19 1 等差数列的前n项的和为54 前2n项的和为60 则前3n项的和为 2 等比数列的前n项和为54 前2n项的和为60 则前3n项的和为 18 60 1 由等差数列性质 sn s2n sn s3n s2n成等差数列 则2 s2n sn sn s3n s2n 解得s3n 18 2 由等比数列性质 sn s2n sn s3n s2n成等比数列 则 s2n sn 2 sn s3n s2n 解得s3n 60 20 已知数列 an bn 分别为等差 等比数列 且a1 b1 0 a3 b3 b1 b3 则一定有a2b2 a5b5 填 方法一 由中项性质和等比数列性质知b1 0 b3 0 又b1 b3 a2 b2 故a2 b2 同理 a5 2a3 a1 b5 所以b5 a5 2b3 b1 0 即b5 a5 方法二 通项与函数关系 因为an dn a1 d 为关于n的一次函数 bn a1 qn 1 qn为关于n的类指数函数 当d 0 如图1 当db2 a5 b5 1 知三求二 在等差 比 数列中 a1 d q n an sn共五个量中知道其中任意三个 就可以求出其他两个 解这类问题时 一般是转化为首项a1和公差d 公比q 这两个基本量的有关运算 2 巧用性质 减少运算量 在等差 等比数列的计算中 巧用性质非常重要 同时树立 目标意识 需要什么 就求什么 既要充分合理地利用条件 又要时刻注意问题的目标 往往能取得与 巧用性质 解题相同的效果 21 已知数列 an 满足a1 1 an an 1 n 2 则an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 1 1 22 已知a1 1 an an 1 则an 由 得 以上各式累乘得an 23 数列 an 中 a1 1 对所有的n 2都有a1a2a3 an n2 则a3 a5 因为a1a2a3 32 a1a2 22 所以a3 因为a1a2a3a4a5 52 a1a2a3a4 42 所以a5 所以a3 a5 24 2010 长郡中学 已知对任意正整数n a1 a2 a3 an 2n 1 则a12 a22 a32 an2等于 c a 2n 1 2b 2n 1 c 4n 1 d 4n 1 易知a1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 a1也适合 故 an 是以2为公比的等比数列 则 an2 是以1为首项 以4为公比的等比数列 故s 4n 1 25 已知a1 3 f x x2 且an 1 f an 则an 32n 1 由a1 3 a2 a12 32 a3 a22 34 知an 32n 1 1 一是要熟练掌握常见的递推数列的通项公式的求法 如迭加型 累乘型等 二是会将问题转化为等差 等比数列 而转化的方法在于合理构造 常用的手段有 1 构造 an x x为常数 2 构造 an 1 xan x为常数 3 构造 4 构造 5 构造 an f n 2 不等式与递推关系综合问题 方法与相等关系中类似 常有放缩法化归为等比数列求和或易求和型 从而证得不等式 26 若数列 an 为等比数列 s5 10 s10 50 则s15 210 27 若an 1 2 n 则数列 的前n项和sn 因为an 1 2 n 所以 2 故sn 2 1 28 数列1 3 5 7 的前n项和sn n2 1 s 1 3 5 2n 1 n2 1 29 已知数列 an 的前n项和sn 1 3 5 7 1 n 1 2n 1 n n 则s2008 s2009 s2010 b a 2008b 2009c 2009d 2010 当n 2k k z 时 sn 1 3 5 7 2n 3 2n 1 k 2 n 当n 2k 1 k z 时 sn 1 3 5 7 9 2n 3 2n 1 1 k 1 2 n n n为奇数 n n为偶数 所以s2008 s2009 s2010 2008 2009 2010 2009 所以sn 30 设f x 则f x f 1 x 并利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法 求得f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 的值为 f x f 1 x 又设s f 5 f 4 f 6 则s f 6 f 5 f 5 所以2s f 6 f 5 f 5 f 4 f 5 f 6 所以2s 12 6 所以s 3 1 若是等差 等比数列求和问题 则直接用公式求和 应注意公式的应用范围 如等比数列求和时 要分q 1和q 1两类 2 非