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文档简介

利用二分法求方程的近似解 如何利用函数性质判定方程解的存在 复习回顾 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点处的函数值符号相反 f a f b 0 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在 a b 内至少有一个实数解 知道了方程解存在 我们如何来求这个方程的解 探究新知 如下函数f x 的图像与直角坐标系中的x轴有交点 x0 0 知x0是方程f x 0的解 在 1 5 上 f x 的图像是一条连续的曲线 且f 1 f 5 0 x0 1 5 取 1 5 中点2 f 2 f 5 0 x0 2 5 取 2 5 中点3 5 就是每次都取区间的中点 将区间一分为二 再经比较 按需要留下其中一个小区间的方法 其实质是不断把函数零点所在的区间逐步缩小 使区间两个端点逐步逼近零点 进而得到函数零点近似值 探究新知 二分法的定义 对于在区间 a b 上连续不断 且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法 例4求方程2x3 3x 3 0的一个实数解 精确到0 01 解令f x 2x3 3x 3 观察表可知f 0 f 1 0 说明这个函数在区间 0 1 内有零点x0 取区间 0 1 的中点x1 0 5然后用计算器算得f 0 5 1 25因为f 0 5 f 1 0所以x0 0 5 1 再取区间 0 5 1 的中点x1 0 75然后用计算器算得f 0 75 0 09375因为f 0 5 f 0 75 0 所以x0 0 5 0 75 如此就得到方程实数解所在区间的列表 同理可得x0 0 625 0 75 x0 0 734375 0 7421875 由于 0 7421875 0 734375 0 0078125 0 01此时区间 0 734375 0 7421875 的任意一个数都可作为方程的近似解 例如 我们选取0 74作为方程的一个近似解 给定精确度 用二分法求函数零点x0的步骤 1 确定初始区间 a b 验证f a f b 0 则令a x1 此时零点x0 x1 b 中 4 判断是否达到精确度 则若 a b 则得到零点近似值是 a b 区间内的任一个数 否则重复2 4步骤 中点函数值为零 n 否 利用二分法求方程实数解的过程 选定初始区间 取新区间 一个端点是原区间的中点 另一端点是原区间两端点中的一个 新区间两端点的函数值反号 二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的根 它在现实生活中也有许多重要的应用 请解答下面的题目 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 如何迅速查出故障所在 如果沿着线路一小段一小段查找 困难很多 每查一个点要爬一次电线杆子 10km长 大约有200多根电线杆子呢 想一想 维修线路的工人师傅怎样
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