高中数学 概念、定理、习题的理解与教学课件.ppt

高中数学概念 定理 习题的理解与教学 有效教学的关键 理解数学 理解学生 理解教学 三个理解 的内涵 掌握丰富的数学学科知识 高中数学课程结构体系 教学重点的知识 学生数学学习难点的知识 关于重点知识的教学解释的知识 关于评估学生的知识理解水平的知识 等 特别强调 内容所反映的数学思想方法 的理解 决定了教学所能达到的水平和效果 案例一 1 2 1函数的概念 1 一 复习 从变量和对应观点 设在一个变化过程中 有两个变量x与y 如果对于x的每一个值 y都有唯一的值与它对应 那么就说y是x的函数 x叫做自变量 正比例函数 y kx k 0 反比例函数 y k x x 0 一次函数 y ax b a 0 二次函数 y ax2 bx c a 0 请同学们思考下列四个问题 1 y 1 x r 是函数吗 2 y x与y x2 x是同一个函数吗 1当x是有理数时 2当x是无理数时 是函数吗 4 f x x2与f t t2是同一个函数吗 3 y 下面先看几个实例 1 一枚炮弹发射后 经过26s落到地面击中目标 炮弹的射高为845m 且炮弹距地面的高度h 单位 m 随时间t 单位 s 变化的规律是h 130t 5t2 这里 炮弹飞行时间t的变化范围是数集a t 0 t 26 炮弹距地面的高度h的变化范围是数集b h 0 h 845 从问题的实际意义可知 对于数集a中的任意一个时间t 按照对应关系 在数集b中都有唯一的高度h和它对应 2 近几十年来 大气中的臭氧迅速减少 因而出现了臭氧层空洞问题 下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从1979 2001年的变化情况 根据下图中的曲线可知 时间t的变化范围是数集a t 1979 t 2001 臭氧层空洞面积s的变化范围是数集b s 0 s 26 并且 对于数集a中的每一个时刻t 按照图中的曲线 在数集b中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s和它对应 3 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低 恩格尔系数越低 生活质量越高 下表中恩格尔系数随时间 年 变化的情况表明 八五 计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化 请仿照 1 2 描述恩格尔系数和时间 年 的关系 1 炮弹的射高与时间的变化关系问题 2 南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题 3 八五 计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 这三个例子有什么共同点 归纳以上三个实例 我们看到 三个实例中变量之间的关系可以描述为 对于数集a中的每一个x 按照某种对应关系f 在数集b中都有惟一确定的y和它对应 记作f a b 函数的定义 设a b是两个非空数集 如果按某个确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个数x 在集合b中都有唯一确定的数f x 和它相对应 那么就称f ab为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a 其中 x叫做自变量 x的取值范围a叫做函数的定义域 与x的值相对应的y的值叫做函数值 函数值的集合 f x x a 叫做函数的值域 二 新课 是非空数集 注意唯一确定 值域与集合 的关系怎样 函数的三要素 定义域 对应关系 值域 注意事项 注意f x 的符号意思 练习1 下列说法中 不正确的是 a 函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应b 函数的定义域和值域一定是无限集合c 定义域和对应关系确定后 函数值域也就确定d 若函数的定义域只有一个元素 则值域也只有一个元素 b 函数 f x kx b k 0 定义域 值域 r r f x ax2 bx c a 0 r a 0 a 0 x x 0 y y 0 初中常见函数的定义域与值域 例1 已知函数 1 求函数的定义域 2 求f 3 f 2 3 的值 3 当a 0时 求f a f a 2 的值 例2 求下列函数的定义域 例3 判断下面每组的两个函数是否为同一函数 总结 函数的概念 函数的三要素 探讨与反思 1 复习与思考题是否有必要 与以往相比 教科书对函数概念的处理方式发生了很大的变化 改变了以往先映射后函数的顺序 直接通过三个背景实例 在问题的引导下分析概括出运用集合与对应语言描述的函数定义 这样 既衔接了初中阶段将函数看成变量之间的依赖关系的认识 又进一步提升到用集合与对应的语言来刻画函数 探讨与反思 2 如何分析引例 对于实例1 引导学生如何得出炮弹飞行1s 5s 10s 20s时距地面多高 其中 t的变化范围是多少 这里 炮弹飞行时间t的变化范围是数集a t 0 t 26 炮弹距地面的高度h的变化范围是数集b h 0 h 845 从问题的实际意义可知 对于数集a中的任意一个时间t 按照对应关系 在数集b中都有唯一的高度h和它对应 探讨与反思 2 如何分析引例 对于实例2 引导学生从表中看出哪一年臭氧空洞面积最大 那些年的臭氧空洞面积大约为1500万平方千米 其中 t的变化范围是多少 根据下图中的曲线可知 时间t的变化范围是数集a t 1979 t 2001 臭氧层空洞面积s的变化范围是数集b s 0 s 26 并且 对于数集a中的每一个时刻t 按照图中的曲线 在数集b中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s和它对应 探讨与反思 2 如何分析引例 对于实例3 引导学生从图中看出恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似 如何用集合与对应的语言来描述这个关系 探讨与反思 3 如何归纳三个实例的共同特点 不同点 实例 1 是用解析式刻画变量之间的对应关系 实例 2 是用图象刻画变量之间的对应关系 实例 3 是用表格刻画变量之间的对应关系 共同点 1 都有两个非空数集 2 两个数集之间都有一种确定的对应关系 探讨与反思 4 如何理解函数的定义 问题1 是三要素还是两要素 问题2 什么是要素 如数轴的三要素 2 探讨与反思 4 如何理解函数的定义 问题3 函数f n n x x 函数g n z x x 这两个函数一样吗 问题4 集合a 1 2 3 n 和集合b 2 4 6 2n 试比较这两个集合中元素个数的多少 1 探讨与反思 4 如何理解函数的定义 问题5 什么是函数 理解2三要素 从映射角度理解函数 函数是一种装置f a b 是一个整体 突出函数的工具性 大学阶段 理解1两要素 突出研究定义域与对应法则 高中阶段重点研究对应法则 函数相当于暗箱 如袁隆平 力争2020年超级杂交水稻亩产千斤 探究与思考 5 初中各类函数的对应法则 定义域 值域分别是什么 加深对函数概念的理解 这样 既衔接了初中阶段将函数看成变量之间的依赖关系的认识 又进一步提升到用集合与对应的语言来刻画函数 r r r r r 探究与思考判断正误 1 函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 2 函数的定义域和值域一定是无限集合 3 定义域和对应关系确定后 函数值域也就确定 4 若函数的定义域只有一个元素 则值域也只有一个元素 5 对于不同的x y的值也不同 6 f a 表示当x a时 函数f x 的值 是一个常量 判断下列图象能表示函数图象的是 d 1 求函数的定义域 2探究与思考 例题演示 归纳总结 注意 研究一个函数一定在其定义域内研究 所以求定义域是研究任何函数的前提 函数的定义域常常由其实际背景决定 若只给出解析式时 定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合 探究结论 实数集r 使分母不等于0的实数的集合 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 使各部分式子都有意义的实数的集合 即各集合的交集 使实际问题有意义的实数的集合 关于函数概念的理解 说文解字 函 信函 传递和交流信息的书面形式 引申为 有顺序的 对应关系 函数的来源 函数来源于运动 是应 科学的数学化 之所需 数学从运动的研究中引出了一个基本概念 在那以后的二百年里 这个概念在几乎所有的工作中占中心位置 这就是函数 m 克莱因 函数概念的本质 函数概念的本质 两个变量之间的一种特殊的对应关系 函数 不是一个数 而是一个对应关系 函数概念所反映的基本思想 运动变化的思想 函数概念的发展简史 背景 17世纪 科学家们致力于对运动的研究 如计算天体的位置 长距离航海中对经度和纬度的测量 炮弹的速度对于高度和射程的影响等 涉及两个变量之间的关系 要根据这种关系对事物的变化规律作出判断 如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程 莱布尼兹用 函数 表示随曲线的变化而改变的几何量 如坐标 切线等 1718年 贝努利强调函数要用公式表示 1755年 欧拉将函数定义为 如果某些变量 以一种方式依赖于另一些变量 我们将前面的变量称为后面变量的函数 当时很多数学家对不用公式表示函数很不习惯 甚至抱怀疑态度 1837年 狄利克雷提出 如果对于x的每一个值 y总有一个完全确定的值与之对应 则y是x的函数 1870年代 随着集合概念的出现 函数概念用更加严谨的集合与对应语言表述 映射的语言定义函数则是更晚的事情了 函数概念的教学要点 为学生铺设概括函数概念的通道 精选实际例子 从实例出发 在函数概念的引入 表示 性质和应用等阶段都要注意使用实际例子 为学生提供理解函数概念的 参照物 一个好例子胜过一千次说教 不在字面含义 形式化 应用 等方面纠缠 多让学生用函数观点解释具体问题 围绕运动变化 变量 一个量随另一个量的变化而变化等 以实例为载体开展教学 加强思想方法 函数建模等 教概念的意义 李邦河院士 数学根本上是玩概念的 不是玩技巧 技巧不足道也 以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨 必须纠正 否则 学生在数学上耗费大量时间 精力 结果可能是对数学的内容 方法和意义知之甚少 数学育人 终将落空 概念教学的核心 概念教学的核心是概括 将凝结在数学概念中的数学思维打开 以典型丰富的实例为载体 引导学生展开观察 分析各事例的属性 抽象概括共同本质属性 归纳得出数学概念 概念教学的基本环节 典型丰富的具体例证 属性的分析 比较 综合 概括共同本质特征得到概念的本质属性 下定义 准确的数学语言描述 概念的辨析 以实例 正例 反例 为载体分析关键词的含义 用概念作判断的具体事例 形成用概念作判断的具体步骤 概念的 精致 建立与相关概念的联系 数学概念学习的一般有两种形式 2 揭示本质属性 讨论特例 新旧概念联系 实例确认 具体运用 如二次函数的概念 1 观察实例 分析共同属性 抽象本质属性 确认本质属性 正例 反例 概括定义 符号表示 具体运用 案例二 古典概型 例1 两个完全相同的球 随机地放在编号为1 2 3的三个盒子中 试求事件a 在1 2号盒子中个有一球 的概率 变式1 把编号为a b的两个球 随机地放在编号为1 2 3的三个盒子中 试求事件a 在1 2号盒子中个有一球 的概率 变式2 两个完全相同的球 随机地放在编号为1 2 3的三个盒子中 并且假定每个盒子中至多有一个球 试求事件a 在1 2号盒子中个有一球 的概率 例2 摸球问题 一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球 从中一次摸出两个球 求摸出的两个球一红一黄的概率 问共有多少个基本事件 求摸出两个球都是红球的概率 求摸出的两个球都是黄球的概率 例2 摸球问题 一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球 从中一次摸出两个球 问共有多少个基本事件 解 分别对红球编号为1 2 3 4 5号 对黄球编号6 7 8号 从中任取两球 有如下等可能基本事件 枚举如下 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 4 5 4 6 4 7 4 8 5 6 5 7 5 8 6 7 6 8 7 8 7 6 5 4 3 2 1 共有28个等可能事件 28 变式 摸球问题 一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球 从中依次摸出两个球 求摸出的两个球一红一黄的概率 问共有多少个基本事件 求摸出两个球都是红球的概率 求摸出的两个球都是黄球的概率 例3同时掷两个骰子 计算 1 一共有多少种不同的结果 2 其中向上的点数之和是5的结果有多少种 3 向上的点数之和是5的概率是多少 解 1 掷一个骰子的结果有6种 我们把两个骰子标上记号1 2以便区分 由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对 我们用一个 有序实数对 来表示组成同时掷两个骰子的一个结果 如表 其中第一个数表示1号骰子的结果 第二个数表示2号骰子的结果 从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种 2 在上面的结果中 向上的点数之和为5的结果有4种 分别为 1 4 2 3 3 2 4 1 3 由于所有36种结果是等可能的 其中向上点数之和为5的结果 记为事件a 有4种 因此 由古典概型的概率计算公式可得 列表法一般适用于分两步完成的结果的列举 为什么要把两个骰子标上记号 如果不标记号会出现什么情况 你能解释其中的原因吗 如果不标上记号 类似于 1 2 和 2 1 的结果将没有区别 这时 所有可能的结果将是 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 3 3 4 3 5 3 6 4 4 4 5 4 6 5 5 5 6 6 6 共有21种 和是5的结果有2个 它们是 1 4 2 3 所求的概率为 思考与探究 左右两组骰子所呈现的结果 可以让我们很容易的感受到 这是两个不同的基本事件 案例三 向量 如图 设o是正六边形abcdef的中心 根据图中标出的向量回答下列问题 1 ab与de的长度相等吗 它们是相等向量吗 2 与向量oa相等的向量有多少个 3 与向量oa相等的向量有哪些 4 是否存在与向量oa长度相等 方向相反的向量 5 与向量oa共线的向量有哪些 c 和我一样的人有多少个 案例四 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判定 代数方法 直线方程l ax by c 0圆的方程c x a 2 y b 2 r2 直线与圆的位置关系的判定 几何方法 演示 小结 比较 几何法比代数法运算量少 简便 例1 过点p 1 1 的直线l与圆m x 3 2 y 4 2 4 1 当直线和圆相切时 求切线方程和切线长 2 若直线的斜率为2 求直线被圆截得的弦ab的长 3 若圆的方程加上条件x 3 直线与圆有且只有一个交点 求直线的斜率的取值范围 培养学生用数形结合的思想优化解题程序 用运动变化的观点分析解决问题的能力 例2 在圆 x 1 2 y 2 2 8上到直线 的距离为的点有 个 演示 运用点到直线的距离解决直线与圆的关系问题 将学生思维引向更高层次 在 x 1 2 y 1 2 r2的圆上是否存在四个点到直线ab 3x 4y 3 0的距离等于 开放性问题 演示 给出这个问题的用意是开拓学生的思维 让学生从多角度思考问题 培养学生的创新能力 探讨与反思 1 如何把握教科书的引例 引例 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 探讨与反思 1 如何把握教科书的引例 反思 体现了坐标法的工具性以及数学的应用性 探讨与反思 2 如何把好握教学各个环节之间的衔接 问题1 直线与圆有几种位置关系 相离 相交 相切 切线 割线 问题2 可用什么几何特征来表示位置关系 特征1 公共点个数 1 相交 有两个公共点 2 相切 只有一个公共点 3 相离 没有公共点 特征2 圆心到直线的距离 1 公共点个数 根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断 2 思考3 这些几何特征如何用