高考数学 专题辅导与训练 1.2《函数的图象与性质》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1函数的定义域 值域 例1 1 2011 江西高考 若f x 则f x 的定义域为 a 0 b 0 c d 0 2 2011 黄石模拟 已知函数f x 2 log3x x 1 9 则函数y f x 2 f x2 的值域为 解题指导 1 结合求定义域的原则 分母不为零 偶次根下非负 真数大于零等 即可解得 2 先由已知求出所求函数y的定义域 再转化为log3x的二次三项式 用配方法求出y的取值范围 规范解答 1 选a 由题意得 所以 x 0 2 f x 2 log3x x 1 9 y f x 2 f x2 的定义域为解得1 x 3 即定义域为 1 3 0 log3x 1 又y f x 2 f x2 2 log3x 2 2 log3x2 log3x 2 6log3x 6 log3x 3 2 3 0 log3x 1 6 y 13 故函数的值域为 6 13 答案 6 13 变式备选 若把 1 中f x 分母中的根号去掉 即f x 则其定义域为 解析 要使函数f x 有意义 则需解得x 且x 0 f x 的定义域为 0 0 答案 0 0 1 求函数定义域的方法技巧 1 有限制条件的代数式有以下几类 分式的分母不为0 偶次方根式的被开方式要非负 对数的真数要为正 对数的底数须大于零且不为1 2 求复合函数的定义域一般有两种方法 一是先求外层函数的定义域 再把内层函数代入 二是直接代入写出复合函数的解析式 满足复合函数有意义即可 2 求函数值域的常用方法 1 直接观察法 2 配方法 3 换元法 4 基本不等式法 5 单调性法 6 数形结合法 1 求函数的定义域时 要注意以下几点 对原解析式不要化简 以免自变量的范围发生变化 定义域必须写成集合或区间的形式 2 求函数的值域时要注意以下几点 分段函数的值域应先分段分析 再取并集 不论用哪种方法求值域 都一定要先确定其定义域 1 已知函数f x 的定义域是 0 1 则当0 a 1时 函数f x a f 2x a 的定义域是 a a 1 a b 1 a c d a 解析 选c 由所以x 2 已知函数f x loga x 1 的定义域和值域都是 0 1 则a的值等于 a 2 b c d 解析 选a 当01时 f x 在 0 1 上单调递增 又值域为 0 1 f 0 0 f 1 1 解得a 2 故选a 热点考向2反函数问题 例2 1 2011 大纲版全国卷 函数y x 0 的反函数为 a y x r b y x 0 c y 4x2 x r d y 4x2 x 0 2 2011 黄冈模拟 若函数f x log2 4x 2 则不等式f 1 x 的解集为 解题指导 1 先反解用y表示x 注意要求出y的取值范围 因为它是反函数的定义域 2 先求出f 1 x 再解不等式 或者不求反函数 而利用性质求解 两种解法都要注意原函数的值域是反函数的定义域 规范解答 1 选b 在函数y x 0 中 y 0且反解x得x 所以y x 0 的反函数为y x 0 2 方法一 y f x log2 4x 2 注意y log2 0 2 1 2y 4x 2 即4x 2y 2 x log4 2y 2 f 1 x log4 2x 2 x 1 不等式f 1 x 化为log4 2x 2 2x 2 2 即2x 4 x 2 又 x 1 1 x 2 不等式的解集为 x 1 x 2 方法二 f x log2 4x 2 是增函数 且f x log2 0 2 1 f 1 x 等价于x f 且x 1 1 x log2 2 log24 2 不等式的解集为 x 1 x 2 答案 x 1 x 2 1 解决反函数试题时应注意的问题 1 反函数的定义域不能由其解析式来求 而应该是原函数的值域 2 互为反函数的两个函数在对应区间上具有相同的单调性 它们的图象关于y x对称 2 关于反函数的常见结论 1 定义域上的单调函数必有反函数 2 奇函数的反函数也是奇函数 偶函数不存在反函数 3 周期函数不存在反函数 1 函数y log2 x 0 的反函数是 a y x 0 b y x0 d y x 0 解析 选d 2y x 所以反函数为y 又y log2 x 0 x 1 1 0 1 1 0 1 即原函数的值域为y 0 所以反函数的定义域为 0 2 记函数y 1 3 x的反函数为y g x 则g 10 a 2 b 2 c 3 d 3 解析 选b 由反函数的知识可知 令1 3 x 10 x 2 即为g 10 的值 热点考向3函数图象及其变换 例3 2011 四川高考 已知f x 是r上的奇函数 且当x 0时 f x x 1 则f x 的反函数的图象大致是 解题指导 函数为奇函数 只研究x 0时的图象即可 规范解答 选a 方法一 先由f x x x 0的图象向上平移一个单位 作出x 0 f x x 1的图象 再作关于直线y x对称的图象 即得反函数在y轴右侧的图象 方法二 当x 0时 反函数的解析式为f 1 x 1 x 2 由y x 0 的图象向右平移1个单位 即得反函数在y轴右侧的图象 函数图象变换类型总结 1 函数图象变换的常见形式 1 平移变换 左右平移与上下平移 2 对称变换 关于x轴 y轴 原点对称 3 伸缩变换 横坐标伸缩 x x 纵坐标伸中 f x af x 2 解答函数的图象问题时要仔细分析 观察 从题目中提取有效信息并作出推断 常用的解题思路有 一是作定量计算 二是作定性分析 即用相关的性质作判断 三是建立函数模型 四是画出图象 数形结合 3 速解图象选择题的五个重要着眼点 1 两域 即定义域及值域 2 奇偶性 对称性 3 单调性及周期性 4 图象的变化趋势 5 特殊点 线 1 已知函数y f x 的反函数是f 1 x 2 loga 1 x a 0 且a 1 则函数y f x 的图象必过定点 a 2 0 b 2 0 c 0 2 d 0 2 解析 选a 由反函数解析式可得f 1 0 2即反函数过定点 0 2 由于原函数与反函数的图象关于直线y x对称 故原函数必过 0 2 关于直线y x的对称点 2 0 2 已知f x ax a 0 且a 1 f 1 2 0 则y f 1 x 1 的图象是 解析 选a f x ax f 1 x logax 又f 1 2 0 0 a 1 f 1 x 为减函数 而函数y f 1 x 1 的图象是由f 1 x 的图象向左平移1个单位得到的 故选a 热点考向4函数的单调性 奇偶性与周期性 例4 1 2011 新课标全国卷 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的函数是 a y x3 b y x 1 c y x2 1 d y 2 x 2 2011 大纲版全国卷 设f x 是周期为2的奇函数 当0 x 1时 f x 2x 1 x 则f a b c d 解题指导 1 对选项进行逐个判断 一是看是否满足奇偶性 二是检验单调性 2 解本题的关键是通过周期性和奇偶性把自变量 转化到区间 0 1 上进行求值 规范解答 1 选b 函数y x3是奇函数 故可排除a 当x 0时 y x 1 x 1是增函数 y x2 1是减函数 y 2 x 2 x x为减函数 故选b 2 选a 先利用周期性 再利用奇偶性得 1 解决函数单调性的常用方法 对于选择题 填空题能画出图象的一般用图象法 对于由基本初等函数通过加 减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数的单调性去研究 对于解析式较复杂的但能求导的用导数法 能作差变形的用定义法 2 在解决抽象函数求值问题时 往往利用函数的周期性将自变量的值转化为能够和已知条件联系的自变量的值 然后代入求解 3 周期函数的性质 1 若f x a f x a a 0 则t 2a 若 f x f a x a 0 则f x 是周期函数且t 2a 2 若f x a a 0 恒成立 则t 2a 3 若f x a a 0 恒成立 则t 2a 1 判断函数的奇偶性 要注意定义域必须关于原点对称 有时还要对函数式化简整理 但必须注意使定义域不受影响 2 求函数的单调区间时 易错误地在多个单调区间之间添加符号 和 或 它们之间用逗号隔开 1 2011 桂林模拟 已知函数f x 是r上的偶函数 若对于x 0 都有f x 1 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2010 f 2011 的值为 解析 根据已知由f x 1 以x 1代x得f x 2 f x 函数f x 的周期t 2 f 2010 f 2011 f 2010 f 2011 f 1005 2 f 1005 2 1 f 0 f 1 log2 0 1 log2 1 1 0 1 1 答案 1 2 已知函数f x a 1 求证 不论a为何实数 f x 在r上总为增函数 2 确定a的值 使f x 为奇函数 3 当f x 为奇函数时 求f x 的值域 解析 1 f x 的定义域为r 设x10 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以不论a为何实数 f x 在r上总为增函数 2 f x 为奇函数 f x f x 即a 解得 a 3 由 2 知f x 2x 1 1 0 1 1 0 故函数f x 的值域为 函数与方程思想 解答字母取值或参数范围的讨论等问题含参数问题的主要问题类型 1 解方程及方程根的问题 2 讨论参数的取值范围 3 恒成立 问题 4 函数 方程和不等式之间的相互联系和转化问题 求解时要注意的问题 1 研究具体函数 求解函数性质问题 如最值 极值 单调区间等 2 构造函数关系 利用函数的性质解题 3 实际应用问题 翻译成数学语言 建立数学模型和函数关系式 应用函数性质或不等式等知识解答 4 在含有多个变量的数学问题中 选定合适的自变量 从而揭示其中的函数关系 5 将函数解析式转化为方程 利用方程有解的条件解决函数值域等问题 6 在等差 等比数列中 通项公式 前n项和公式 都可以看成n的函数 数列问题也可以用函数方法解决 7 函数与不等式 数列 方程 排列组合等知识的综合推理问题 典例 2011 盐城模拟 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 其值域为 1 试求a b的值 2 函数y g x x r 满足 i 当x 0 3 时 g x f x ii g x 3 g x lnm m 1 求函数g x 在x 3 9 上的解析式 若函数g x 在x 0 上的值域是闭区间 试探求m的取值范围 并说明理由 解题指导 1 利用奇函数的定义 判别式法分别解方程 求出待定系数a b的值 2 分类讨论 分别求出x 3 6 及x 6 9 上的函数解析式 根据g x 在 0 上的最大值和最小值 分类讨论求解 规范解答 1 f x 的定义域为r b 0 又 f x 为奇函数 由f x f x 对x r恒成立 得a 0 因为y f x 的定义域为r 所以方程yx2 x by 0在r上有解 当y 0时 由 0 得 y 而f x 的值域为 所以解得b 4 当y 0时 得x 0 可知b 4符合题意 所以b 4 2 因为当x 0 3 时 g x f x 所以当x 3 6 时 g x g x 3 lnm 当x 6 9 时 g x g x 6 lnm 2 因为当x 0 3 时 g x 在x 2处取得最大值为在x 0处取得最小值为0 所以当3n x 3n 3 n 0 n z 时 g x 分别在x 3n 2和x 3n处取得最值为与0 当 lnm 1时 g 3n 2 的值趋向无穷大 从而g x 的值