椭圆及其标准方程教学设计（第一课时） 一、教材分析 《椭圆及其标准.doc

椭圆及其标准方程教学设计（第一课时）一、教材分析椭圆及其标准方程是继学习圆以后运用 “曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上说，把椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线和圆分离独编一章，则椭圆的重要性就尤其突出。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。二、教学目标1、知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导.2、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.3、情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点. 三、重点、难点1.重点：感受建立曲线方程基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。2.难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法本节课采用“启发式，探究式”的教学方法，以问题解决为中心，注重学生学习过程，关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，立足以学生的发现为主，教师引导为辅，着眼培养学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力。同时通过动态演示的直观性、形象性增进学生对数学本质的理解、提高教学效率。五、教具准备：多媒体课件和画图板、图钉、无弹性细绳六、教学过程：(一)创设情景，提出课题利用多媒体演示：九大行星的运行轨迹，神州七号的运行轨迹。问题：它们的运行轨迹是什么图形？（椭圆）设计意图：让学生从感性上认识椭圆。(二) 自主探究，形成概念问题：动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？类比模仿：从熟悉的曲线开始研究，引导学生类比圆和椭圆，联想圆的定义，圆的定义：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。如果将到一定点的距离改为到两定点的距离之和等于常数呢？此时的轨迹又会是一个什么样的图形呢？ 引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法（几何特征）.通过手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉直，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按介绍的方法，动手绘图，教师巡视，并抽几个同学在黑板上用准备好的工具演示。设计意图：以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。思考1：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？有哪些量没有变？思考2：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？思考3.当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？思考4.当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？学生自己概括椭圆定义：定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记为2c。强调定义要满足任意一点到两个定点的距离的和等于常数；常数大于|F1F2|.设计意图：给学生提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。（三）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？2、研讨探究：问题：如图已知焦点为F1、F2的椭圆，且|F1F2|=2c,对椭圆上任一点M，有，尝试推导椭圆的方程。 思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.1.建系：以两定点F1 、F2 的连线为x轴，以线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系如图 2.设点：设M(x,y)为椭圆上任意一点，|F1F2|=2c(c0)，则有F1（c,0）、F2(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a(a0).3、列出方程此时教师可以指出：为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化. 4. 化简方程：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.教师引导学生化简，得到(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). 指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要再简化。先简化a2-c2，ac,a2-c20,令a2-c2b2，则方程化为b2x2+a2y2=a2b2，联想到直线截距式方程，两边同除以a2b2得:指出：方程（ab0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在x轴上，F1(-c,0).F2(c,0),这里，c2=a2-b2设计意图：再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，不失时机地加强了运算技能的训练.问题：如果焦点F1 、F2在y轴上，并且点O 与线段F1 F2 的中点重合，a、b、c的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？学生互相讨论，交流，合情猜想，动手验证可得指出：叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在y轴上，F1(0,-c)，F2(0,c),这里，c2=a2-b2设计意图：通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性,调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.(四)初步运用，强化理解例：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（-2，0）和（2，0），并且经过(，-),求出椭圆的标准方程。解：(定义法)因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以 又所以因此所求椭圆的标准方程为 （待定系数法）可设所求方程，然后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程设计意图：数学概念是要在运用中得以巩固的，通过例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标准方程。反馈练习：1、判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。 2、求满足条件的下列方程（1）两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。（2）两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点。（3）归纳小结：以提问形式1、 椭圆是怎样的点的轨迹？2、 椭圆的标准方程是怎样的？3、 椭圆的两个标准方程有什么区别？4、 焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系是什么？设计意图：归纳小结由学生来完成，使他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题，并对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.作业： 必做题：教材49页第二题