高考数学大一轮总复习 第1章 第1节集合与简易逻辑课件.ppt

第一章集合与简易逻辑 高考十分重视对本章内容的考查 多以选择题 填空题的形式考查集合之间的关系和集合的运算 通常与函数 不等式 方程等知识交汇在一起 简易逻辑主要考查四种命题及其关系 充要条件 逻辑联结词 通过本章的复习可以看到集合与简易逻辑是高中数学中的基础知识 在高中数学的各个部分都具有十分广泛的应用 是认识和使用数学语言的必备知识 第一节集合的概念与运算 1 集合的基本概念 1 集合的概念 某些的对象集在一起就成为一个集合 2 集合中元素的特性 3 集合的三种表示方法 2 集合间的基本关系 1 子集 若集合a的都是集合b的元素 则a b 2 真子集 若a b 且 则ab 3 是任何集合的 是任何非空集合的 4 相等 若a b 且b a 则a b 指定 确定性 互异性 无序性 列举法 描述法 图示法 任何一个元素 a b 子集 真子集 3 集合的基本运算 a b a b x u 且x a x a 且x b x a 或x b 4 集合的常用运算性质 1 a b a b a b 2 u a b u a b 3 card a b card a card b a b ua ub ua ub card a b 1 若给定集合a x 4 x2 则集合a本身对实数x有限制条件吗 若有 请求出x的取值范围 提示 由元素的互异性 可得解得x 4 x 2 x 0 x 1 x 4 x2 4 x2 x 2 如何区分数集与点集 下面三个集合 a x y x2 1 b y y x2 1 c x y y x2 1 是否是相同的集合 提示 主要区分元素的属性 数集中的元素是 数 而点集中的元素是有序实数对 集合a b是数集 而集合c中的元素为有序实数对 可看成点集 实际上集合a b可分别看成函数y x2 1的定义域和值域 易知a r b y y 1 三者不是相同集合 但b a 1 教材改编题 设全集u 1 2 3 4 a 2 3 b 1 则a ub 解析 ub 2 3 4 a ub 2 3 答案 2 3 2 若x 1 x2 则实数x的值为 解析 当x x2时 x 0或x 1 若x 1时 x2 1 由互异性知不符合题意 经检验知x 0符合题意 答案 0 3 2010 重庆高考 设a x x 1 0 b x x 0 则a b 解析 a x x 1 b x x 0 a b x 1 x 0 答案 x 1 x 0 4 2011 海淀模拟 已知集合a x 1 x 1 b x 1 a x 2a 1 若b a 那么a的取值范围是 解析 由数轴知 答案 a 2 设集合a 1 1 3 b a 2 a2 2 若b a 则实数a的值为 思路点拨 由b a知 集合b中的元素都属于集合a 又注意到a2 2 2 故a2 2 3 解方程得出a的值后代入集合b检验是否符合题意 尝试解答 b a a2 2 a a 2 a a2 2 3 解得a 1或a 1 当a 1时 b 3 3 不满足元素的互异性 当a 1时 b 1 3 且满足b a 故实数a的值为 1 答案 1 1 给定集合b后 已有a 2 a2 2这一隐含条件 而在解题时我们若只注重用等量关系求a的值 而忽略元素的互异性 会导致增解 故此类问题 应将求得字母的值代入原集合 验证是否满足元素的互异性 2 本题的解答中利用a2 2 3求得a的值后 除检验互异性是否满足之外 还应检验b a是否成立 因为a2 2 3只保证a2 2 a 而不能保证a 2 a 若将本例中的集合b改为b a 2 a2 2 其他条件不变 则实数a的值为 解析 b a a2 2 a a 2 a a2 2 3 解得a 1或a 1 当a 1时 b 1 3 满足b a 当a 1时 b 3 3 不满足b a 故a 1 答案 1 思路点拨 思路二 求出集合a 利用a b的定义 将问题转化为不等式恒成立问题 法二a x 1 x 2 a b 对任意的x a 都有x b 即当1 x 2时 不等式x2 a 1 x a 0恒成立 设f x x2 a 1 x a 解得a 2 故实数a的取值范围是a 2 1 将集合同方程 不等式 函数相结合是高考题的一大特点 所以必须能读懂集合语言 能将集合同方程的解集 不等式的解集 函数的定义域 值域等结合起来 同时 还要熟练掌握各类不等式 方程的解法 2 本题是已知集合的关系求字母的取值范围 这类题解决的一般方法是先将集合化简 通过数轴表示 得出字母参数的不等式 组 解不等式 组 求得字母参数的取值范围 这一过程要注意 端点 值的 取 与 舍 3 空集是任何集合的子集 解题时不可忽视 已知集合a x x2 x 6 0 b x mx 1 0 若b a 求实数m的值 12分 已知集合a x x2 x 2 0 b x 20 如果集合a b c满足 a b c a b c r 求b及c的值 思路点拨 规范解答 由题意 a x 2 x 1 b x 13 6分又c x x2 bx c 0 8分故 2 3是方程x2 bx c 0的两根 由一元二次方程根与系数的关系可得 b 1 c 6 12分 误区分析 不少同学不能把 a b c 与 a b c r 综合起来求出集合c 从而导致解题的失败 1 一般地 求字母参数的值时 用方程思想作指导 利用题目条件中的等量关系 建立所求字母参数的方程 组 然后解得字母参数的值 本题解决的关键是由条件 a b c a b c r 确定集合c 进一步得到b c的方程组 2 对集合语言的理解和转化 往往是解决问题的突破口 而这一转化可借助韦恩图 数轴等图形直观地进行 设全集为u 集合a b是全集u的子集 定义集合a与b的运算 a b x x a 或x b 且x a b 则 a b a等于 a ab bc ua bd a ub 思路点拨 对运算 a b 可以借助韦恩图或具体的集合来认识和理解 同时 计算 a b a也可利用韦恩图或具体的集合来求解 尝试解答 法一如图 1 由定义知a b为图中阴影部分构成的集合 不妨设a b m 如图 2 m a则为图 2 中阴影部分表示的集合 即集合b 法二设全集u 1 2 3 4 5 集合a 1 2 3 b 3 4 则a b 1 2 4 故 a b a 1 2 4 1 2 3 3 4 b 答案 b 1 这类问题给出的形式一般是 先给出新定义 概念 运算法则 公式 定理等 然后利用新定义解决问题 要解决此类问题 首先 要读懂新定义 如运算法则 命题的题设 结论等 我们常用的方法是将新定义直观化或具体化 特殊化 来加深对新定义的认识和理解 2 本题中涉及到的集合a b不具体 不妨称之为 抽象集合 解决抽象问题有效的策略就是 抽象问题直观化 如方法一 或 抽象问题具体化 特殊化 如方法二 定义集合a b z z xy x y x a y b 设a 0 1 b 1 2 则集合a b中所有元素之和为 解析 由新定义可分别给x y赋集合a b中的值 从而得到a b 0 2 6 故a b中所有元素之和为8 答案 8 错解1 错解2 1 2010 浙江高考 设p x x 4 q x x2 4 则 a p