函数的奇偶性.doc

.函数的奇偶性(板书)教师从刚才的图象中选出 ,用计算机打出,指出这是关于 轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令 比较 得出等式 ,再令 ,得到 ,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在 ,使 与 不等呢?(可用课件帮助演示让 动起来观察,发现结论,这样的 是不存在的)从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 ,都有 成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.(1) 偶函数的定义:如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数.(板书)(给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步认识)提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象让学生观察研究)学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.(2) 奇函数的定义: 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数.(板书)(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)例1.判断下列函数的奇偶性(板书)(1) ; (2) ;(3) ; ;(5) ; (6) .(要求学生口答,选出1-2个题说过程)解: (1) 是奇函数.(2) 是偶函数.(3) , 是偶函数.前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证 与 之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明 与 不等.如 即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的 = 不能经受任意性的考验,当 时,由于 ,故 不存在,更谈不上与 相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思考,可找到函数 .然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?例2.已知函数 既是奇函数也是偶函数,求证: .(板书) (试由学生来完成)证明: 既是奇函数也是偶函数, = ,且 , = . ,即 .证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现, 只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 , , , ,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: (板书)例3.判断下列函数的奇偶性(板书)(1) ; (2) ; (3) .由学生回答,不完整之处教师补充.解: (1)当 时, 为奇函数,当 时, 既不是奇函数也不是偶函数.(2)当 时, 既是奇函数也是偶函数,当 时, 是偶函数.(3) 当 时, 于是 ,当 时, ,于是 = ,综上 是奇函数.教师小结 (1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当 检验 ,并不能说明 具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须 均有 成立,二者缺一不可.三. 小结1. 奇偶性的概念2. 判断中注意的问题四. 作业 略题：函数的奇偶性（一）青浦高级中学陆康其一、任务分析1、背景“函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的轴对称性。利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。函数的奇偶性也是学生今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。由于这节课是函数性质学习的第一课时，因此如果通过学生对实物的观察、分析；对课本的阅读、理解来获得函数的奇偶性就显得比较顺。这样一方面与学生的认知结构相吻合，另一方面也可以增强学生的阅读理解能力。另外根据我班学生的情况，本教案在例题的选择及处理方式方面也可作适当调整。2、研究重点、难点偶函数的概念属于揭示内涵的概念，在教学中要注重“种属”关系的分析，突出概念“属差”的研究，使学生明确概念的本质属性。因此，本节课的重点是理解偶函数的概念及对偶函数的判定。对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。因此教学难点是有关偶函数问题的证明。教学的关键是抓住实例，结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识。二、教学设计1教学目标（1）、理解偶函数概念，会利用定义判断简单函数是否为偶函数，掌握偶函数图象性质。（2）、体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。（3）、增强自学能力，逐步由“学会”向“会学”转化。（4）、增强审美能力。2重点与难点：重点：理解偶函数概念及掌握偶函数的判定。难点：偶函数图象性质的证明。3教学手段运用计算机、实物投影仪等多媒体技术4教学流程：5教学过程教学环节 教学程序 设计意图创设情境 我们有过许多对“美”的感受。如“对称美”就大量存在于我们的生活中，你能举出“对称美”的例子吗？在数学学习中，我们也可以感受到这种对称美。教师通过Ti-83Plus图形计算器进行演示，绘制麦当劳图案（图1），再把图案放置在平面直角坐标系中（图2）（图1）（图2）（有选择地画出学生提出的一些函数的图象，如下图）看来，数学中的对称形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴有对称关系的函数进行深入的研究，从中发现一些性质“函数的奇偶性”（偶函数）（板书课题） 高一学生虽已具有一定的抽象思维能力，但在很大程度上还依赖于感性认识。由生活中的“对称美”谈起，并举麦当劳图案作为轴对称的实际例子。从学生已有的感性认识出发，创设轻松愉快的探索情境，使学生饶有兴趣；进而转入对函数解析式及数量规律的研究，强调了感性与理性的对比与融合。培养学生的参与热情、发现意识和创造力。自主尝试 在学生已经有了一定感性认识的基础上，要求学生带着下列问题去阅读课本，思考问题（有目的地自学）（投影仪打出思考问题）1、课本是如何引入偶函数概念的？2、偶函数的定义是什么？判断下列命题的真假：（1）如果在f(x)的定义域内，存在一个实数a，使得f(-a)=f(a)，那么f(x)为偶函数。（2）如果在f(x)的定义域内，存在无数个实数a，使得f(-a)=f(a)，那么f(x)为偶函数。（3）如果在f(x)的定义域内，任意一个实数a，使得f(-a)=f(a)，那么f(x)为偶函数。（4）如果在f(x)的定义域内，存在一个实数a，使得f(-a)f(a)，那么f(x)不是偶函数。3、如何判断一个函数是否为偶函数？下列函数是否为偶函数？为什么？4、如何证明一个函数是偶函数？看例一5、偶函数的图象有什么特征？并加以证明。6、偶函数的图象特征，有何应用？7、其他问题？学生自学，教师巡回观察，搜集反馈信息。 在教师引导下，让学生带着问题去独立思考，自主学习，并通过对问题的思考，提高理解能力，强化自我意识，促进由学会向会学转化，形成良好的思维品质。点拨指导 在学生上述学习活动的基础上，进而对上述问题的结论归纳，揭示偶函数的本质，要求学生明确以下两点：1、函数的定义域D关于原点对称是这个函数为偶函数的必要条件，这个命题是隐含在定义之中的。要引导学生对定义中的每句话、每个词、每一个式子都要认真体会和理解它的含义，这样做有助于提高学生阅读数学书籍和学习数学的能力。2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，这一性质的证明要抓住三个要点：a是y=f(x)定义域内的任意一个实数点A(a,f(a)、B(-a,f(-a)都是函数y=f(x)图象上的点因为f(-a)=f(a),所以点(-a,f(a)与(a,f(a)关于y轴对称 让学生把阅读理解得到的想法进行小组讨论和全班交流，让学生提出自己的各种想法。在活动中，教师要把握好讨论的方向和深度，适时地作引导和点评。教师的话不在于多，而在于巧妙，适时到位。最后对学生通过讨论产生的疑惑要给予解决，融教学内容于解答启迪之中，从而完善学生的知识结构。通过学习交流，使学生体会从个性事物中发现普遍性的规律，渗透普遍性蕴于特殊性之中的辩证唯物主义思想。在形成概念和表述概念这一环节，“浓装重彩”来渲染定义的发生过程，突出重点，培养学生观察、分析、抽象概括能力，渗透“从特殊到一般”的数学思想，有效实现教学目的。巩固练习 做练习（1）中1、2两题学生以小组形式讨论，选派代表发言请同学们总结一下判断函数是偶函数应注意哪些问题？（1）偶函数的定义域特征（2）f(-x)=f(x)的含义与“变式”（3）对非偶函数的认识 学生集思广益，合作学习。让学生写解题过程，谈体会。进一步明确偶函数的本质。让学生用定义判断，注意解题规范回授调节 （补充）例：判断下列函数是否为偶函数？对例，教师启发学生用Ti计算器显示图形，然后再用定义证明它是偶函数。进一步探讨，通过这节课的学习，你有哪些新的发现?还有哪些疑问？新的联想。 为更好地揭示定义的内涵，加深学生对定义的理解，结合教材例题的典型作用，补充、小题，培养学生分析问题、解决问题的能力。体现了Ti计算器在解题中的验证和探索功能。通过创设轻松愉快的探索情境，给学生创建自主探索的氛围，培养学生的判断能力和实践能力，充分发挥学生的主体地位。归纳总结 师生共同回顾这节课的学习，体会“生活美”与“数学美”的联系（学生总结，教师点评）。总结：通过偶函数的学习，对数学规律的发现过程的认识，从中再次体会数形结合，具体到抽象的思维方法。联想其他形式的“对称”问题，如关于原点对称的函数，在以后的学习中继续探讨。 使学生再次体会知识脉络与学习过程，引起思索。作业：1、阅读教材第63-64页2、练习必做题：练习册第23页1-4题选做题：判断下列函数的奇偶性3、研究与思考：满足关系f(a+x)=f(a-x)（a为非零常数）的函数的图象是否为轴对称图形？如果是则关于哪条直线对称，并证明你的结论；如果不是，说明理由。 巩固所学，对学有余力者留出自由发展空间，培养学生创新意识和探索精神。三、反思：这节课本着“课程标准为依据，教师为主导，学生为主体”的原则进行设计与教学，运用了“创设情景尝试指导变式训练回授调节归纳总结”的教学模式，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的习得、能力的培养二个方面收获都比较大，基本上达到了预期的教学目的。比如，用麦当劳图案作为轴对称的实际例子，调动了学生的学习积极性；通过阅读理解、交流学习的形式导出偶函数的概念，使学生体验了知识习得的过程；又通过变式训练及反馈回授使知识进一步得到巩固。在教学手段方面本堂课充分发挥了多媒体辅助教学的作用，值得指出的是图形计算器的使用，使学生想象、发现的空间更加广阔，使得许多难以描绘的函数图象轻松可得，降低了学生的学习难度。当然也要注意到不能因为现代技术的使用而降低了思维培养的要求，比如判断函数是否为偶函数，在学生用Ti计算器得到关于y轴对称的图象后，还需要用定义来证明它是偶函数。从本堂课的教学实践中我还深刻体会到要上好一堂课需要注意以下几点：（1）带着问题边阅读边思考，目标明确，要求具体，效果好。但是阅读自学的时间与问题的难易程度要适当，如果流于形式，那么就达不到教学目的。（2）学生的学习交流需要教师的精心指导，使课堂学习交流不仅是问题解决的过程，而且是培养学生表达能力、探索精神、团结协作精神的过程。（3）作为探究型课，要注重学生的学习过程，这个过程是一个不确定的过程，即使教师作了认真准备，也不可能完全预料探究的全过程，因此教师要不断提高自己课堂教学的调控能力，善于根据学生活动情况作灵活调整。（4）传统的“接受式”教学，注重的是知识的传授与运用，对于理性知识的习得很有作用；“探究式”学习注重实践、探究，注重自主活动，注重学习过程，能激发学生的主体意识，有利于创新精神与实践能力的培养。我认为一个好教师要善于使二类教学方法有机整合。 四、点评:（青浦区教师进修学院龚建荣）本课例通过创设情境尝试指导变式训练反馈调节归纳总结五个环节，激发了学生的主体意识，促进了学生的主动发展，使学生在获取知识的同时在能力方面也得到了进一步的提高，真正体现了以学生发展为本的理念。1创设情境，激发学生的动机从生活中的轴对称问题入手，通过学生动手操作、动脑联想，激发了学生探究的兴趣与欲望，一下子把课堂教学的气氛推向了高潮，为偶函数概念的引入及性质的探究创设了有效的学习情境。2在尝试指导活动中获取新知识数学教学是师生共同参与的学习过程，在这个过程中学生是活动的主体，教师的引导要为主体达到学习目标服务。通过学生的自主学习活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使他们在获取知识的同时体验过程，提高能力。本堂课的设计正是以这个原则为宗旨的。例如，导出偶函数的定义后，教师不是直接给出偶函数的性质，而是进一步引导学生带着问题去阅读、理解、观察、分析，使学生对偶函数的概念及性质不仅知其然，而且知其所以然。3通过变式训练，促进知识深化，提高应