医用高等数学定积分习题精讲

精选文库习 题 五习 题 五1. 由定积分的几何意义计算下列定积分（1）；（2）；（3）；（4）.1. 解：由定积分的几何意义（1）（2）（3）（4）2. 用定积分的定义，计算由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积.解：因为被积函数在上是连续的，故可积，从而积分值与区间的分割及点的取法无关. 为了便于计算，把区间分成等份，每个小区间的长度都等于，分点仍记为并取，得积分和令（此时各小区间的长度都趋于零，故），对上式取极限，由定积分的定义，得3. 判断下列式子是否一定正确（1）（其中）；（2）.3. 解：（1）不一定正确，这是因为题中未指明与的大小关系.当时，有；当时，有.（2）一定正确.由定积分的性质，已知，则4. 试比较下列各组积分值的大小，并说明理由（1）；（2）；（3）.4. 解：（1）当时，有，因此.（2）当时，有，因此5. 计算（1）；（2）.解：（1）根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质（2）同理6. 求的导函数解： 7. 计算下列定积分（1）；解：（1）（2）（3）（4）（5）=0（6）=2（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）8. 求函数在区间上的最大值与最小值.解：被积函数在上连续，因此可导. ，因此在上为增函数.将代入求得最小值为，最大值为.9. 试证（1）证明：令，则（2）证明：令，则（3）.证明：令，则10. 判断下列广义积分的收敛性，若收敛，则算出广义积分的值（1）解：收敛.（2）解：发散.（3）解：收敛.（4）发散（4）解：发散（5）解：收敛.（6）解：收敛.（7）解：收敛.（8）解：收敛.令，则（9）解：发散（10）解：收敛.11. 用抛物线线法计算的近似值（取，计算到小数点后三位）.解：简要步骤如下：（1）用分点，把区间等分，每个小区间的长度为并用表示函数在分点处的函数值，相应的曲线被分成段，曲线上的分点为.（2）将通过相邻三点的曲线段，分别用过该三点的抛物线的弧段代替. （3）计算各抛物线弧段下面的面积，设通过三点的抛物线方程为则曲线弧段下的面积为因为 即 且都在抛物线上，故它们的坐标都满足方程（5-13），即将它们代入上式，化简便得同理，可分别算出各抛物线弧段下面的面积为（4）将加起来，就得曲线梯形面积的近似计算公式12. 求由抛物线，直线及轴所围成图形的面积.解：所围成图形的面积13. 求由抛物线与轴所围成图形的面积.解：先求抛物线与轴交点，得.所围成图形的面积14. 求由曲线及直线所围成图形的面积.解：先求曲线及直线所围图形的交点，得，与.所围成图形的面积15. 求由曲线与直线所围成图形的面积.解：先求曲线与直线的交点，得，和所围成图形的面积分为两部分，图略.16. 求由抛物线及其在点和点处的切线所围成图形的面积.解：先求抛物线在点和点处的切线方程 ，从而两切线方程为和.再求抛物线和两切线方程，的交点为，和，图略.将所围图形的面积分为两部分17. 求下列曲线围成的图形绕指定轴旋转所产生的旋转体的体积.（1）绕轴；解：与所围的图形在第一象限，交点为和.所围图形绕轴旋转而成的旋转体体积为=.（2）绕轴；解：与所围的图形在第一象限，交点为和.所围图形绕轴旋转而成的旋转体体积为=.（3）（r，h0）及轴，绕轴；解：曲线与的交点为.所围图形绕轴旋转而成的旋转体体积为.（4）绕轴.解：将圆分成两部分，分别绕轴旋转，然后作差.则旋转体的体积为18. 弹簧所受压力与所压缩距离成正比，（为比例常数）. 今有一弹簧原长为，每压缩需力，若弹簧自压缩到时，问做功多少？（取）.解：由题意描述，计算比例常数.那么弹簧自压缩到时，压缩位移由20cm变为40cm，弹簧力做功为(J)19. 计算函数在区间上的平均值.解：函数在区间上的平均值为20. 血液在长为，半径为的血管中流动，血管横截面上距中心处为的流速(均为常数)，求在单位时间内通过该截面的血流量.解：单位时间内通过该横截面的血流量为21. 现有一名志愿受试者，口服一定剂量的某药后，测得血药浓度与时间的关系数据如习题表5-1.习题表5.1 c-t关系数据t（h）012510152030405000.652.003.554.053.603.202.001.200.75求在所测时间内的平均血药浓度（用梯形法）.解：先用梯形法求解，简要步骤如下：（1）采用如上分点，并且计算每个小区间的长度，同时用表示函数在分点处的函数值.（2）每个小曲边梯形的面积都用相应的小梯形面积来代替，这9个小梯形的面积分别为（3）曲边梯形