内蒙古赤峰市高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

内蒙古赤峰市2015届高三上学期期 末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）集合a=0，1，2，b=xz|x29，则ab=（）a1，2b0，1，2c1，2，3d0，1，2，32（5分）i是虚数单位，计算=（）a1b1cidi3（5分）若a、br则ab是a2b2的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分且必要条件d既不充分也不必要条件4（5分）设函数f（x）是定义在r上的奇函数，且满足f（3+x）=f（3x），当x（0，3）时，f（x）=2x，则f（5）=（）a2bc2d5（5分）某中学准备从2014-2015学年高一、2014-2015学年高二共2014名学生中选派50名学生参加冬令营活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样的方法从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在这2014名学生中，每个人入选的概率（）a都相等，且为b都相等，且为c均不相等d不全相等6（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的m=（）abcd7（5分）平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）abc4d128（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a16+8b8+8c16+16d8+169（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点m，n，若c2=a2+b2，则（o为坐标原点）等于（）a7b14c7d1410（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）（0）的图象关于直线x=对称，且f（）=0，则的最小值为（）a2b4c6d811（5分）已知中心在坐标原点的双曲线c与抛物线x2=2px（p0）有相同的焦点f，点a是两曲线的交点，且afy轴，则双曲线的离心率为（）ab+1c+1d12（5分）设函数f（x）=在上的最大值为2，则a的取值范围是（）a（，b二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若am=a1+a2+a3+a10，则m=14（5分）在锐角abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，abc的面积为3，b=4，c=3，则abc的外接圆的直径为15（5分）设实数x和y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为16（5分）设函数f（x）=|lgx|，ab0，f（a）=f（b），则的取值范围是三、解答题（共8小题，满分70分）17（12分）已知公差不为0的等差数列an的首项a1=2，成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=1，an=log2（bn+1bn），求数列bn的前n项和sn18（12分）在直三棱柱abca1b1c1中，ad平面a1bc，其垂足d落在直线a1b上（）求证：bca1b；（）若，ab=bc=2，p为ac的中点，求三棱锥pa1bc的体积19（12分）某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队（1）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在上的值域是，求k的取值范围22（10分）如图pa与圆o相切于点a，经过点o的割线pbc交圆o于点b、c，apc的平分线分别交ab、ac于点d、e（1）证明：ade=aed；（2）若oa=1，pc=pa，求pc的长23在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线c的极坐标方程式为=2，p是曲线c上的动点，a（2，0），m是线段ap的中点，曲线c1的极坐标方程为sin（）=m（）求点m轨迹c2的直角坐标方程；（）当曲线c1与曲线c2有两个公共点时，求实数m的取值范围24设函数f（x）=|xa|，ar（1）当a=1时，解不等式：f（x1）+f（1x）2；（2）若存在x，使得不等式f（xa）+f（x+a）1a成立，求a的取值范围内蒙古赤峰市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）集合a=0，1，2，b=xz|x29，则ab=（）a1，2b0，1，2c1，2，3d0，1，2，3考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出b中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出b，找出a与b的交集即可解答：解：由b中不等式解得：3x3，xz，即b=2，1，0，1，2，a=0，1，2，ab=0，1，2，故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）i是虚数单位，计算=（）a1b1cidi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：通过复数的分母实数化，即可得到结果解答：解：=i故选：c点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的分母实数化，是解题的关键3（5分）若a、br则ab是a2b2的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分且必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：不等式的解法及应用分析：通过举反例可得“a2b2”不能推出“ab”，由“a2b2”不能推出“ab”，从而得出结论解答：解：由“ab”不能推出“a2b2”，如a=1，b=1时，故充分性不成立由“a2b2”不能推出“ab”，如 22（3）2，不能推出23，故必要性不成立综上可得，“ab”是a2b2的既不充分也不必要条件，故选d点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题4（5分）设函数f（x）是定义在r上的奇函数，且满足f（3+x）=f（3x），当x（0，3）时，f（x）=2x，则f（5）=（）a2bc2d考点：函数奇偶性的性质 专题：综合题；函数的性质及应用分析：由已知函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f（3x），可知函数关于x=3对称且关于原点对称，进而可求出函数的周期，进而结合当x（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x（6，3）时，f（x）的解析式，即可得出结论解答：解：f（3+x）=f（3x）f（6+x）=f（x）又函数y=f（x）是定义在r上的奇函数f（x）=f（x）f（6+x）=f（x）=f（x）f（12+x）=f（x）则t=12是函数y=f（x）的一个周期设x（6，3）则x+6（0，3），f（x+6）=2x+6=f（x）=f（x）即f（x）=2x+6，f（5）=2故选：c点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的周期性，知识综合5（5分）某中学准备从2014-2015学年高一、2014-2015学年高二共2014名学生中选派50名学生参加冬令营活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样的方法从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在这2014名学生中，每个人入选的概率（）a都相等，且为b都相等，且为c均不相等d不全相等考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断每个人入选的概率是多少解答：解：根据简单随机抽样与系统抽样方法的特点，得；每个人入选的概率都相等，且等于=故选：b点评：本题考查了简单随机抽样与系统抽样方法的应用问题，也考查了概率的意义问题，是基础题目6（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的m=（）abcd考点：程序框图 专题：概率与统计分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出m的值解答：解：由程序框图知：第一次循环m=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环m=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环m=+=，a=，b=，n=4不满足条件n3，跳出循环体，输出m=故选：d点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法7（5分）平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）abc4d12考点：向量加减混合运算及其几何意义 分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方解答：解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，|a+2b|=故选：b点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定8（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a16+8b8+8c16+16d8+16考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，半圆柱的体积为：224=8；长方体的长宽高分别为4，2，2，长方体的体积为422=16，该几何体的体积为v=16+8故选：a点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目9（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点m，n，若c2=a2+b2，则（o为坐标原点）等于（）a7b14c7d14考点：直线与圆相交的性质；平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：由题意，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9组成方程组，消去y，得到x的一元二次方程，求得x1x2；同理，可求得y1y2；从而求出的值解答：解：设m（x1，y1），n（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c29b2）=0，x1x2=；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c29a2）=0，y1y2=；=x1x2+y1y2=7；故选a点评：本题通过平面向量数量积的坐标表示，考查了直线与圆组成方程组的问题，是常见的基础题10（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）（0）的图象关于直线x=对称，且f（）=0，则的最小值为（）a2b4c6d8考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题分析：求的最小值，由周期和的关系，需要求周期的最大值，对称轴与对称中心最近为周期，可求最大周期，从而求得最小的值解答：解：=，t=，=2故选a点评：注意利用数形结合，数形结合比较直观，一目了然，可求得对称轴与对称中心最近为周期11（5分）已知中心在坐标原点的双曲线c与抛物线x2=2px（p0）有相同的焦点f，点a是两曲线的交点，且afy轴，则双曲线的离心率为（）ab+1c+1d考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据afy轴可判断出|af|的值和a的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e解答：解：抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，p=2ca是它们的一个公共点，且af垂直y轴设a点的横坐标大于0|af|=p，a（p，）点a在双曲线上=1p=2c，b2=c2a2化简得：c46c2a2+a4=0e46e2+1=0e21e2=3+2，e=1+故选：b点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率12（5分）设函数f（x）=在上的最大值为2，则a的取值范围是（）a（，b考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：运用导数，判断函数在x0时f（x）的单调性，求得当x上的最大值为2； 欲使得函数f（x）在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围解答：解：由题意，当x0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f（x）=6x2+6x，解得函数f（x）在上导数为负，在（，1上导数为正，故函数f（x）在上的最大值为f（1）=2；要使函数f（x）=在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a2，解得a（，ln2）故选a点评：本题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若am=a1+a2+a3+a10，则m=46考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得am=d+2d+3d+4d+5d+6d+7d+8d+9d=45d=a46由此能求出m解答：解：在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，am=a1+a2+a3+.+a10，am=d+2d+3d+4d+5d+6d+7d+8d+9d=45d=a46m=46故答案为：46点评：本题考查实数m的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用14（5分）在锐角abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，abc的面积为3，b=4，c=3，则abc的外接圆的直径为考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由已知及三角形面积公式可解得sina，已知abc是锐角三角形，可得cosa=，由余弦定理可解得a，由正弦定理可得2r的值解答：解：由已知及三角形面积公式可得：3=，可解得：sina=，已知abc是锐角三角形，可得：cosa=，由余弦定理知：a2=b2+c22bccosa=16+912=13，可解得：a=，由正弦定理可得：2r=故答案为：点评：本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理的应用，属于基本知识的考查15（5分）设实数x和y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为14考点：简单线性规划 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的abc及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=4且y=2时，z=2x+3y取得最小值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，其中a（4，2），b（4，6），c（6，4）设z=f（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，当l经过点a时，目标函数z达到最大值z最小值=f（4，2）=14故答案为：14点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题16（5分）设函数f（x）=|lgx|，ab0，f（a）=f（b），则的取值范围是（0，1）考点：对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：根据函数解析式得出ab=1，b=，=1，a1，运用不等式性质求解即可解答：解：ab0，f（a）=f（b），a1，lga=lgb，ab=1，b=，则=1，a1，a2+12，01，1（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查了运用函数图象得出得出关系式，构造函数，利用不等式性质求解，属于中档题三、解答题（共8小题，满分70分）17（12分）已知公差不为0的等差数列an的首项a1=2，成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=1，an=log2（bn+1bn），求数列bn的前n项和sn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设等差数列an的公差为d0，由首项a1=2，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出（2）由an=log2（bn+1bn），化为bn+1bn=22n=4n，利用“累加求和”可得bn再利用等比数列的前n项和公式即可得出：数列bn的前n项和sn解答：解：（1）设等差数列an的公差为d0，首项a1=2，成等比数列，（2+d）2=2（2+3d），化为d22d=0，解得d=2an=2+2（n1）=2n（2）an=log2（bn+1bn），bn+1bn=22n=4n，bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b4b3）+（b3b2）+（b2b1）+b1=4n1+4n2+42+4+1=数列bn的前n项和sn=点评：本题考查了“累加求和”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）在直三棱柱abca1b1c1中，ad平面a1bc，其垂足d落在直线a1b上（）求证：bca1b；（）若，ab=bc=2，p为ac的中点，求三棱锥pa1bc的体积考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：证明题分析：（）欲证bca1b，可寻找线面垂直，而a1abc，adbc又aa1平面a1ab，ad平面a1ab，a1aad=a，根据线面垂直的判定定理可知bc平面a1ab，问题得证；（）根据直三棱柱的性质可知a1a面bpc，求三棱锥pa1bc的体积可转化成求三棱锥a1pbc的体积，先求出三角形pbc的面积，再根据体积公式解之即可解答：解：（）三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，a1a平面abc，又bc平面abc，a1abc （2分）ad平面a1bc，且bc平面a1bc，adbc又aa1平面a1ab，ad平面a1ab，a1aad=a，bc平面a1ab，（5分）又a1b平面a1bc，bca1b；（6分）（）在直三棱柱abca1b1c1中，a1aabad平面a1bc，其垂足d落在直线a1b上，ada1b在rtabd中，ab=bc=2，abd=60，在rtaba1中，（8分）由（）知bc平面a1ab，ab平面a1ab，从而bcab，p为ac的中点，（10分）=（12分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力19（12分）某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队（1）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2共15种情况，其中全来自甲队的有6种，则p=，所以所选取运动员中均来自甲队的概率点评：本题考查频率分布直方图及茎叶图知识，属基础题20（12分）已知椭圆e：=1（a0），过x轴上一点q（t，0），且斜率为k0的动直线l交椭圆e于a、b两点，a与a关于x轴对称，直线ba交x轴于点p，当t=0，k=时，|ab|=（1）求a；（2）若t0，则|op|oq|是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）当t=0，k=时，直线l的方程为：y=x，代入椭圆方程化为x2=，y2=，利用|ab|=，解得a（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），a（x1，y1），直线ba的方程为：，令y=0，解得xp，直线l的方程为：y=k（xt），与椭圆方程联立化为（1+2k2）x24k2tx+2k2t24=0，0，把根与系数的关系代入xp=，即可得出|op|oq|为定值解答：解：（1）当t=0，k=时，直线l的方程为：y=x，代入椭圆方程可得：=1，化为x2=，y2=，|ab|=，=4（x2+y2）=4，化为a2=4，a0，解得a=2（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），a（x1，y1），直线ba的方程为：，令y=0，解得xp=x2+=，直线l的方程为：y=k（xt），联立，化为（1+2k2）x24k2tx+2k2t24=0，0，x1+x2=，x1x2=xp=|op|oq|=4为定值点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得0及其根与系数的关系、定值问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）设函数f（x）=x2xlnx+2（1）求函数g（x）=f（x）的极值；（2）若存在区间上的值域是，求k的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）求f（x），从而得到g（x）=2xlnx1，求g（x），根据其符号即可得出g（x）的极值，并且是极小值为g（）=ln2；（2）由上面便知f（x）0，从而得出f（x）在上为增函数，从而便可得到，从而得到方程f（x）=kx有两个不同实数根，并且解出k=，可设h（x）=xlnx+，根据导数符号即可得到h（x）在解答：解：（1）g（x）=f（x）=2xlnx1，g（x）=；当x（0，）时，g（x）0；当x时，g（x）0；是g（x）的极小值；（2）由（1）知g（x）的极小值，也是最小值为ln20，即f（x）0；f（x）在（0，+）上单调递增；存在区间上的值域为；f（a）=ka，f（b）=kb，；方程x2xlnx+2=kx有两个不同实数根；解出k=，设h（x）=，x，则函数h（x）和函数y=k有两个不同交点；时，h（x）0，x（2，+）时，h（x）0；h（2）=3ln2是h（x）的极小值，也是最小值，又h（）=；k的取值范围为点评：考查函数极值的概念，以及求极值的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性定义的运用，方程的解和对应函数交点的关系，在求k范围时可结合图象22（10分）如图pa与圆o相切于点a，经过点o的割线pbc交圆o于点b、c，apc的平分线分别交ab、ac于点d、e（1）证明：ade=aed；（2）若oa=1，pc=pa，求pc的长考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：（1）由弦切角定理得bap=c，从而bap+apd=c+cpe，由此能证明ade=aed（2）由bap=c，apc=bpa，得apcbpa，从而，由此能求出pc=pb+bc=1+2=3解答：（1）证明：pa是切线，ab是弦，bap=c，又apd=cpe，bap+apd=c+cpe，ade=bap+apd，aed=c+cpe，ade=aed（2）解：由（1）知bap=c，又apc=bpa，apcbpa，=，pc=，bc是圆o的直径，bac=90，rtbac中，tanc=，c=30，abc=60，apc=30，oa=1，pc=pb+bc=1+2=3点评：本题考查两角相等的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、三角形相似、圆的性质等知识点的合理运用23在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线c的极坐标方程式为=2，p是曲线c上的动点，a（2，0），m是线段ap的中点，曲线c1的极坐标方程为sin（）