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3高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系 返回 一 高斯公式 二 斯托克斯公式 一 高斯公式 续偏导数 则 其中S取外侧 1 式称为高斯公式 这些结果相加便得到高斯公式 1 先设V是一个xy型区域 即其边界曲面S由曲面 证明其余两式 组成 图22 7 其中 于是按三重积分的计算方 法 有 从而得到 对于不是xy型区域的情形 一般可用有限个光滑 积为零 所以 曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论 例1计算 其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧 解应用高斯公式 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体 积的公式 例2计算 上侧 解由于曲面不是封闭的 不能直接应用高斯公式 为了能使用高斯公式以方便计算 可补充一块平面 闭曲面 于是 而 因此 设 二 斯托克斯公式 先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下 规定 设有人站在S上指定的一侧 若沿L行走 指 定的侧总在人的左方 则人前进的方向为边界线L 的正向 若沿L行走 指定的侧总在人的右方 则人 前进的方向为边界线L的负向 这个规定也称为右 手法则 如图22 9所示 定理22 4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连 续曲线 若函数P Q R在S 连同L 上连续 且有 一阶连续偏导数 则有斯托克斯公式如下 其中S的侧与L的方向按右手法则确定 证先证 其中曲面S由方程确定 它的正侧法线方 3 公式有 所以 所以 因为 将 3 4 5 三式相加 即得公式 2 光滑曲线把S分割为若干小块 使每一小块能用这 综合上述结果 便得到所要证明的 3 式 为了便于记忆 斯托克斯公式也常写成如下形式 种形式来表示 因而这时 2 式也能成立 与各坐标面的交线 取图22 8 所示的方向 解应用斯托克斯公式推得 车胎状的环形区域则是非单连通的 与平面曲线积分相仿 空间曲线积分与路线的无关 性也有下面相应的定理 不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点 例 如 两同心球面所界定的区域仍是单连通的 而形如 区域V称为单连通的 如果V内任一封闭曲线皆可 注上述之单连通 又称为 按曲面单连通 其意 义是 对于V内任一封闭曲线L 均能以L为边界 绷起一个位于V中的曲面 与路线无关 i 对于内任一按段光滑的封闭曲线L有 ii 对于内任一按段光滑的封闭曲线L 曲线积分 个条件是等价的 Q R在上连续 且有一阶连续偏导数 则以下四 例5验证曲线积分 与路线无关 并求被积表达式的原函数 这个定理的证明与定理21 12相仿 这里不重复了 在内处处成立 即 所以曲线积分与路线无关
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