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高中数学主干知识精讲平面向量(五) 第4页2020年1月17日星期五主干知识精讲-平面向量(五)精要1 向量的基本运算(1)向量的有关概念 向量既有大小又有方向的量、向量的长度(模)向量的大小、平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,并且规定零向量与任何向量均平行.相等向量长度相等且方向相同的向量.即意味着且的方向相同.注意:零向量与零向量是相等的向量.(2)向量运算 向量的运算遵守三角形法则、平行四边形法则.示例:如图,已知的两边、的中点分别为、,在的延长线上取点,使.在的延长线上取点,使.用向量方法证明:、三点共线.精要2 向量的坐标运算(1)已知,则,.(2)向量共线(平行)的充要条件(两种形式) 有且只有一个实数,使得;.向量共线也称向量平行,它与直线平行有区别.直线平行不包括共线(即重合)的情况,而向量平行则包括共线(重合)的情况.示例:平面内给定三个向量,回答下列问题:1) 若,求实数;2) 设,满足且,求.答案:1);2).精要3 平面向量的数量积(1)平面向量的数量积(2)平面向量数量积的重要性(3)两个向量垂直的充要条件.设,则示例:已知,当实数为何值时, 1)与平行; 2)与垂直.答案:1);2).(4)一些常用常考的公式 ; . 特别是及其变式应用最为广泛.示例:已知,求:1); 2); 3); 4).答案:1); 2); 3); 4).精要4 线段的定比分点及平移公式(1)的确定 当点在线段内时,称点为线段的内分点,此时,同向,且.当点在线段的延长线或反向延长线上时,称点为线段的外分点,此时,反向,且.(2)定比分点公式 设点分有向线段所成的比为,即,且,则,特别地,当时,既为中心点公式示例:已知点,求出下列情况,点分有向线段所成的比及点坐标: 1)点在上,且;2)点在的延长线上,; 3)点在的延长线上,.答案:1); 2); 3).(3)平移公式 在本章中的平移是“一步到位”的平移.注意平移变换只改变几何图形的位置,而不改变几何图形的形状、大小.在使用平移公式时,要注意: 点平移时,给定平移向量,由旧坐标求新坐标公式;由新坐标求旧坐标公式. 图形平移时,给定平移向量,由旧解析式求新解析式代入旧解析式中整理得到,由新解析式求旧解析式,用公式代入新解析式中整理得到. 平移体现了转化思想,在给定的坐标系中,通过图形的平移可以使复杂的函数解析式变得简单; 利用平移化简图形的函数解析式可用配方法、待定系数法、换元法等方法.示例:1)求函数的图象按向量平移后的图象的解析式;2)已知一个函数的图象按向量平移后图象的解析式为,求原来函数的解析式.答案:1); 2).(4)正、余弦定理及应用 判断三角形
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