（试题 试卷 真题）专题2：几何问题【93页】

专题2：几何问题一、选择题1. （2001江苏南通3分）下列命题：（1） 相似三角形周长的比等于对应高的比；（2） 顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形全等；（3） 若两圆相切，则这两个圆有3 条公切线；（4） 在O中，若弧AB+弧CD弧EF，则AB+CDEF，其中真命题的个数为【 】A、1个B、2个C、3个D、4个综上所述，真命题的个数为1个。故选A。2. （2001江苏苏州3分）已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连接各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；若所得四边形MNPQ为矩形，则ACBD；若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；若所得四边形MNPQ为矩形，则BAD=90；若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD。以上命题中，正确的是【 】A B C D3. （2001江苏泰州4分）某学校建一个喷泉水池，没计的底面半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面。现用的磨光机的磨头是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部分的面积为【 】。A. B. C. D. 4. （江苏省常州市2002年2分）半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比是【 】A. B. C. 3:2:1 D.1:2:35. （2002年江苏连云港3分）下面每个图片都是由6个大小相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是【 】6. （江苏省苏州市2002年3分）如图，O的内接ABC的外角ACE的平分线交O于点D。DFAC，垂足为F，DEBC，垂足为E。 给出下列4个结论： CE=CF，ACB=EDF ，DE是O的切线，。其中一定成立的是【 】A. B. C. D. 7. （江苏省无锡市2002年3分）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是【 】A1MN5 B1MN5 C D 【答案】D。【考点】三角形中位线定理，三角形三边关系。【分析】连接BD，过M作MGAB，连接NG。M是边AD的中点，AB=2，MGAB，MG是ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=2=1。N是BC的中点，BG=GD，CD=3，NG是BCD的中位线，NG=CD=3=。在MNG中，由三角形三边关系可知MGNGMNMGNG，即MN，。当MN=MGNG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，线段MN长的取值范围是。故选D。8. （2002江苏镇江3分）如图，正方形ABCD内接于O，E为 DC的中点，直线BE交O于点F，若O的半径为，则BF的长为【 】BF=BEEF=。故选C。9. （2002年江苏扬州3分）已知：点P到直线L的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则半径r的取值范围是【 】Ar1 Br2 C2r2 D1r1，且为整数)的正方体切成n3个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的 倍.42. （江苏省南京市2008年3分）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台43. （江苏省南通市2008年3分）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直接法计算三角形一边的长，并求出该边上的高方法2：补形法将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差方法3：分割法选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形现给出三点坐标：A（1，4），B（2，2），C（4，1），请你选择一种方法计算ABC的面积，你的答案是 44. （江苏省无锡市2008年2分）已知：如图，边长为的正ABC内有一边长为的内接正DEF，则AEF的内切圆半径为 45. （2008年江苏盐城3分）如图，O的半径为3cm，B为O外一点，OB交O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止当点P运动的时间为 s时，BP与O相切46. （2009年江苏省3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为 cm2【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，EF是梯形ABCD的中位线，DEF的高为 。DEF的面积为，。梯形ABCD的面积为。47. （2010年江苏宿迁3分）数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形这样的三角形最多能画 个48. （江苏省泰州市2010年3分）如图O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角 49. （2011年江苏连云港3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角长为_ 50. (江苏省无锡市2011年2分)如图，以原点O为圆心的圆交X轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内O上的一点，若DAB=20，则OCD= 【答案】65。【考点】圆周角定理。【分析】根据同(等)弧所对圆周角相等的性质，直接得出结果: 设O交y轴的负半轴于点E, 连接AE，则圆周角 OCD 圆周角DAE DABBAE ，易知BAE所对弧的圆心角为900，故BAE450。从而OCD200450650。51. （2011年江苏徐州3分）已知O 半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则O 上有且只有 个点到直线AB的距离为3。来源:Zxxk.Com52. （2011江苏镇江2分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 。53. （2012江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是 49. （2013年江苏徐州3分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为 cm250. （2013年江苏扬州3分）如图，已知O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且MEB=NFB=60，则EM+FN= 三、解答题1. （2001江苏南京11分）（1）如图1，已知A点坐标为（0，3），A的半径为1，点B在x轴上。若B点坐标为（4，0），B的半径为3，试判断A与B的位置关系；若B过点M（2，0），且与A相切，求B点坐标。（2）如图2，点A在y轴上，A在x轴的上方。问：能否在x轴的正半轴上确定一点B，使B与y轴相切，并且与A外切，为什么？2. （2001江苏南通11分）如图，已知ABC内接于O，点E在弧BC上，AE交BC于点D，EB2EDEA，经过B，C两点的圆弧交AE于点I。（1） 求证：ABEBDE；（2） 如果BI平分ABC，求证：；（3） 设O的半径为5，BC8，BDE450，求AD的长。3. （2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CEAB，垂足为E连接BD，交CE于点F。（1）当点C为的中点时（如图1），求证：CF=EF；（2）当点C不是 的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。【分析】（1）由题意得DAAB，点E为半圆的圆心，DCEC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出 ，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，DAC=DCA，由角度代换关系可得出DGC=DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CEAP，所以 ，即可知CF=EF。4. （2001江苏泰州10分）如图，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任一点，BP的延长线交O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ。（1）求证：RQ是O的切线；（2）求证：；（3）当RAOA时，试确定B的范围。R是OA延长线上的点，R与A不重合。B45。又RAOA，B45。15B45。【考点】圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）要证明RQ是O的切线只要证明OQR=90即可。（2）延长AO交O于点C，连接BC，AQ，证明BCPAQP，从而得到PBPQ=PCPA，整理即可得到。（3）分别考虑当RA=OA时或与A重合时，B的度数，从而确定其取值范围。5. （2001江苏无锡10分）如图，已知梯形ABCD中，ADBC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE，（1）如果CEAB，AB=CD，BE=3AE，求B的度数；（2）设BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求 的值为60。（2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比。6. （2001年江苏徐州8分）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示。在平面内找点P，使PAB、PBC、PCD、PDA同时为等腰三角形，这样的点P有几个？作出这些点（保留作图痕迹，不写作法），并写出它们的坐标（不必写出解答过程）。 由正方形的边长为2，等边三角形的高为，可求得各点坐标。7. （2001年江苏盐城11分）如图，已知：PA切于O于A，割线PBC交O于B，C，PDAB于D，延长PD交AO的延长线于E，连结CE并延长交O于F，连结AF.（1）求证：PDPE=PBPC；（2）求证：PEAF；（3）连AC，若AE：AC=1：，AB=2，求EF的长.联立，有。AE：AC=1：，AB=2，。8. （2002年江苏淮安10分）设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形以B为圆心，BD长为半径的B与AB相交于F点，延长EB交B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD求证：（1）AD是B的切线；（2）AD=AQ；（3）BC2=CFEG9. （2002年江苏连云港10分）已知：如图1，PA切O于A点，割线PCB交O于C、B两点，D是线段BP上一点，且P，直线AD交O于E点。（1）求证：AD平分BAC；（2）求证：；（3）若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”（如图2），则题（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。10. （江苏省苏州市2002年7分）已知：与外切于点，过点的直线分别交、于点、，的切线交于点、，为的弦， （1）如图（1），设弦交于点，求证：；（2）如图（2），当弦绕点旋转，弦的延长线交直线B于点时，试问：是否仍然成立？证明你的结论。（2）同（1）可以证明。11. （江苏省泰州市2002年12分）已知：如图，O和O相交于A、B两点，AC是O的切线，交O于C点，连结CB并延长交O于点F，D为O上一点，且DABC，连结DB交延长交O于点E。（1）求证：DA是O的切线；（2）求证：；（3）若BF4，CA，求DE的长。12. （2002年江苏盐城11分） 已知：如图，在直角三角形ABC中，BAC= 900，AB= AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若FGE= 450，（1）求证：BDBC= BGBE；（2）求证：AGBE；（3）若E为AC的中点，求EFFD的值。【考点】等腰直角三角形的性质，相似、全等三角形的判定和性质，平行的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）根据题意，易证GBDCBE，得，即BDBC=BGBE。（2）可通过证明ABGEBA从而求得AGBE。（3）连接DE，E是AC中点，D是BC中点，得出DEBA，因为BAAC，所以 DEAC。设AB=2a ，AE=a，作CHBE交BE的延长线于H，再利用AEGCEH，以及DEFBHC得出即可。13. （江苏省南京市2003年9分）如图O与O相交于A、B两点，点O在O上，O的弦OC交AB于点D 求证：OAOCOD； 如果ACBCOC，O的半径为r求证：AB14. （江苏省泰州市2003年10分）已知：如图，O与O1内切于点A，AO是O1的直径，O的弦AC交O1于点B，弦DF经过点B且垂直于OC，垂足为点E.求证：DF与O1相切.（3分）求证：2AB2=ADAF.（3分）若AB=，cosDBA=，求AF和AD的长.（4分） 弧，CAF=BFC。ACFFCB。CF2=CBCA=2AB2=40。 CF=。，即，。15. （2003年江苏盐城11分）如图，已知CA、CB都经过点C，AC是B的切线，B交AB于点D，连接CD并延长交OA于点E，连接AF（1）求证：AEAB；（2）求证：DEDC=2ADDB；（3）如果，AE=3，求BC的长 ，即。 DEDC=2ADDB。16. （2004年江苏扬州12分）如图，AB是半圆O的直径，ACAB，AB=2AC，BFAB，在直径AB上任取一点P（不与端点A、B重合），过A、P、C三点的圆与O相交于除点A以外的另一点D，连接AD并延长交射线BF于点E，连接DB、DP、DC（1）求证：ACDBPD；（2）求证：BE=2BP；（3）试问当点P在何位置时，DE=2AD【答案】解：（1）证明：四边形APDC是小圆的内接四边形，BPD=C。CAAB，EBAB，CABE。CAD=DEB。DEB+DBE=DBP+DBE=90，DBP=BEB=CAD。ACDBPD。（2）证明：由（1）知BED=DBP,ADB=ABE，ADBABE。来源:学|科|网17.（江苏省南通市大纲卷2006年10分）已知：如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG（1）求证：BCEDCF；（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GEGB=42，求正方形ABCD的面积因为已知中有直角，根据勾股定理，结合已知条件，列出方程，求出答案。18. （2006年江苏盐城10分）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是O的切线；（3）若FB=FE=2，求O的半径19. （2007年江苏淮安10分）某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离实验工具：3米长的卷尺；铅垂线（一端系着圆锥型铁块的细线）实验步骤：第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长实验数据： 线段ABCDADEFBF长度（米）2.5问：（1）根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离（精确到0.1米）；来源:Z*xx*k.Com（2）假定你是该小组成员，请你用一句话谈谈本次实践活动的感受20. （江苏省南京市2007年7分）已知直线及外一点，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹（1）在图1中，只用圆规在直线上画出两点，使得点是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线外画出一点，使得点所在直线与直线平行21. （江苏省苏州市2007年8分）如图，BC是O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4P为AB上一点，过P作PEAB分别BC、OA于E、F (1)设AP=1，求OEF的面积 (2)设AP=a (0a2)，APF、OEF的面积分别记为S1、S2。若S1=S2，求a的值；若S= S1+S2，是否存在一个实数a，使S?若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由【分析】(1)根据已知条件，证出APF、OEF与OAB均为等腰直角三角形即易求出OEF的面积。 （2）由S1=S2列出方程，解之即可。 求出S关于的函数关系式，由二次函数的最值求出S的最小值，与比较即可。22. （2007年江苏宿迁12分）如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD,BC=BE,F、G、H分别是DC、CE、AB的中点。求证：（1）HF=HG；（2）FHG=DAC23. （2007年江苏盐城12分）操作：如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图画出一对以点O为对称中心的全等三角形根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，BAE=EDF，CFAB若AB=5，CF=1，求DF的长度ABEMCE（AAS）。AB=MC。又BAE=EAF，M=EAF。MF=AF。又MC=MF+CF，AB=AF+CF。（3）分别延长DE、CF交于点G。ABCF，B=C，BAE=G。ABEGCE。又，。AB=5，GC=10。FC=1，GF=9。ABCF，BAE=G。又BAE=EDF，G=EDF。GF=DF。DF=9。【考点】作图（复杂作图），全等三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。24. （2008年江苏连云港12分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由25. （江苏省南通市2008年10分）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由角线长比较即可。（2）根据和，联立求解即可。26. （江苏省无锡市2008年8分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则， ，27. （2010年江苏连云港10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；（2）如图1，梯形ABCD中，ABDC，如果延长DC到E，使CEAB，连接AE，那么有S梯形ABCDSABE请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，SADCSABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由【答案】解：（1）中线所在的直线。（2）连接BE，（2）设AE与BC相交于点F观察图形可知，要证明S梯形ABCDSABE，就是要证明除去两个三角形公共部分外的两个小三角形ABF和CEF的面积相同。连接线段BE，ABC和AEC同底等高面积相等，再同时减去公共部分面积，即可说明ABF和CEF的面积相同。同化与（1）可知，梯形ABCD的面积等分线即为ADE的面积等分线，故只要作出ADE的B