（试题 试卷 真题）一次方程组

学科：奥数教学内容：一次方程组【内容综述】二元及多元（二元以上）一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决，所以，解一次方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种。竞赛中的方程组问题常有题型新、含有参量、与实际问题相联系等特点，要求我们除熟练掌握课本中的二元一次方程组基本解法外，还要掌握更多技巧，提高应变能力。【要点讲解】1、常系数一次方程组解常系数一次方程组，应仔细观察方程组的具体特点，灵活地采用各种方法和技巧，使解法简捷明快。例1 若满足方程组试确定的值。分析 本例所求只与有关，故只需从原方程组中解出即可。解 将至五个方程相加，并除以6得 由，分别减去，得所以， 例2 解方程组分析 由于已知方程组中x、y、z的系数及常数项的数值较大，若用习惯的代入法、消元法来解，工作量较大，容易出现运算错误。仔细观察系数与常数项的特点，不难发现如下关系。，用字母表示常数解此题，将会减少运算量。解 令，则原方程组变形为由+并化简得 得-得；-得；将代入得例3解方程组解法1 +2得 代入得所以 为原方程组的解。解法2 令 ，则原方程组化为解得 ，即为原方程组的解。说明 解法1 称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式，如 等）；解法2 称为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程。2、含有参量的一次方程组与含有参量的一元一次方程一样，含有参量的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零。例4 当为何值时 有唯一解？没有解？有无穷多个解？思路 只须对进行讨论。为此先把方程组转化为关于的一元一次方程。解 由，消去y，得 当时，方程有唯一解;当时,方程无解;当时，方程有无穷多个解。故当时，原方程组有唯一解；当，且时，原方程组无解；当且时，原方程组有无穷多个解。例5 已知关于x，y的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解。分析 解题的关键在于公共解与的取值无关。解法1 由于公共解与的取值无关，所以可分别令代入原方程得到一个方程组解之得将代入原方程得 。所以对任何值都是原方程的解。解法2 可将原方程变形为。由于公共解与无关，故有解之得公共解为3、含有绝对值符号的一次方程组。如果方程组中某一个或两个方程含有绝对值符号，在解这类方程组时，要象解含有绝对值符号的一元一次方程那样，先根据绝对值的意义，去掉绝对值符号后再解。例6 解方程组分析 若逐一讨论绝对值，情况较多，抓住的特点：（1）。（2）可简化讨论，解 （1）若，则原方程组为得，矛盾。（2）若，则原方程组为或 分别解得从而有4个解 【能力训练】A级1、已知满足，那么m的值为（ ）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）32、已知三角形的三边长，b，c满足则三角形一定是（ ）（A）正三角形 （B）直角三角形（C）钝角三角形 （D）非等腰三解形3、小莉写出三个有理数，其中每两个有理数的平均值分别是7，那么这三个有理数的平均值是_。4、已知，且则=_5、已知关于的方程组分别求出当为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解。B级6、若，则的值为（ ）。（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-27、如果用表示大于的最小整数，如表示不大于的最大整数，如 ，那么方程组的解是（ ）。（A）（B）（C）（D）8、若，则=_。9、已知满足方程组则_。10、已知方程组有解，试求k的值【能力训练】A 级1、（C）提示：已知表明，是方程组的解。2、（A）提示：由原方程组得，有a-b=0，进而有。3、提示：利用平均值定义。4、 提示：视为未知数，为常数，解得x=4z，y=-3z。5、由得 将代入得 当时，原方程组有唯一解；当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)0时,原方程组无解；当时，原方程有无穷多组解。B级6、（A）提示：利用绝对值的非负性可得。7、（