2.4.1逆变换与逆矩阵 (2).doc

镇江实验高级中学高中数学教案(选修4 - 2)【矩阵与变换】2.4.1逆变换与逆矩阵教学目标：1、知识与技能：理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件。理解逆矩阵的唯一性和 (AB)-1B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵。会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。2、过程与方法：通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵的条件；通过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.3、情感态度与价值观：使用通俗的语言和丰富有趣的实例来循序渐进地展开教学内容，以此来激发学生的学习兴趣；通过设置思考与探究，来给学生创设思考与探究的空间.重点难点：1、教学重点：逆矩阵及其求法。2、教学难点：逆矩阵的求法。教学方法：自主合作探究教具准备：多媒体设备教学过程：问题探究、引入概念【情境】我们知道二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点P(x,y)变换到点P(x，y).反过来，如果已知变换后的结果P(x，y)，能不能“找到回家的路（逆变换）”，让它变回到原来的点P(x,y)呢？从变换的结果来看，虽然经历“走过去”又“走过来”的两次变换，但是最终还是回到原地，变回为“自己”.由于每个矩阵对应着一个几何变换，这两次连续的变换却又对应着两个矩阵的积，于是，上面的问题就变成了已经知道了矩阵A，我们能否找到一个矩阵B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同.【引入例】对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换的结果相同？以x轴为反射轴作反射变换；绕原点逆时针旋转60；横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；沿y轴方向，向x轴作投影变换；纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x,y)(x+2y,y)的切变变换；解：对于反射变换TA，满足条件的变换就是它自身，即BA.对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，B为绕原点顺时针旋转60的变换矩阵.对于伸压变换TA，存在变换TB，它对应着使平面内的点保持横坐标不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的1/2的变换矩阵B.对于投影变换TA，不存在满足条件的变换矩阵B.对于切变变换TA，存在切变变换TB，它对应着使得平面内的点保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x,y)(x2y,y)的变换矩阵B.合作学习、形成概念【逆矩阵的定义】对于二阶矩阵A，B，若ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.【说明】当一个矩阵A表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。B为A的逆矩阵，则A也是B的逆矩阵；若A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，记为A1.假设B1，B2都是A的逆矩阵，则AB1B1AE，AB2B2AE，所以B1EB1(B2A)B1B2(AB1)B2EB2【思考】M的逆矩阵M1和函数y=f(x)的反函数y=f1(x)有什么异同？MM1M1ME，f1f(x)x，f f1 (x)x.【若A可逆，则求A1的方法】几何变换：待定系数法：若则A1.若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.【证明】由于二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，它们分别为A1，B1，故AA1A1AE，BB1B1BE(AB)(B1A1)A(BB1)A1AEA1AA1E，(B1A1) (AB)B1(A1A)BB1EBB1BE，因此，(AB)1B1A1.若A，B，C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵，则BC.【证明】因为矩阵A存在逆矩阵，故AA1E，于是BEB(A1A)BA1(AB)A1(AC)(A1A)CC【思考】如果二阶矩阵A存在逆矩阵，且BACA，那么BC成立吗？成立，证明同上学以致用、深化概念【例1】用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.；.【分析】矩阵A是反射变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵B为伸压变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵C是旋转变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵D是投影变换矩阵，它不存在逆矩阵.【评析】：【例2】求矩阵的逆矩阵.【分析】（待定系数法），设，利用AA1E得到关于x,y,z,w的方程组，求解即得。【评析】：【例3】求解矩阵AB的逆矩阵；.【分析】【例4】已知变换，试将它写成坐标变换的形式；已知变换，试将它写成矩阵乘法的形式.【解】自主探究、巩固概念 总结反思、提高认识1.对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.【说明】B为A的逆矩阵，则A也为B的逆矩阵.若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则A的逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A1_，且A1B.当一个矩阵表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。2.求二阶矩阵A的