2015届高考理科数学一轮-第九章-计数原理、概率复习题及答案解析9.8二项分布及其应用.doc

第8课时二项分布及其应用1了解条件概率和两个事件相互独立的概念2理解n次独立重复试验的模型及二项分布3能解决一些简单的实际问题对应学生用书P184【梳理自测】一、条件概率1(教材改编)已知P(AB)，P(A)，则P(B|A)_.2把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A.B.C. D.答案：1.2.A以上题目主要考查了以下内容：(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).(2)条件概率具有的性质：0P(B|A)1；如果B和C是两互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)二、相互独立事件1在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是()A. B.C. D. w W w .x K b 1.c o M2每次试验的成功率为p(0p1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为()ACp3(1p)7 BCp3(1p)3Cp3(1p)7 Dp7(1p)3答案：1.C2.C以上题目主要考查了以下内容：(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立三、二项分布1如果XB，则使P(Xk)取最大值的k值为()A3 B4C5 D3或42设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出2红球的概率为_答案：1.D2.以上题目主要考查了以下内容：(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为Cpk(1p)nk(0kn)(p为事件A发生的概率)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为二项分布，记为XB(n，p)【指点迷津】1一个区别互斥事件与独立事件的区别“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响2二种算法计算条件概率有两种方法(1)利用定义P(B|A)；(2)若n(A)表示试验中事件A包含的基本事件的个数，则P(B|A).对应学生用书P185考向一条件概率(2014山东聊城模拟)某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，两次闭合都出现红灯的概率为.求在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率【审题视点】第一次闭合出现红灯为条件，两次都闭合出现红灯为积事件【典例精讲】“第一次闭合后出现红灯”记为事件A，“第二次闭合后出现红灯”记为事件B，则P(A)，P(AB).P(B|A).【类题通法】(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A) .(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).1从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.B.C. D.解析：选B.P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|A).考向二相互独立事件的概率健康、低碳成为现代人的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲，乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率【审题视点】甲、乙两人租车费用分别为0、2、4，分六类情况，利用独立事件和互斥事件求和【典例精讲】(1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则P(A)1，P(B)1.答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、.(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则P(C).答：两人所付的租车费用之和小于6元的概率是.【类题通法】1.当从意义上不易判定两事件是否相互独立时，可运用公式P(AB)P(A)P(B)计算判定求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立若能把复杂事件分解为若干简单事件，同时注意运用对立事件可把问题简化2由两个事件相互独立的定义，可推广到三个或三个以上相互独立事件的概率计算公式，即若A1，A2，An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)2(2014江苏盐城模拟)如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_解析：理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，之间彼此独立，且P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P()P(C).答案：考向三独立重复试验与二项分布(2013高考四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，24这24个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1,2,3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001 051696353当n2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望【审题视点】(1)运行程序框图，分别数出输出y的值为1,2,3的数的个数，即事件包含的基本事件个数，利用古典概型公式求解(2)利用已知条件中频数统计表得出各小组频数，利用频率公式得频率，再与(1)的结论比较，得出结论(3)利用独立重复试验概率公式P(i)Cpi(1p)ni(0in)求出分布列，再用期望公式求解【典例精讲】(1)变量x是在1,2,3，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3.所以输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.(2)当n2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(3)随机变量可能的取值为0,1,2,3.P(0)C03，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C30.故的分布列为0123P所以E01231.即的数学期望为1.【类题通法】(1)独立重复试验的特点每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生；任何一次试验中事件发生的概率都是一样的(2)二项分布满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数3(2014浙江绍兴模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数求的分布列和数学期望解析：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0,1,2.依题意有P(A1)2，P(A2)，P(B0)，P(B1)2.所求的概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2).(2)的可能值为0,1,2,3，且B.P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.的分布列为0123P数学期望E3.对应学生用书P187(2014洛阳市统考)随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建成公共自行车租赁系统某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟至120分钟(含120分钟)收取1元租车服务费，120分钟至180分钟(含180分钟)收取2元租车服务费，180分钟以上的时间按每小时3元计费(不足1小时的按1小时计)，租车费用实行分段合计现有甲、乙两人相互独立到租车点租车上班(各租一车一次)，设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为，1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲一周内有四天(每天租车一次)均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望【审题视点】不同的时间段，租车费用不同，发生的概率不同，甲、乙二人各人独立，又分4种不同的情况，故分类之中有分步，互斥中有独立【思维流程】用独立事件分别计算两人都付0元，1元，3元，6元的概率用互斥事件求概率之和求甲每天所付车费不超过2元的概率由重应重复试验分别计算四天中分别有0,1,2,3,4天的概率写分布列，计算期望值【解答过程】(1)甲、乙两人租车费用相同包括0元，1元，3元，6元，1分两人都付0元的概率为P1，2分两人都付1元的概率为P2，3分两人都付3元的概率为P3，4分两人都付6元的概率为P4(1)(1)，5分则甲、乙两人所付租车费用相同的概率为PP1P2P3P4.6分发(2)依题意，甲每天租车费用不超过2元的概率为P.则P(X0)C()0()4，P(X1)C()1()3，P(X2)C()2()2，P(X3)C()3，P(X4)C()4()0，9分http:/www .xkb1. comX的分布列为X01234P11分X的数学期望为E(X)2343.12分【规范建议】(1)第一问中，由于总费用采取分段合计，不会出现2元现象，容易漏掉6元现象，即P4的计算(2)甲每天租车费用不超过2元，包含“不超过1小时”与“1小时以上且不超过2小时”两种情况是互斥事件，不是独立(3)4天之内发生的天数XB(4，)，其EX43.1(2013高考广东卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率解析：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”则AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”，则BB3B1B2B1.P(B)P(B3B1B2B1)P(B3)P(B1B2)P(B1)P()P(B3)P(B1)P(B2)P()P(B1)P().X K b1.Co m2(2013高考全国新课标卷)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X