三角形总复习主要全等部分.docx

三角形总复习 1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知中，于D，E是AD上一点。 求证： 证明：由ADBC于D，可得CADABC 又 则 可证 即 说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180间接求得。 2. 三角形三边关系的应用 例2. 已知：如图2，在中，AM是BC边的中线。 求证： 证明：延长AM到D，使MDAM，连接BD 在和中， 在中，而 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中线的方法，相当于将绕点旋转180构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。 3. 角平分线定理的应用 例3. 如图3，BC90，M是BC的中点，DM平分ADC。 求证：AM平分DAB。 证明：过M作MGAD于G，DM平分ADC，MCDC，MGAD MCMG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等） MCMB，MGMB 而MGAD，MBAB M在ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） DM平分ADC 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MGMB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 全等三角形的应用 （1）构造全等三角形解决问题 例4. 已知如图4，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角（BDC）为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：的周长等于2。 分析：欲证的周长等于2，需证明它等于等边的两边的长，只需证。采用旋转构造全等的方法来解决。 证明：以点D为旋转中心，将顺时针旋转120，点B落在点C的位置，点M落在M点的位置。 得：MBDNCD90 NCD与DCM构成平角，且BMCM，DMDM，NDMNDCCDMNDCBDM1206060 在和中， 的周长 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。 （2）“全等三角形”在综合题中的应用 例5. 如图5，已知：点C是FAE的平分线AC上一点，CEAE，CFAF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB21，AD9，BCDC10。求AC的长。 分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。 解：AC平分FAE，CFAF，CEAE CFCE BEDF 设，则 在中， 在中， 答：AC的长为17。5、中考点拨 例1. 如图，在中，已知B和C的平分线相交于点F，过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E，若BDCE9，则线段DE的长为（ ） A. 9B. 8C. 7D. 6 分析：初看此题，看到DEDFFE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BDCE9”，就应想一想，DFFE是否与BDCE相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DFFE也就是DE的长了。 解：BF是B的平分线 DBFCBF 又DEBC DFBCBF BDFDFB DFBD 同理，FECE DFFEBDCE9 即DE9 故选A6、题型展示 例1. 已知：如图6，中，ABAC，ACB90，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，。 求证：BD平分ABC 分析：要证ABDCBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。 简证：延长AE交BC的延长线于F 易证（ASA或AAS） 于是又不难证得 BD平分BAC 说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。 例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PBAB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件ADBD，DBPDBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问BPD为多少度时，才能达到上述要求？ 分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D为正内一点，P为正外一点，PBAB，ADBD，DBPDBC，求BPD？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。 解：连CD 又 ，即时，才能达到要求。例3.有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图1，将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移如图2，设平移的长度为xcm（0x10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2 （1）当x=0时（如图），S=_；当x=10时，S=_； （2）当0x4时（如图2），求S关于x的函数关系式； （3）当4x10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值（同学可在图3、图4中画草图） . 解析：（1）2；2 （2）在RtADG中，A=45， DG=AD=x 同理EF=AE=x+2， S梯形DEGF=（x+x+2）2=2x+2， S=2x+2 （3）当4x6时， GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x， 则SADG=x2，SBEF=（10-x）2， 而SABC=126=36， S=36-x2-（10-x）2=-x2+10x-14， S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11，当x=5（456）时，S最大值=11 当6x10时（如图6）， BD=BG=12-x，BE=EF=10-x， S=（12-x+10-x）2=22-2x， S随x的增大而减小，所以S10 由、可得，当4x10时，S最大值=11同理， 则有，即，得，所以，当秒时，能使得。 【实战模拟】 1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为_。 2. 在锐角中，高AD和BE交于H点，且BHAC，则ABC_。 3. 如图所示，D是的ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较BAC与B的大小关系。 4. 如图所示，ABAC，BAC90，M是AC中点，AEBM。 求证：AMBCMD 5. 设三个正数a、b、c满足，求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长。【试题答案】 1. 5cm 2. 45 3. 分析：如图所示，BAC是的外角，所以 因为12，所以BAC2 又因为2是的外角，所以2B，问题得证。 答：BACB CD平分ACE，12 BAC1，BAC2 2B，BACB 4. 证明一：过点C作CFAC交AD的延长线于F 又BACACF90 ACAB 又AMMC，MCCF 又3445，CDCD 证明二：过点A作AN平分BAC交BM于N 又AN平分BAC 又ABAC 又 AMCM 说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。 5. 证明：由已知得： 即 是某一三角形三边的长。全等三角形证明经典题1. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2ABCDEF21证明：连接BF和EF。因为 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,CBF=DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以 EBF=BEF。又因为 ABC=AED。所以 ABE=AEB。所以 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。所以 三角形ABF和三角形AEF全等。所以 BAF=EAF (1=2)。BACDF21E2. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC证明：过E点，作EG/AC，交AD延长线于G则DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEF/ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC3. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2CACDB证明：在AC上截取AE=AB，连接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CECE=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C4. 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.ABE=FBE,BE=BE,则ABEFBE(SAS),EFB=A;AB平行于CD,则:A+D=180;又EFB+EFC=180,则EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.DCBAFE5.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求证：F=CAB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB，所以:C=F6.已知：AB=CD，A=D，求证：B=CABCD证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.7（5分）如图，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B为垂足，AB交OM于点N求证：OAB=OBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且MOA=MOB所以MA=MB所以MAB=MBA因为OAM=OBM=90度所以OAB=90-MAB OBA=90-MBA所以OAB=OBA8（5分）如图，已知ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D求证：AD+BC=AB证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，PA/BCPAB+CBA=180，又，AE，BE均为PAB和CBA的角平分线EAB+EBA=90AEB=90，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AEBF，且AE为FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB，三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC9（7分）如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE证明：延长BA、CE，两线相交于点F BECE BEF=BEC=90 在BEF和BEC中 FBE=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+ADB=90,ACF+CDE=90 又ADB=CDE ABD=ACF 在ABD和ACF中 ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90 ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE10、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。求证：AM是ABC的中线。证明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中线.11、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。因为AB=DCAE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE12.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BECF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证：AB平行CD（已知）B=C（两直线平行，内错角相等）M在BC的中点（已知）EM=FM（中点定义）在BME和CMF中 BE=CF（已知） B=C（已证） EM=FM（已证）BME全等与CMF（SAS）EMB=FMC（全等三角形的对应角相等）EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180（等式的性质）E，M，F在同一直线上13已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF 求证：ABECDF证明：AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CFBE/DFBEA=DFC又BE=DF ABECDF（SAS）DBCcAFE14.已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF。 连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：ADEABF得AE=AF15如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 因为1=2, 3=4所以ADC=ABC.又因为AC是公共边，所以AAS=ADCABC.所以BC=DC， 3=4, EC=ECDECBEC所以5=616已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以A+EDF，BCA=F（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等17.如图，给出五个等量关系： 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明ABC已知：求证：证明：已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以ADB全等于BCA所以角D=角C以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD中，D=C，A=B，求证：AD=BC因为 A+B+C+D=360D=C，A=B，所以 2(A+D)=360， A+D=180，所以 AB/DC 18在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕