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第三章 导数与微分 第五讲第五讲 微分及其应用授课题目：第六节 微分及其应用教学目的与要求：1.理解微分的概念和微分的几何意义2.会求函数的微分3.会利用函数的微分进行近似计算4.理解微分形式不变性教学重点与难点： 重点：函数的微分 难点：函数微分的定义讲授内容：第六节 微分及其应用一、微分的定义与几何意义 讨论当自变量有微小变化时，函数大体上的变化情况。 引例： 边长为的正方形铁片，其面积函数为，假定它在受热而膨胀，边长增加，这时面积的增加量为 从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分是比高阶的无穷小。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可用第一部分来代替，此时误差也很小（误差仅为）。1、定义 设函数在某区间内有定义，及在此区间内，如果函数的增量 可表示为 其中是不依赖的常数，那么称函数在点点可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即 注：(1) 微分依赖于函数，点及自变量的改变量；(2) 微分是的线性函数可以证明：证明 （1）可微一定可导若在x点可微，则等式两边取时的极限，有：即极限存在且等于A，而由导数定义，此极限就是：，可微一定可导（2）可导一定可微若在x点可导，则，其中 这里是一个关于的高阶无穷小量，可将由微分定义，可知在x点可微，且综上所述，对一元函数而言，函数的可微性与可导性是等价的，且有。2、可微与可导关系结论 在点处可微在点处可导，且，由此。 主部的定义即是的主部，因而又因是的线性函数，所以在的条件下，就说是的线性主部 （当）。通常将自变量的增量称为自变量的微分，记作，即，于是，函数的微分又记为 从而有 函数的微分与自变量的微分的商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”。3、微分的几何意义 函数的图形是一条曲线，）TNMP 函数是可微的，当是曲线的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的增量切线段近似代替曲线段。因而，二、微分运算法则我们把自变量的微分定义为自变量的改变量，因此可导函数在任一点的微分可写成 1、基本微分公式： 2、微分运算法则设及都是关于的可导函数，则有： （其中为常数） 例3 求函数在点x=0与x=1处的微分。例4 求函数当和时的微分解 ，所以 3、复合函数的微分法则设，且函数在处可导，函数在相应的点处可导，则 ，由于，故 注意到当是自变量时，函数的微分也具有上述形式，因此，不管是自变量还是因变量，上式的右端总表示函数的微分，这一性质称为微分形式不变性。例5 设，求dy例6 设，求dy例7 求由方程所确定的隐函数的微分三、微分在近似计算中的应用利用为微分可以把一些复杂的计算公式改用简单的公式来代替。当|很小时，有 即 或 特别地，当 常见的近似公
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