数学建模与力学的结合.doc

数 学 建 模小论文题目:数学建模与力学的结合院 系： 理 学 院 专业班级： 工程力学10-01 学 号： 2010303688 学生姓名： 刘 永 春 任课教师： 李 强 2012 年 10 月 25 日数学建模与力学的结合摘要：数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。关键词：数学建模 力学模型 受力引言：近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学建模的应用不仅在机械工程、建筑工程、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。数学建模解决飞机受力 在现实生活中，我们接触了许多机械。这些机械结构都复杂多样，要很好的控制这些机械的运动就需要我们了解这些机械的工作原理和运动规律。这就需要我们将力学和数学建模很好的结合起来分析机械整体和各个部分。在飞机的设计工作中，也广泛的应用了数学模型。建造一架飞机，首先就要建立一个大致的飞机模型。根据其载重量和最大牵引力，确定其飞机各个部分所受的力量，然后通过材料中的应力校核原理，确定各部位所要用的材料和材料的规格。要想计算出飞机各部分所受的力量，就要先将飞机简化成为一个数学模型，然后分析飞机各个部位所受力的情况。当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。下面利用数学建模与力学的结合解决一道飞机飞行时的受力问题，如假设飞机的自身的重力为30kN，螺旋桨的牵引力4kN。飞机重心的作用线与飞机机翼升力的作用线相距为2m，飞机机翼与飞机牵引力的作用线相距为1m，飞机所受阻力的作用线与飞机机翼相距0.5m，飞机的重心的作用线与飞机尾部升力相距为50m，要求飞机阻力，机翼升力和尾部的升力。可将飞机模型简化成下面的模型。如图 3-3 所示同理在飞机机翼上安装 1 台发动机，要求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端 O 的受力。先用理论里学知识分析其作用在机翼 OA 上的气动力的分布情况和所受的其他力量，然后根据受力分布将该问题的模型简化。如下图，可根据下图来机翼根部固定端 O 的受力。数学模型求解磨削表面残余应力磨削时，由于磨粒切刃具有大的负前角，变形区的塑性变形非常严重，在磨粒刃尖前方区域将形成复杂的应力状态。在磨粒切刃刚走过的表面部分上，沿表面方向出现塑性收缩、而在表面的垂直方向出现拉伸塑性变形这就是塑性凸出效应，结果磨削表面出现残余拉应力。在切削加工过程中，刀具和工件之间会产生作用力。垂直于被加工表面的作用力和由此产生的摩擦力一起对被加工表面产生挤光作用。当刀刃不锋利或切削条件恶劣时，挤光作用的影响更为明显，挤光作用会使零件表面产生残余压应力。 热应力的影响 磨削时，磨削表面层在磨削热的作用下产生热膨胀，而此时基体温度较低，磨削表面层的热膨胀受到基体的限制而产生压缩应力。当表面层的温度超过材料的弹性变形所允许的温度时，表面层的温度下降至与基体温度一致时，表面层产生残余拉应力。磨削液冷却效应 磨削过程中，由于磨削液的使用，磨削表面层在冷却过程中会产生一个降温梯度，它与热应力的影响刚好相反，它可减缓由热应力造成的表面残余拉应力。 磨削过程中，除了上述影响残余应力的因素外，还有表面层的二次淬火及表层的回火现象。磨削表面残余应力数学模型的建立通过上述分析可知，影响磨削表面残余应力的主要因素可归纳为：磨削力、磨削温度和磨削液的冷却性。力和温度是磨削过程中产生的两种磨削现象，直接对残余应力产生影响；而磨削液对残余应力的影响，一方面是通过表面的降温过程直接产生的，另一方面是通过对力和温度的影响间接产生的。本文试图通过对力和温度的试验数据，以及磨削表面二维残余应力测试数据的数学处理，给出一种反映力、温度和磨削液的冷却性能与表面残余应力关系的数学模型。数学模型中应包括上述影响磨削表面残余应力的因素，即： sRT=sF+sR+sL式中：sRT磨削表面残余应力 sF磨削力的影响sR磨削温度的影响sL磨削液冷却性能的影响 磨削力与残余应力关系的数学模型 首先依据图1所示的模型来分析残余应力与塑性变形之间的关系。图1a为自由状态下的两个弹簧，图1b为两个弹簧被放入刚性板之间的状态。根据平衡条件可得出 N=k1k2(l1-l2)/(k1+k2)式中：N两个弹簧被放入刚性板后弹簧的内力 l1、l2两个弹簧在自由状态下的长度 k1、k2两个弹簧的弹性系数 l1-l2可看作是本文意义上的塑性变形。从上式中可得出，内力与塑性变形呈正比，即残余应力与塑性变形呈正比。图2为应力s与应变e关系的简化模型。从图中可知 eB=(sB-sS)/E1+eS&bnsp;&bnsp;&bnsp;&bnsp;&bnsp;eA=eB/E式中：sS材料的屈服限 sB某一磨削条件下的应力 E材料的弹性模量 E1常数 根据图2可得出，当外力释放后，B点处应变eB沿斜率OA释放后残留为ep ep=eB-eA=(sB-sS)/E+eS+sB/E上式说明，塑性变形与力呈线性关系。 综合上述分析可以认可，残余应力与磨削力呈线性关系，两者关系可表示为：sF=AF+D1式中：A、D1系数 F磨削力(可采用切向力) 磨削温度与残余应力关系的数学模型 由热应力产生的残余应力可用右图来进行分析。当磨削区温度升高时，表面层受热膨胀产生压缩应力s，该应力随温度升而线性增大，其值大致为 s=aEDq式中：a线膨胀数学建模与力学的结合研究桩土相互作用问题随着城市建设的飞速发展，各种高层建筑如雨后春笋般地拔地而起。选择合理的基础形式是结构设计师面临的首要问题，其中桩基山于承载能力高、控制建筑物沉降小的特点被广泛应用于高层建筑物中。桩的作用是将上部结构载荷通过桩传递到土的深部较坚硬、压缩性小的土层和岩层。桩基础（简称桩基）是一种既古老又常见的基础形式，出于桩基具有承载能力高、稳定性好、基础沉降及差异变形小、沉降稳定性、抗震性能好以及能适应各种复杂的地质条件等特点而得到广泛使用，包括港口、船坞、桥梁、近海钻采平台、高耸及高重建（构）筑物、支挡结构以及抗震工程中。可以说，桩基是建筑物的一种最为重要的基础形式，其应用已有数百年的历史。但最近年来对桩基动力学的兴趣大增，主要理由是：不需要桩基的建筑场所越来越少，因此桩的应用更为广泛，已显露出一些新的重要的领域，在高层建筑、重型厂房、桥梁、海上平台、水利设施和核电站等工程中都广泛地采用桩基础。仅就我国而占，据不完伞统计，平均每年用桩量至少在几百万根以上，费用约占工程总造价的。因此，桩基的定性分折、数值模拟、试验研究以及桩基的检测手段与技术等研究都是国内外岩土工程专家、技术人员共同关心的问题。但是由于桩土工况条件的复杂，特别是土的性质差异性很大，给求解带来了很大的困难，成为建筑领域的难点、重点和热点。上海属于软土地区，土质情况比较差，所以桩基的应用更为广泛。一般高于层的建筑物就需要运用桩基。随着城市的发展，建筑物越来越高，单桩的设计承载力越来越高，达到了以“万KN”记的水平。为了满足设计承载能力的要求，往往设计者采用选择桩材料、加大桩身截面和桩长、对持力层进行加固等方法。虽然影响桩基极限承载力的因素很多，但是最为关键的是桩土问的相互作用力，特别是在机械载荷或地震载荷等大规模损坏下的桩土问的相互作用。一旦能够精确的获得桩土间的相互作用力，那么单桩的极限承载力也能够比较精确的得到，这对于工程结是具有十分重要的意义的。连续介质力学方法基于连续介质理论和框架来建立分析桩基力学行为分析的数学模型，其中，桩和土的材料可以是弹性、粘弹性和弹塑性材料等。Novak基于平面应变假设，将土看成线性粘弹性半空问，首先运用连续介质力学研究了在线性粘弹性土作用下桩土的相互作用，在其后的一系列文献中发展和完善了他的理论；Anestise在Novak模型的基础上提出了非线性粘弹性模型，得出了在非线性粘弹性情况下的桩士的相互作用，Matter和Poulos假定土体为连续弹性体，在弹性半空间中运用垂直和水平单位荷载作用下土体位移的Mindlin积分解，求解得到了单桩的力学特性。同时利用Mindlin积分解求解了群桩中各桩的相互影响系数来求解群桩的力学问题。