最短路径问题PPT教学课件.ppt

最短路径问题 1 1 理解最短路径问题的概念及理论依据2 掌握常见的最短路径问题的模型3 体会数学转化 数学建模思想 2 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 走哪条路最近 理由是什么 两点之间 线段最短 3 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 O A B C D E 如图所示 直线外一点O 与直线上各点所连线段OA OB OC OD OE中 哪一条最短 理由是什么 4 关于 两点的所有连线中 线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题 我们称它们为最短路径问题 5 1 两点在一条直线异侧 已知 如图 A B在直线L的两侧 在L上求一点P 使得PA PB最小 连接AB 线段AB与直线L的交点P 就是所求 依据 两点之间 线段最短 6 相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 探索新知 7 追问1这是一个实际问题 你打算首先做什么 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 数学建模 8 1 路线 A l B 2 路程 AC BC 3 求点C的位置 使得AC CB最小 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 9 分析 根据模型 两点在一条直线异侧 结合轴对称的相关知识 将问题进行转化 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 10 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 B C 11 证明 你能用所学的知识证明AC BC最短吗 12 证明 如图 在直线l上任取一点C 与点C不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 直线l上任意一点 与点C不重合 与A B两点的距离和都大于AC BC 就说明AC BC最小 13 B 作法 作点B关于直线l的对称点B 连接AB 交直线l于点P 点P的位置即为所求 2 两点在一条直线同侧 已知 如图 A B在直线L的同一侧 在L上求一点 使得PA PB最小 三角形任意两边之和大于第三边 14 如图所示 要在街道旁修建一个牛奶站 向居民区A B提供牛奶 牛奶站应建在什么地方 才能使从A B到它的距离之和最短 练习 15 只有A C B在一直线上时 才能使AC BC最小 作点A关于直线 街道 的对称点A 然后连接A B 交 街道 于点C 则点C就是所求的点 16 3 一点在两相交直线内部 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 分析 当AB BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时 三角形的周长最小 17 3 一点在两相交直线内部 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 分别作点A关于OM ON的对称点A A 连接A A 分别交OM ON于点B 点C 则点B 点C即为所求 18 已知菱形ABCD M N分别为AB BC边的中点 P为对角线AC上的一动点 要使PM PN的值最小 试确定点P的位置 P 练习 19 变式 一 如图 已知菱形ABCD M N分别为AB BC边上的点 P为对角线AC上的一动点 要使PM PN的值最小 试确定点P的位置 20 变式 二 如图 已知菱形ABCD的边长为6 面积为30 BAD 60 点M为AB边的中点 点P为对角线AC上的一动点 要使PM PB的值最小 试确定点P的位置 并求出PM PB的最小值 21 如图 A B两地在一条河的两岸