运动弹性机构动力学分析v2012-2013-11-12.doc

1 弹性机构动力学分析方法弹性机构动力学分析方法 运动弹性机械动力学 2 第一章第一章 概论概论 1 1弹性机构动力学的产生与发展 亦称 运动弹性机构动力学 机械弹性动力学 1 1 1 机械动力学分析的两类问题 1 逆动力学 已知机构运动状态和阻力 求解主动力 输入扭矩 和 各运动副反力及变化规律 2 正动力学 给定输入扭矩和工作阻力变化规律 求运动 1 1 2 机械动力学的不同分析方法 不同水平的四种方法 1 4 1 静力分析 Static Analysis 忽略惯性力 用静力学方法分析力和运 动副中的反作用力 适用于低速机械 2 动态静力分析 Kineto static Analysis 达朗贝尔原理方法又称动静法 先进行运动分析 求出惯性力 再加惯性力计入静力平衡方程 求反作用 力 运动分析时 假定理想化的 驱动构件等速回转 或按某一理想运动 规律运动 3 动力分析 Dynamic Analysis 不用理想化的 驱动构件等速回转 假 定 求解外力作用下机械的真实运动 也称为机械系统动力学 4 弹性动力学 Elasto dynamic Analysis 抛弃以上将构件视为刚性体的 假定 计入构件弹性动力学分析方法 运动和阻力主动力和运动副反力 运动主动力和工作阻力 3 动力学分析方法的发展趋势 不考虑惯性 静力学分析 考虑惯性 动力学分析 不考虑变形 刚体动力学分析 考虑变形 柔性 弹性动力学分析 KES KED Multibody Dynsmic Analysis 简化的动力学分析方法 线性假设 简化模型 KED 更精确的动力学 分析方法 考虑更多非线性项 更准确的模型 Multibody Dynsmic Analysis 1 1 3 运动弹性机构动力学的发展背景 高速化 惯性力变大 精密化 要求误差小 变形小 轻量化 弹性变形变大 大型化 大功率 1 1 4 运动弹性机构动力学的发展历史简介 1 高速转轴的振动 转子动力学 2 凸轮机构弹性动力学 从动件等加速度运动规律并非很好的运动规律 它使从动件发生剧烈振动 在高速下动力响应很差 高速凸轮动力学 提出新型凸轮曲线 计入构件弹性 3 连杆机构弹性动力学 70 年代后发展起来的高速弹性连杆分析比轴系 和凸轮机构更复杂 必须用有限元方法 在机构学领域 开创运动弹性动 力学 KED Kineto Elastodynamic 在航空领域兴起多柔体系统动力学 Flexible multi body dynamic 这些不同机构的动力学研究先后地步入了计及构件弹性影响的阶段 在机械动力学领域 它们被归纳为机械弹性动力学 以区别于传统的刚体 动力学 柔性体刚体 4 机械弹性动力学和机械振动理论有着密不可分的关系 轴和轴系的振动 研究历来被认为是机械振动理论的一个实际应用 凸轮机构的动力学可认 为是机构学和机械振动理论相结合的产物 连杆机构一般不采用集中参数 模型 而建立有限元模型 连杆机构的弹性动力学可以认为是机构学 动 力学 包括机械振动理论 和弹性力学 具体地说 有限单元法 相结合的产物 机械振动理论是研究机械弹性动力学的重要基础 1 1 5 运动弹性机构动力学分析需解决的三大问题 1 动力学建模 把机械构件和机械系统简化为可供研究的模型是机械弹性 动力学的首要任务 2 系统方程的求解 用机械振动的理论进行动力响应分析 3 参数影响的分析 了解系统的哪些参数对动力响应有何影响 程度如何 1 2连杆机构弹性动力学简介 1 2 1 连杆机构弹性动力学的产生和发展 连杆机构弹性动力学是机械弹性动力学重要组成部分 机械弹性动力学 这一术语就是随着高速连杆机构的研究首先出现的 5 图 1 1 构件的弹性对高速机械手动作的精度和稳定性有很大影响 激振力频率与 固有频率的接近增大振动的振幅 也增大发生谐振的危险 在弹性连杆机构中 存在着复杂的谐振现象 其中最常见的一种是低阶谐振现象 即机构在低于其 第一阶固有频率的一系列转速下都可能发生谐振现象 对振动情况下构件中的 动应力要格外注意 周期性变化的动应力会导致构件的疲劳破坏 振动还会带 来噪声 恶化工作环境 机构的部分或全部构件被看作弹性体 从而在分析中计入构件弹性的影响 的连杆机构 即称为弹性连杆机构 美国学者 Erdman 和 Sandor 称之为 Kineto Elastodynamics KED 即运动 弹性动力学 也有称为 Elastodynamics 弹性动力学 中国的张策称为 机 构弹性动力学 统一简称 KED 1 2 2 连杆机构弹性动力学方法概述 1 基本假定 基本假定 1 与采用刚性机构的运动分析方法得到的机构名义运动的位移相比 由构 件变形引起的弹性位移很小 2 这种弹性位移不会影响机构的名义运动 依据此假定 机构真实运动的 位移可以看作是名义运动的位移和弹性位移的叠加 真实运动 名义运动 弹性位移 名义运动可以用刚体机构运动分折方法求出 弹性位移则用弹性动力分析 方法 振动理论 求出 3 瞬时结构假定 在机构运动中的某一位置 瞬间 可将机构的形状和 负荷 包括动荷 瞬时冻结 使之被当作结构进行分析 2 KED 分析基本步骤分析基本步骤 1 先对机构进行刚体动力学分析 获得刚体机构的运动 rrr u u u 6 2 将弹性机构的各构件划分为不同单元 3 建立单元运动方程 1 1 eeeeeee m uC uK uf 4 建立系统运动方程 1 2 r MuCuKuPMu 5 求解系统运动方程得到系统运动 进而求得单元运动 再求 u u u eee u u u 单元内力与应力 机构在不同位置上相当于不同的 瞬时结构 因而矩阵 M C K 都是 机构位置的函数 机构的运动微分方程式 1 1 是一个变系数的微分方程组 而 结构分析得出的方程组是常系数的微分方程组 这是机构分析与结构分析的一 个重要区别 以求解式 1 1 为基础的分析过程称为 运动弹性动力分忻 KED 分析 求解变系数微分方程组是很费时的 有的情况下 可以用一种简化的分析来代 替 略去式 1 1 左边的前两项得运动弹性静力分析方法 1 3 r KuPMu 式 1 3 的分析过程称为 运动弹性静力分析 Kineto E1astodynamic Anslys 氏简称 KES 分析 而在文献中更多地称为准静态分析 运动弹性动力分析把机构做为一个运动着的弹性系统 研究把在外力和刚 体惯性力激励下的振动 并在此基础上求出机构的位移 速度 加速度 应力 应变等运动学 动力学参数 KED 求振动方程 KES 求变形方程 弹性动力分析是 KED 分析和 KES 分析的总称 3 由单元到系统的建模 由单元到系统的建模 把系统按结构划分为子结构和单元 先建立单元和子结构的运动方程 再 将单元和子结构的运动方程织合成系统的运动方程 7 三种模型 三种模型 1 连续弹性体精确力学模型 得出的是偏微分方程 难以求解 2 集中参数模型 将弹性体质量按某种简单原则聚缩于若干点 形成集 中质量和集中转动惯量 模型较为粗糙 精度较差 3 有限元模型 对单元内位移分布建立了某种假设 对连续体模型进行 简化 它承认质量和弹性是分布而不是集中 并以结点处的有限个自由 度代替了连续弹性体的无限个自由度 这种模型一般比集中参数模型精 确 有限元模型的另一个优点是运算模式统一 参考文献参考文献 1张策 机械动力学 高等教育出版社 2000 1 5 2A G Erdman G N Sandor Kineto Elastodynamic A Review of the State of the Art and Trends Mechanism and Machine Theory 1972 7 1 19 33 3A G Erdman G N Sandor A General Method for Kineto Elastodynamic Analysis and Synthesis of Mechanisms ASME Journal of Engineering for Industry 1972 94 4 1193 1205 4张策 陈树勋 王子良等 弹性连杆机构的分析与设计 机械工业出版社 1997 89 104 5余跃庆 李哲 现代机械动力学 北京工业大学出版社 1998 150 229 6R E Roberson and R Schwertassek Dynamics of multibody systems Springer Verlag 1988 259 286 7T R Kane D A Levinson Dynamics Theory and applications New York McGraw Hill 1985 135 180 8E J Haug Computer Aided Kinematic and Dynamics of Mechanical System Allyn and Bacon 1989 1 11 9A A Shabana Dynamics of Multibody Systems Cambridge University Press 1998 10H Bremer F Pfeiffer Elastische Mehrk rpersysteme B G Teubner Stuttgart 1992 32 41 11黄文虎 邵成勋 多柔体系统动力学 科学出版社 1997 1 9 12王树新 刘又午 周大宁 多臂机器人系统的运动学分析 天津大学学报 1996 29 6 834 839 13员超 宗光华 刘又午 Huston 多体系统动力学方法的矩阵分析 机械工程 8 学报 1999 35 6 5 9 14刘又午 多体动力学在机械工程领域的应用 中国机械工程 2000 11 1 2 144 149 15陆佑方 柔性多体系统动力学 高等教育出版社 1996 58 274 16洪嘉振 计算多体系统动力学 高等教育出版社 1999 329 365 17刘才山 陈滨 阎绍泽 基于 Hamilton 原理的柔性多体系统动力学建模方法 导弹与航天运载技术 1999 5 32 36 18刘才山 陈滨 王示 考虑刚弹耦合作用的柔性多体连续系统动力学建模 力学与实践 1999 21 6 21 25 19阎绍泽 王树新 张大钧等 机械系统动力刚化机理分析 中国机械工程 1996 7 l 32 34 20阎绍泽 黄铁球 吴德隆等 空间飞行器柔性附件动力学建模方法研究 导 弹与航天运载技术 1999 2 31 39 21金国光 刘又午 王树新等 带有空间伸展机构的复杂航天器柔性多体动力 学分析 中国机械工程 2000 11 6 650 653 22王建明 周学军 刘才山等 矩形板动力刚化有限元分析 天津大学学报 1998 31 5 563 568 23蒋丽忠 洪嘉振 柔性多体系统产生动力刚化原因的研究 计算力学学报 1999 16 4 403 409 24阎绍泽 季林红 刘才山等 柔性机械臂结构 控制耦合特征的实验研究 机械科学与技术 2000 19 5 796 799 25阎绍泽 黄铁球 吴德隆等 柔性机械臂动力学模型与控制策略的综合评价 导弹与航天运载技术 1998 3 11 18 26俞武勇 季林红 阎绍泽等 弹性构件的模态选择对机构动力分析的影响 清华大学学报 2002 42 2 175 178 27王建明 刘又午 洪嘉振 大范围刚体运动对柔性梁模态形函数的影响分析 中国机械工程 2000 11 6 640 642 28员超 宗光华 周正干等 弹性梁式构件的运动稳定性分析 机械工程学报 2000 36 8 10 14 29休斯敦 刘又午 多体系统动力学 下 天津大学出版社 1991 65 80 30Nianli Lu Eine Methode zum Aufbau ebener elasto kinetischer Modelle fuer Lenkerkrane Dissertation Technische Hochschule Darmstadt 1988 9 10 第二章第二章 张量理论 弹性力学 有限元等基本知识张量理论 弹性力学 有限元等基本知识 2 1 张量理论初步 张量 矢量 矩阵概念的推广 张量使繁琐的数学公式简洁 清晰 便于导致力学问题的推导和标准化 程序化 便于计算机的运算 矢量包括图示法和分量法矢量包括图示法和分量法 xyzxyk vv v vvivjvkv 或 123 Tx x x x 123 Tu u u u 以及 u x u x x 2 1 1 张量表达方式 标量 一个分量 x 矢量 三个分量 123 T i xx x x 应力张量表为 111213 212223 313233 1 3 xxyxz ijyxyyz zxzyz i j 2 1 2 张量的阶数 维数 分量个数 n 阶 r 维张量的分量个数 n r 标量 n 0 幂次 0 1 n rr 矢量 n 1 幂次 1 3 n rr 应力张量 n 2 幂次 2 9 n rr 11 应力梯度 n 3 27 个分量 3 327 n r 弹性张量 n 4 81 个分量 4 381 n r n 阶张量 0 阶 标量 1 阶 矢量 2 阶 应力张量 2 1 3 张量的记法 一阶 1 2 3 i Ai 二阶 1 2 3 ij i j 四阶 1 2 3 ijkl Di j k l 2 1 4 张量的矩阵表达 1111213 22223 333 iij A AAA A 2 1 5 张量的代数运算 符号与约定 和号与求和指标 1 1 122331212 1 n T iinn i Ta xa xa xa xaaaxxx 爱因斯坦求和约定 根据约定和号可略去 1 n iiii i Ta xTa x 1111 1 1 n T ijijn nnnn aay sa x yxxxay aay 求和指标与自由指标 12 1 x 2 x 1 x 2 x cos ssinc 1111 2222 xxxxcscs xxxxscsc 2 1 iijjijj i xT xT x cos ijijij Txxx x j 求和指标 i 自由指标 求和指标在求和之后不再出现在等式左边 自由指标仍存在 1212 1 1212 n TT iiii i T ijij ijkijk ax xx xxxx xx x bx xx xx x cB D 1112 12212212 T ijij aa sa x xx xaax x 克罗尼科尔符号 ij 1 0 ij ij ij immi m aa 111213 212223 313233 100 010 1 3 001 ij Ii j 列维 西维塔密度 ijk 当 i j k 偶排列1 ijk 1 当 i j k 奇排列 0 当 i j k 中有两个以上相同 13 1 ijk 1 ikj 123231312 132321213 112221111 1 1 0 2 2 弹性力学知识初步 2 2 1 变形场 1 n T iiaa a uN uNu 其中 形函数 节点位移 有限元法 ia N a u 矩阵形式 uNu 2 2 2 应变 几何方程 任意点的位置 变形前 123 Txxx x 变形后 123 TXXX X 也可写为 Xx u 线元长度 变形前 2 0 ddds xx 变形后 2 ddd TT sdddd dddd XXxuxu uuuu IxIxxIIx xxxx 线元长度变化的定义 14 22 0 dddddd dd d 2d TTT TT T ss dd d d XXxx uu xIIxxx xx uu xIIIx xx x x 其中应变 11 22 T TT uuuuuu III xxxxxx 所以 22 0 dd2 iijj ssdxdx 格林应变张量 非线性 1 2 j ikk ij k jiij u uuu xxxx 1 2 3i j k 柯西应变张量 线性 1 2 T j i ijijaa a ji u u B uBu xx 1 2 3i j k x z y 1 x 2 x 3 x i x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 方向应变场 i u i 1 2 3i 平面问题 222 311121 11 111111 1 2 x uuuuuu xxxxxx 222 322122 22 222222 1 2 y uuuuuu xxxxxx 3312112212 12 2112121221 111 222 xy uuuuuuuuuu xxxxxxxxxx 15 2 2 3 应力 物理方程 ijijklkl kl DD 其中 弹性模量 ijkl D 2 ijklijkl D 变形能 ijklijklikjliljk DG 1 2 3 i j k l 各向同性时 2 1 2 3 ijklijklikjl DGi j k l 2000000 000000 00000 00000 2000 000 00 0 2 ijkl Gk l GG GGi j G DG G symG G G 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 EEvEv GG vvvvv 式中 E 是弹性模量 v 是泊松比 二维时 200 00 00 002 ijkl G GG D GG G 平面应变状态时 和三维状态一样 G 平面应力状态时 132333 0 2 12 1 EvE G vv 一维应力状态时 1111 2 ijkl DDGE 对称 16 1111 1212 1313 2121 2222 2323 3131 3232 3333 2000000 000000 00000 00000 2000 000 00 0 2 ijijklkl G GG GG G DG G symG G G 或表为 2 ijijijkk k G 或显式表为 11111122331212 22221122332323 33331122333131 2 2 2 2 2 2 GG GG GG 2 2 4 弹性力学中基本方程的表达形式 1 应力向量应力向量 xyyzzx T xyz 2 应变向量应变向量 xyyzzx T xyz 3 位移场 位移场 对应 x y z 方向 Tuuvw 4 几何方程几何方程 应变 位移关系 xyz uvw xyz xyyxyzzyzxzx uvvwuw yxzyzx 5 物理方程物理方程 应力 应变关系 D 其中 D 称为弹性矩阵 17 1000 11 20001000 1 2000 1000 2000 1 1 2 00 00 1 1 2 2 1 0 1 2 0 2 1 1 2 2 1 vv vv v G v G G Ev v D Gvv v symG v sym G v v v 式中 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 EEvEv GG vvvvv E 为扬氏模量 v 为泊桑比 G 为剪切弹性模量 物理方程的另一物理方程的另一 表达形式 表达形式 C 式中 C 为柔度矩阵 C D 1 2 2 5 举例 F 1 x 1 u2 u 1 设变形场为 1 uabx 由边界条件 导致 11 112 0 0 xu xluu 2 0 a bul 变形场 2 11 u ux l 应变场 1112 11 111 1 2 uuuu xxxl 说明杆的应变为常数 2 11 u l 非线性时 精确的格林应变张量 2 2 11122 11 111 11 22 uuuuu xxxll 18 核心问题 变形场 12 1 u 2 u 1 x 2 x 设变形场为 11 2 0 uabx u 由边界条件 则变形场为 11 112 0 0 xu xluu 21 111 uu uux l 线性的柯西应变 21 11 122122 00 L uu l 非线性的格林应变 2 2121 11 1 2 N uuuu ll 2 3 有限元基本知识 2 3 1 插值理论 f f 精确 插值 用插值函数 代替 真实 精确函数 ff 变形场 希望通过插值函数来代替精确函数 ff 19 2 3 2 拉格朗日插值 在特定的考查点 P 如边界结点 处 插值函数与真实函数 的值ff 相同 2 1 1 2 P P ffPn 插值函数构成 2 2 1 1 2 PP P fN fPn 或 T p fN f 式中 为形函数 为结点位移 P N P f 形函数构成 2 3 1 2 Pprr r Na zPn 或 TT Nz a 范德蒙阵 基向量 pr a r z 2 4 23 111 22 121212 222 123121323111 1 1 1 r r r zxxx zxxx xxx zxxxx xx xx xxxx 基向量基向量所取的位数与考查点边界条件数相等所取的位数与考查点边界条件数相等 r z 插值函数可表为 f prrp p r fa z f 将考查点 q 的坐标代入上式的基向量 得插值函数在 q 点的函数值 r zf qprrqp p r fa z f 因为 即 qpqp p ff prrqpq r a z 所以 1 prpr az 1 azIaz 故得形函数 2 5 1 pprr r Nz z 20 从而得插值函数构成 2 6 1 1 2 prrP Pr fz z fPn 若将考查点 q 的坐标代入形函数式 不难看出 P N 2 7 1 1 2 Pqprrqpq r Nz zPn 2 3 3 拉格朗日插值举例 1 两结点杆单向受力杆单元拉格朗日插值两结点杆单向受力杆单元拉格朗日插值 基向量为 1 1 r z x 由结点坐标 得 0 ip Xl 1 11 0 1 1 01 rp pr z l l z l 得形函数 11 1 1 pprr xl Nz z xl 位移场 应变 应力场 11 112 121 1 21 1 T p xx uNuuu ll uuu xl uu EE l 2 六结点平面三角单元拉格朗日插值 六结点平面三角单元拉格朗日插值 21 基向量 点坐标 1 2 2 1 12 2 2 1 r x x z x x x x 0100 50 50 00100 50 5 ip x 1 111111133242 0100 50 50010200 00100 50 5001002 0100 250 250040440 00000 250000040 00100 250 25004044 rppr zz 形函数 22 121122 2 11 2 122 2 1112 12 2 2122 1 33242 2 2 444 4 444 pprr xxxx xx xx xx Nz z xxx x x x xx xx 3 多结点杆单元拉格朗日插值 多结点杆单元拉格朗日插值 22 拉格朗日插值形函数通式 ijji j xx xx x Ni 23 2 3 4 高阶插值 Hermite 插值 在特征点 p 处有 某特定算子 节点坐 p p D fD fD p fD 标 插值函数 2 8 Pprr PP pp r fN D fa z D f 形函数构成 2 9 pprr r Na z 代入考查点 q 有 prrqprrq qPP p rp r D fDa z D fa D zD f 因为 即 pq qP D fD f prrqpq r a D z 令 则有 rprp D zz 1 prpr az 同样有 11 pqprrqprrqpq rr D NDz zz z 2 3 5 高阶插值 Hermite 插值举例 平面弯曲梁单元的变形场 梁单元边界位移和基向量为 p u r z 1 1 1 1 0 1 0 2 3 4 x x p xl xl fu fxu u fu fxu 1 2 1 3 1 1 r x z x x 24 对应四个算子为 1111 1021034 xxxlxl DfDfxDfDfx 将以上算子用于基向量得 r z 2 32 1010 011 002 003 rpr p l zD z ll ll 求逆后得形函数 323 11 3223 1111 323 11 223 11 32 21 32 prpr r llxx l xl xlx Nz z llxx l xlx 位移场为 1 T PPp p uN uNu 平面梁平面梁位移场位移场2 对应算子为 1 1111 1 pxxxx D ffffxfxfdx 将算子用于基向量得 r z 25 2 3 4 11002 1 1 1110 2 1122 3 1 1330 2 1144 5 rrpr p x zzD Zx x x 求逆后得形函数 12 3 4 712304151 71230415 1 14645 16 14645 15030015 prpr x Nz zx x x 则位移场可得 1 T PPp p uN uNu 2 3 6 有限单元方程的建立 1 应变 应变 已知位移场 111 2 10 iiaa a uN u 则得应变 11 22 11 22 1 2 j ikk ij k jiij ja iakaakbb a kab jiij LNLLNL ijijijaijaa a u uuu xxxx N NN uN u u xxxx BBu 2 11 式中 1 2 jaL ia ija ji N N B xx NL kakb ijab kb ij NN Bu xx 26 为线性应变 为非线性应变 L ij NL ij 在一般线性有限元分析中 我们只取线性应变部分 即 2 12 11 22 jjaLNLLL iia ijijijijaijaa aa jiji uN uN uB u xxxx 2 13 1 2 LNLL ijaijaijaija BBBB 在以下的分析中 我们不再使用非线性的格林应变张量 而用线性 的柯应变张量 2 14 11 22 jjaL iia ijaijaa aa jiji uN uN uB uBu xxxx 矩阵形式的位移场 应变 应力表为 uNu B u D 2 由虚位移原理建立单元运动方程 由虚位移原理建立单元运动方程 虚功原理 内力虚功等于外力虚功 2 15ww T aa a iiii i va wfuuf wfu dvP u da 集中力虚功 外力虚功 分布力虚功 内力虚功 ijij ij v dv 单元静力平衡方程单元静力平衡方程 27 为简化计算 先忽略分布力 由式 2 15 得 2 16w ij aaijijija vv aijija a fudvu dv u 2 17 ij aijklklijaijklklbb vv ijklbijkl a abb b fDdvB DB dv u u K u 矩阵形式的单元静力平衡方程表为 2 18 FKu 式中 2 19 T v KBDB dv 2 20 1 2 ijja ia ija aij N N BB uxx 单元动力平衡方程单元动力平衡方程 单位质量惯性力 体积分布力 为 2 21 2 2 i iiaa a u fN u t 单元中的惯性力虚功为 2 22 iiiiaaibbiaa vvv iiai ab T iaibabaabbab v abiab wfu dvf Nu dvN uNu dv NN dvu uu M uuMu 式中 28 2 23 T abiaib vv i MMNN dvNN dv 同理 假定阻尼正比于点的速度 单元中的单位阻尼力则为 2 24 i iiaa a u fN u t 单元中的阻尼力虚功 2 25 iiiiaa vv ii a aiaibbabba v i a ba b wfu dvf Nu dv uN N u dvC uu 式中 2 26 T abiaib vv i CCNN dvNN dv 将式 2 22 2 25 代入 2 15 得单元动力平衡方程 2 27 abbabbabba bbb K uC uM uf 或表为矩阵形式 2 28 K uC uMuF 式中 T v KB DBdv T v MN Ndv T v CN Ndv 式中 分别称为刚度阵 阻尼阵 质量阵 它们皆与形函 KCM 数有关 29 3 运用拉氏方程建立单元运动方程运用拉氏方程建立单元运动方程 2 290 aaa dLLR dtuuu 或 a aa dTT Q dtuu 其中拉氏函数 LT 动能 1 2 ii v i Tu u dv 位能 1 2 TT i vvs D dvu fdvu pds 耗散函数 1 2 ii Ru u dv 已知 可得 uNu Bu DDBu 1 2 T Tu Mu 1 2 TT u Kuu Q 1 2 T Ru Cu T v KB DBdv T v MN Ndv T v CN Ndv TT vs QN fdvN Pds 由拉氏方程得单元运动方程 MuCuKuF 30 4 举例举例 杆单元 12 刚度阵 K 由前已得到位移场 112 1 T PPp p xx uN uNuuu ll 1 21 2 111T L ijij u uuBu ulll 0 1 11 11 1 11 l T v l AE KBDB dvEAdx llll 杆单元质量阵 M 0 22233 222233 0 2 3 6 6 3 1 31 6 1 61 3 l T v l lxl lxx MNN dvAdx x lll lxxlxlxllAA dx llxlxxll A l 同理 可推出杆单元阻尼阵 C 1 31 6 1 61 3 CA l 31 5 梁单元运动方程 梁单元运动方程 11 22 uN u uN iiaa uN uNu ijijaa a B uB u ijijklkl kl DD 先考虑方向位移场 2 x 2 u 1 1202 xDuu 1 2 203 1 x u Du x 1 325 x l Duu 1 2 46 1 x l u Du x 基向量 23 111 1 T r Zxxx 将算子用于基向量得 r z 2 32 1010 011 002 003 rp l Z ll ll 3 32 1 3 2 032 021 0032 00 rp ll lll Z ll ll 得方向形函数和位移场 2 x 2 N 2 u 323 11 3223 1111 2 323 11 223 11 32 21 32 rpr llxx l xl xlx NZ Z llxx l xlx 222aa uN uNu 32 注意到位移场和位移场的关系 1 u 2 u 12 21 uu xx 上式对积分得 12 ux 2 x 2 121 1 u uxc x x 梁形心轴在方向之位移场 1 x 2 101 x uc x 由梁两端点条件 12 1001 x x uu 21 10 4 x xl uu 则 基向量为 r z 1 1 r Z x 11 0 rp Z l 1 1 1 01 rp l Z l 从而确定梁形心轴在方向之位移场 1 x 21 111 uu c xux l 至此 位移场和位移场皆可得到 对应的形函数为 1 u 2 u 2222 1111111111 222 232232 1 23232323 2 11111111 1 222232 16143623 32 012032 ia xxxxxxxxxx xxx N llllllllll N N xxxxxxxx x llllllll 12 3456 Tuuuuuuu 33 1 2 ja ia ija ji N N B xx 因为 1211 1221 2122 11 0 22 uuuu xxxx 该梁为单轴应力状态 即又 1111 DD ijkl E 将形函数和阵等代入式 2 28 得梁单元刚度阵 K 阻尼阵 C 质量阵 ia N ija B M 等阵 K uC uMuF 2 2 22 22 3 4 612 00 2604 6120612 0000 l I l II lA l Il Il I l IIl II lAlA l E 称 对 K 4 336 000 304 3360336 000000 30 4 22156 00140 31304 1354022156 007000140 420 2 22 2 22 l l lll ll l I l l lll ll Al 称对称对 M 4 336 000 304 3360336 000000 30 4 22156 00140 31304 1354022156 007000140 420 2 22 2 22 l l lll ll l I l l lll ll Al C 称对称对 2 3 7 单元到系统的集成 先单元方向转换 再组装系统方程 34 单元静力方程 eee K uF 也可写成矩阵形式为 eee KuF 单元动力方程 eeeee K uM uF 局部到整体的变换关系 11 22 33 44 uucs uusc uucs uusc Tu 推出 即 TeeTeeTe T K T uT M T uT F eeeee K uM uF 单元方程组装得系统方程 11 mm eeeee ee K uM uF 由得 is uHu esese TesTesTe K HuM HuF H K HuH M HuH F 求和得 sssss K uM uF 关系阵 H 10012 20012 30056 41256 51234 63456 35 2 3 8 复杂二阶方程求解 A qB qCqD 应用变换 Vq vq 则可通过降阶得到状态方程 A vB vCqD vq 应用龙格 库塔法等求解 36 第三章 机械振动理论基础 多自由度振动分析概要 3 1 主振型 正则化 振型迭加 初始条件 3 1 1 主振型 广义坐标下广义坐标下 均为矩阵 FKMX 振动方程 3 1 KxMxF t 齐次方程 3 2 0KxMx 设解为 sin xAt 代入 3 2 得 2 0KAMA 即 2 0KM A 由可以求得 2 0KM 圆频率 特征值 主振型 特征向量 2 i 2 ii i A 主振型矩阵 具有正交性 123 AAA 3 1 2 主振型的正交性 由得 2 0 iii KAMA 3 3 2 0 TT jiiji A KAA MA 由得 2 0 jjj KAMA 3 4 2 0 TT ijjij A KAA MA 3 5 2 0 TTTT jijji A K AA M A 式 3 3 减去式 3 5 得 37 22 0 T ijji A MA 故 即主振型之间存在对 M 和 K 的正交性 称为主振型0 T ji A MA ij 的正交性 3 1 3 主坐标 y 定义主振型矩阵 12n AAA 由主振型的正交性可知 对角阵 TM M 对角阵 TK K 线性变换xy 式 3 1 变换为 3 6 T KyMyF tF t 为对角阵 式 3 6 已解耦合 KM 3 1 4 标准坐标 z 正则坐标 T iii MA MA 正则化后的主振型 正则化后的特征向量 i i i A A M 123 AAA 单位阵 TM I 2T i K 利用线性变换 式 3 1 变成 xZ 3 7 2T i ZZF t 此时方程已解耦 可分别计算 3 2 大型振动方程自由度缩减方法 3 2 1 振型截断法 38 主坐标下仅取前阶 进行线性变换 得 12m AAA nxQy 3 8 TTT Q MQyQ KQyQ F 此时即解耦 又降阶 在正则坐标下 12n QAAA i i T iii A A A M A 进行线性变换 得xQz 3 9 TT Q MQzQ KQzQF 得出 3 10 2T i zzQ F t 初始条件初始条件的对应 采用线性变换则原来初始条件变为 新的 初始条件xQz 初始条件 0 x 0 x 推出 00 xQz 1 00 zQ x 推出 00 xQz 1 00 zQ x 非方阵非方阵 由于 故 Q T Q MQI 1T QQ M 结果结果的对应 最后将正则坐标下的结果返回主坐标 x tQz t 3 2 2 静力凝聚 当质量阵中有一部分质量为零 才能使用静力凝聚法 由 11121112 21222 0 00 KKAM KKA 得 211222 K AK A 1 222211 AK K A 则 即 12 111222211111 0KK K KAM A 2 111 0KMA 39 3 2 3 主从自由度法 将方程按照主自由度和从自由度整理如下KxMxF 1 x 2 x 11121111211 21222212222 KKxMMxF KKxMMxF 主从关系 1 11 2 xI xxTx xt 11 TTT T KTxT MTxT F 11 T KxMxT F 问题的关键 如何取主 从自由度 确定主从关系阵 T 可用静力凝聚法 21 1222 0K xK x 由 1 22221 11 xK K xTx 得 11 KxMxF 其中 T KT KT T MT MT T FT F 例 1 主从自由度分析悬臂方板 40 例 2 设 1sin 3 uux 1 21 2 EIAl 0 1 1 2 1 3 1 42 5 2 6 3 x x x x x x u x u u u u u x Tu uu uu xu u x cos 0 3 sin 1 0472 2 0 866 cos 0 5236 33 20 866 sin 30 5236 2 1 0472 cos 33 cos 3 T 2 312 104 06312 03104 000312 K 0 2 0 2 0 0 M 精确解 3 T MT MT 0 90048 T KT KT 0 30016 K M 0 3 正则化 1 0 57735u 1 l1l 2 3 4 65 M M2 M4 2 42 代回原方程得 精确解为 0 6046 0 5 0 3023 0 5 0 3023 0 6046 uTu 0 6 0 5 0 3 0 5 0 3 0 6 u 43 第四章 单自由度机械系统动力学建模方法 4 1 动力学建模方法简介 4 1 1 牛顿 欧拉方法 1 牛顿定律 牛顿定律 Fma MJ 动力学系统的等效力与等效惯量动力学系统的等效力与等效惯量 马达 1 J 2 J i 2DR sF a m mg a倍率 minr 2400 n n M M起动 图 1 马达轴力矩 M 马达 重物造成的力矩 1 2 重物造成单绳力 SF a 重物造成卷筒力矩 F RmgR S R aa 重物造成马达轴上力矩 S RmgR ia i 马达轴运动方程 mgR MMJ a i 马达等效等效 式中 为马达轴上的等效惯量 等效惯性矩 J等效J 等效 44 2 惯量等效原则 惯量等效原则 动能等效动能等效 系统可等效为 图 2 2 222 12 2222 J JJmv 效效 12 22222 12 12 22 12 1 i JJJJJmJJ R JJm iai 22 121212效效 22 v1v 效 mv效 效效效效效效效效 m效效 1 效效效效 其中 1 2 i 效 1 vR ia 单绳速度为 重物速度为 2 R 21 RR v aia 图 3 设 第 n 级相对第一轴转动比为 1 1n n i 45 则 2 1 11 n i i i JJ i 2 等效 1v m 3 力等效原则 力等效原则 功相等 功相等 马达 1 J 2 J i 2DR sF a m mg a倍率 minr 2400 n n M M起动 图 4 通常我们用虚功相等原则有 1 Mmgx F 1 n n xR aR i a 1 其中 1n n i 1 重物 F mg 对马达轴的等效力矩等效力矩为 1 1 n R Mmgxmg a i F 整个系统对马达轴的等效力矩等效力矩为 1 F n mgR MMMM a i 马达马达等效 系统运动方程为 1 MJ 等效等效 即 12 1111 2 11 1111 1 n nn ik ik kn R MmgJJ a i R JJm iai 222 12 马达 222 i v m x m 46 4 1 2 基于能量的分析力学方法 拉格朗日方程法 虚功原理 1 拉格朗日方程 i ii dTT Q dtqq 效效 式中 T 动能 广义坐标 广义力 i q i Q 2 虚功原理 内力虚功等于外力虚功 w 外力虚功 内力虚功 w ijij ij v dv 4 2 单自由度机械系统的功能关系 1 系统动能 4 1 22 11 11 22 rt iijj ij Em vJ 2 系统瞬时功率 4 2 11 rt iijj ij PF vM 根据动能原理 在任一时间间隔 内 系统上外力所做的功等于系统动 0 tt 能增量 4 3 0 0 t t NPdtEE 微分得 d PE dt 即 4 4 22 1111 1 2 rtrt iijjiijj ijij d F vMm vJ dt 47 4 3 系统的等效力学模型 对单自由度系统而言 描述系统的运动只需要一个独立坐标 称为广义坐 标 故式 4 4 变为 4 5 2 222 1111 1 2 rtrt j ii ijij ijij uud FqMqmqJq qqdtqq 写为 4 6 2 2 1 2 1 2 e e d QqJqa dt Qdqd Jqb 或 式中 Q 广义力或称为等效力 广义惯量或称为等效惯量 e J 4 7 11 rt j i ij ij u QFM qq 4 8 22 11 rt j i eij ij u JmJ qq 式 4 6 可表为 4 9 2222 2 1111 22 2222 2 eee eeee e e dJdJdJddqdq dqdq QJ qJ qqJqJq dqdqdqdt dqdqdtdq dJq J q dq a 当广义力为力矩 M 时 广义坐标为转角的形式 4 10 2 2 e e dJd MJ dtd b 当广义力为力 F 时 广义坐标为位移的形式u 4 11 2 2 e e dJdvv FJ dtdu 48 4 4 单自由度系统动力学统一方程 不失一般性 把系统外力 F 和力矩 M 统一记为 记广义坐标 1 2 i F in 为 把质量 m 和转动惯量统一记为 对应的位移和转角统一记为 则qJ i m i u 广义力式 4 7 和广义惯量式 4 8 表为 4 12 1 n T i i i u QFTF q 4 13 2 1 n T i ei i u MmTm T q 4 14 2 2 2 11 11 22 nn T eiii eii ii dJuuud DmmTm T dqdqqqq 式中 4 15 312 T n uuuu T qqqq 4 16 312 n uuuudd TT dqdqqqqq 则矩阵形式的系统运动方程 4 9 可表为 4 17 2 TTT TFTm T qTm T q 简洁地表为 4 18 2 ee QM qD q 分别为等效惯量及附加等效惯量 ee MD 49 4 5 举例 1 正弦机构 令 1 2 3 u uulc uls q 2 2 10 ii i uuu TlsTlc qq lcls 0 ABC AA R mMMMFF MM g 222 01 1 eABCABCA A MlslcMMMlsMMMl sMlc Ml