向量与三角函数的综合应用最新20131222(1).doc

向量在三角函数中的应用1. 向量与三角函数的综合通常通过向量坐标表示的运算，利用解决向量平行、垂直、夹角、模等问题的同时，把问题转化为常见的三角问题. (或向量在三角函数中的应用常常体现在向量的坐标中含有三角函数的形式，所求的问题为三角函数问题，研究问题时利用向量相等、共线或垂直，将问题转化为三角函数的关系式 ，再利用三角函数知识解决。)1.以下每题都要先简洁分析呀！ 2. 向量的夹角在我们高一新教材中都是用角度表示的。3.最后的反思语言要再简洁些。4.在制作ppt之前再试讲模拟一下，从开始说话到结束，时长不超过15分钟，最好在10左右。拜托了！2.例1 已知是的三个内角,(1) 若，求角;(2) 若,求.解析 (1) 即即 解析 (2) (法一)由（1）知两边平方得即 即由 得即解析 （法二） 由 得或 即 即例2 在中，设向量其中若,求解析 又 即 即 3.反思 1.例1利用向量的数量积的坐标运算将向量问题转化为三角函数求角、求值问题, 2利用的坐标运算将问题转化为三角函数求角问题，解题过程中要注意角的范围.4.解决向量与三角函数的综合应用问题通常用到下面知识点: 若则 1. 2. 3. 4. 反馈练习1.设向量，1.若与垂直，求的值2.求的最大值3.若求证解 1.由若与垂直得即则2. 当时， 3.由得即 2.已知其中求的取值范围及取得最大值时的值解 当且仅当即时向量在平面图形中的应用1.向量在平面几何中常有证明线段相等、直线平行、三点共线、判断三角形的形状等应用.2.例1 在中，D,F分别为BC,AC的中点， ,求证: B,E,F 三点共线. 解析 由题意可得 又 又有公共点B B,E,F三点共线例2 已知满足且与夹角， 与夹角，求解析 构成封闭的令又因为与夹角，与夹角由正弦定理可得可得例3 已知满足且,判断的形状解析 , 又 即 同理可得 为等边三角形3.反思 1.例1利用向量共线定理若，则证明三点共线 2.例2利用三个向量相加为零向量即三向量首尾相接构成一个封闭图形，从而将问题转化为利用正余弦定理求边的问题 3.例3利用及求角来判断三角形的形状4.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 2.通过向量运算，研究几何元素之间的平行、垂直和距离、夹角等问题。 3.把运算结果“翻译”成几何问题反馈练习1. 设两个非零向量与不共线，若求证：A,B,C三点共线解 又有公共点 三点共线2. 若M为所在平面内一点，且满足, 判断的形状解 是等腰三角形3.设O为的外心，于，且求的值解 是的外心 =向量数量积的运算1.平面向量数量积的运算常有两种方法1. 2.则2.例1 已知向量 且满足条件,求的值.解析 由题意, , 例2 在边长为1的正三角形中, 设,求.解析 方法(一) = = = =解析 方法(二)以三角形所在的边为轴, 中点为坐标原点建立直角坐标系,则=例3 在中,点在斜边上,且,求的值.解析 由题意, 则= = =183.反思 1.例1利用向量数量积的坐标运算转化为关于的方程求解 2.例2、3求向量的数量积有两种常用方法1.用一组基底表示向量，再利用运算 2.建立适当的平面直角坐标系给出所需点的坐标利用则运算4. 平面向量数量积的运算常有两种方法 1. 2.则具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用5. 反馈练习 1.已知向量求 解 即 2.在边长为6的等边三角形中，点M满足求 解 3.在直角梯形ABCD中， 点M为腰BC的中点，求解 以A为原点，分别以AB,AD为X，Y轴建立平面直角坐标系，依题意得又点M为腰BC的中点即向量的模及其应用1.向量的模的计算通常有两个方向1.若则 2利用向量模的几何意义即表示的点到原点（0，0）的距离2.例1 已知向量,求.解析 由, 例2 已知向量满足, (1) 求的值. (2) 求.解析 (1) 因为 =4所以解析 (2) =6则例3 已知向量满足且与的夹角为,求的取值范围. 解析 方法(一) 则 = =0又,所以解得解析 方法(二)令则已知 即点在以为直径的圆上, 以为原点,所在直线为轴 ，建立平面直角坐标系则的中点M所以 3.反思 1.例1直接用向量的坐标求向量的模即例2是通过公式来求向量的模 2.例3法一利用求的的取值范围，法二用向量模的几何意义求向量的模的取值范围4.求向量的模及应用常用方法有 1. 若则 2. 用向量模的几何意义求向量的模 3. 来求向量模的取值范围5.反馈练习 1. 设向量求解 2.已知与的夹角为1.计算2.当为何值时解 1.2. 即即 即3.设平面上有两个平面向量1.求证 向量与垂直2.当向量与的模相等，求的取值解 1. 2. 又 即 即又或.向量的夹角及其应用1. 求向量夹角常见方法1.紧扣着注意 2.有时用数形结合的方法解2. 例1 已知向量满足,求与的夹角的大小. 解析 又 例2 若向量,且与的夹角为钝角,求的取值范围. 解析 不平行于 或且 例3 设是两个非零向量,若,求向量与的夹角. 解析 （1） （2）得代入（1）得 又3.反思 1.例1例3均利用求角，注意角的范围即 2.例2由为钝角，可得，但由，并不能推出为钝角，其中包含了的情形，所以是为钝角的必要而不充分条件，应去掉夹角为的情形.4.求向量的夹角及其应用时常见方法1. 求角，注意角的范围即 2. 是为钝角的必要而不充分条件，是为锐角的必要而不充分条件, 是为直角的充要条件.