一元二次方程式的公式解及二次函数图形.doc

國中升高中數學補強教材第一章 一元二次方程式的公式解及二次函數圖形重點一：由配方法導公式解 設一般通式為為 aX2 + bX + c = 0 則由配方法步驟 1.讓X2項係數為1(各項除a) 2.將常數項移至等號的另一邊 3.根據X項係數的一半進行配方 4.等號兩邊開平方根，再移項可得公式解 !學生練習： 1.請分別使用配方法及公式解法解X2 - 4X + 1 = 0，並驗證其結果是否相同？重點二：二次函數圖形 一、何謂函數？ 令y = f (x) ，其中x稱為自變數，y為應變數，當x改變時，y會對應變換，且一個x值僅對應獨立的一個y值， 則y稱為x的函數。 國中常見的函數形式有：常數函數(如：y =3等)、一次函數又稱線性函數(如：y =2X - 1)、二次函數(如：y = X2 - 3X + 2) 二、二次函數的圖形 請先看幾個二次函數圖形ExOyy = -x2y = -x2y = -2x2xOyy = x2y =x2y =2x2 如上圖，我們稱這樣的圖形為拋物線，且不難發現的是所有的拋物線都有個頂點且X2係數是正的，圖形凹口向上；反之，係數是負的，圖形凹口向下。 U思考：是否所有的二次函數圖形是否都為拋物線？如果是，是否有個統一的形式能表達出來？ 三、二次函數的通式 我們從二次函數的一般式下手 y = f (x) = aX2 + bX + c = a ( X2 +X )+ c = a ( X2 +X +()2 )+ c- a ()2 = a ( X - )2 + 討論：1.若a0，則a ( X - )20，y有最小值，圖形凹口朝上，頂點為(，)，且a愈小，開口愈大。2.若a0，則a ( X - )20，y有最大值，圖形凹口朝下，頂點為(，)，且a愈大，開口愈小。!學生練習：1.請試繪出y = X2 - 4X +4在座標平面上的圖形。 四、二次函數圖形與一元二次方程式解各數的關聯 二次函數y = aX2 + bX + c與X軸的交點數目即為一元二次方程式aX2 + bX + c = 0的根個數。 U思考：X軸的方程式為y = 0 五、二次函數圖形的平移 設y = a ( X - h )2 + k為通式，我們已知a決定開口大小及開口方向，(h，k)為頂點座標，但若此一函數圖形欲向左右或上下平移時，函數會做如何變動？我們以y = X2為例：(0，0)YXY=X21. 圖形右移h單位，方程式變更為： 2. 圖形左移h單位，方程式變更為： 3. 圖形上移k單位，方程式變更為： 4. 圖形下移k單位，方程式變更為： 5. 圖形同時右(左)移h單位及上(下)移k單位，方程式變更為： 上課要認真聽講喔！.第二章 二元一次聯立方程式其解涵義及係數分別法重點一：二元一次聯立方程式其解涵義 一、任何一個二元一次方程式都可改寫成Y = AX + B的形式，在前面章節我們提過，此形式在座標平面上呈現的圖形為一直線，此直線上任一點座標帶回原方程式都會符合，亦是我們稱此類型為線性函數的原因。 二、承上，兩個不同的方程式其圖形在座標平面上為兩條不同的直線，若有交點，則必同時符合兩方程式，就我們所知兩條直線的相交情形有三種，恰可解釋二元一次聯立方程式的三種解情形，其對應關係如下： 兩直線相交於一點 聯立方程式有為一解 兩直線重疊 聯立方程式有為無限多組解 兩直線平行不相交 聯立方程式無解重點二：係數分別法 設兩個二元一次方程式分別如下： A1X + B1Y + C1 = 0 ，A2X + B2Y + C2 = 01. 若兩線重疊，則兩方程式係數成比例2. 若兩線平行，則3. 若兩直線相交於一點，則第三章 根與係數關係重點一：根與係數關係 一、設一元二次方程式的兩根為、，則此一元二次方程式可表示成( X - )( X - ) = 0的形式，我們將其展開可得： X2 - ( + ) X + = 0 二、將一元二次方程式的標準式：aX2 + bX + c = 0 其X2項化成1，我們可得 X2 + X + = 0 三、比較一和二可得若兩式為同根方程式，則比較係數，我們不難發現 X2 - ( + ) X + = 0 (1) X2 + X + = 0 (2) 這兩項關係我們稱為根與係數關係 + = -(1) = (2) !學生練習： 1.若aX2 + bX + 16 = 0的兩根為2、4，求a + b = 進階：三次根與係數關係 aX3 + bX2 + cX + d = 0和三根：、 + + = - (1) + + = (2) = - (3)第四章 和(差)的立方公式及立方和(差)公式重點一：和(差)的立方公式推導 一、( a + b )3 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) 先處理( a + b ) ( a + b ) = ( a2+2ab+b2 ) ( a + b ) 將( a + b )分配乘入( a2+2ab+b2 ) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 同類項合併 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 二、同法可証( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 !學生練習： 1. ( 2X + 3 )3 = 2. ( 3X - 2 )3 = 重點二：立方和(差)公式推導 一、a3 + b3 = ( a + b ) ( a2-ab+b2 ) 方法一：將a3 + b3 除以 a + b 可得証。 方法二：將 ( a + b ) ( a2-ab+b2 ) 乘開可得証。 二、同法可証a3 - b3 = ( a b ) ( a2+ab+b2 ) !學生練習：請將下列式子因式分解： 1. 8X3 + 1 = 2. X3 - 27 = 第五章 簡易的三角函數重點一：簡易三角函數的涵義斜邊對邊鄰邊 一、簡易的三角函數說明即為一種存在直角三角形中的對應關係，如圖： sin = ，cos= tan = ，cot=xyrXYsec = ，csc= 二、三角函數與直角座標系的結合：(x,y) sin = ，cos= tan = ，cot=sec = ，csc=重點二：三角函數的基本性質： 一、三角函數的範圍：0 sin，cos 1 0 tan，cot 1 二、三角函數的基本性質： 1.倒數關係：sin= ， cos= ， tan= cot= ， sec= ， csc= 2.平方和關係：sin2 + cos2 = 1 1 + tan2 = cot2 1 + sec2 = csc2 3.商數關係： tan = ， cot = 4.特別角：300450600sincostan1 5.平方和公式應用： (sin cos)2 = 1 2 sincos sin4cos4 = 1 - 2 sin2cos2第六章 等差數列、級數與等比數列、級數重點一：等差數列、級數 一、數列a1、a2、a3、an中，若存在一數值d滿足 ai+1aid 恆成立，則此數列稱為等差數列且稱d為此等差數列的公差。 二、級數a1a2a3an中，若存在一數值d滿足 ai+1aid 恆成立，則此數列稱為等差級數且稱d為此等差級數的公差。 三、公式： 1. ana1(n1) d 2. sna1a2a3an ( a1an ) 2a1(n1) d !學生練習： 1. 級數14710100 2. 一等差級數共20項，前10項和為110，後10項和為330，問此級數的公差為 ，首項為 重點二：等比數列、級數一、數列a1、a2、a3、an中，若存在一數值r滿足 ai+1ai r 恆成立，則此數列稱為等比數列且稱r為此等比數列的公比。 二、級數a1a2a