高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型同步讲练 新人教版必修1.doc

课题：3.2.1 几类不同增长的函数模型精讲部分学习目标展示1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律 2.应用数学理论解决实际问题衔接性知识我们学习了哪几种初等函数？请画出它们的图象基础知识工具箱项目定义符号常见函数模型直线模型可以用直线模型表示指数函数模型能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a1），常形象地称为“指数爆炸”，且对数函数模型能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a1），函数值增大的速度越来越慢，且幂函数模型能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型为常数(1) 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较性质 函数在上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着的增大，图象上升的速度逐渐变快随着的增大，图象上升的速度逐渐变慢随着值的不同而不同(2) 指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较性质 函数在上的增减性减函数减函数减函数衰减的速度先快后慢先慢后快相对平稳图象的变化随着的增大，图象下降的速度逐渐变慢随着的增大，图象下降的速度逐渐变随着值的不同而不同典例精讲剖析例1有一批影碟机（vcd）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 20x，则总费用，在乙商场购买，费用y = 600x.（1）当0x10时，(800x 20x2)600x 购买影碟机低于10台，在乙商场购买.（2）当x = 10时，(800x 20x2) = 600x 购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.（3）当10x18时，(800x 20x2)600x 购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.（4）当x18时，600x440x 购买影碟机多于18台，在甲商场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.例2为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金，办法如下：每月工资公积金1000元以下不交纳1000元至2000元交纳超过1000元部分的5%2000元至3000元1000元至2000元部分交纳5%，超过2000元部分交纳10%3000元以上1000元至2000元部分交5%,2000元至3000元交10%,3000元以上部分交15%【解析】设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，则当0x1000时，yx；当1000x2000时，y1000(x1000)(15%)0.95x50；当2000x3000时，y10001000(15%)(x2000)(110%)0.9x150；当x3000时，y10001000(15%)1000(110%)(x3000)(115%)0.85x300.因此y与x的关系可用分段函数表示如下例3(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【解析】(1)利息本金月利率月数y1001000.36%x1000.36x，当x5时，y101.8，5个月后的本息和为101.8元(2)已知本金为a元，1期后的本利和为y1aara(1r)，2期后的本利和为y2a(1r)a(1r)ra(1r)2；3期后的本利和为y3a(1r)3；x期后的本利和为ya(1r)x.将a1 000，r2.25%，x5代入上式得y1 000(12.25%)51 0001.022 55.由计算器算得y1 117.68(元)答：复利函数式为ya(1r)x,5期后的本利和为1 117.68元例4某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = abx + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知a（1，1），b（2，1.2），c（3，1.3），d（4，1.37）.（1）设模拟函数为y=ax+b，将b、c两点的坐标代入函数式，有，解得所以得y=0.1x+1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax2 + bx + c，将a、b、c三点代入，有，解得，所以y= 0.05x2+0.35x+0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.（3）设y=+b，将a，b两点的坐标代入，有，解得，所以y=.因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = abx + c，将a，b，c三点的坐标代入，得，解得，所以y= 0.8(0.5)x+1.4.因此把x= 4代入得y= 0.80.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y= 0.80.54+1.4模拟比较接近客观实际.精练部分a类试题（普通班用）1某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为()a45元b55元 c65元 d70元答案d解析设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500(x50)10100010x件，故月利润为y(x40)(100010x)10(x40)(x100)，40xb cab da、b的大小无法确定答案b解析一月份产量为a(110%)，二月份产量ba(110%)(110%)a(11%)，ba，故选b.3甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()a甲比乙先出发 b乙比甲跑的路程多 c甲、乙两人的速度相同 d甲先到达终点答案d解析从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点4如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管oa1m，水从喷头a喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，a离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是()a3.5m b3m c2.5m d2m答案c解析建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为ya(x1)22.抛物线过点a(0,1)将(0,1)点代入方程得a1，y(x1)22.令y0，得x1，x1(舍)，故落在水面上的最远点b到o点距离为(1)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，选c.5为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.如意卡便民卡（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点b (30, 35)，c (30, 15)分别代入y1，y2得.（2）令y1 = y2，即，则.当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；当x96时，y1y2，即如意卡便宜；当x96时，y1y2，即便民卡便宜.6商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少已知标价为每件300元时，购买人数为零标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解析(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则nkxb(k0)，nx300.y(x300)(x100)(x200)210000，x(100,300x200时，ymax10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元(2)由题意得，(x300)(x100)1000075%x2400x300007500，x2400x375000，(x250)(x150)0，x1250，x2150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.b类试题（尖子班用）1某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为()a45元b55元 c65元 d70元答案d解析设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500(x50)10100010x件，故月利润为y(x40)(100010x)10(x40)(x100)，40xb cab da、b的大小无法确定答案b解析一月份产量为a(110%)，二月份产量ba(110%)(110%)a(11%)，ba，故选b.3甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()a甲比乙先出发 b乙比甲跑的路程多 c甲、乙两人的速度相同 d甲先到达终点答案d解析从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点4如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管oa1m，水从喷头a喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，a离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是()a3.5m b3m c2.5m d2m答案c解析建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为ya(x1)22.抛物线过点a(0,1)将(0,1)点代入方程得a1，y(x1)22.令y0，得x1，x1(舍)，故落在水面上的最远点b到o点距离为(1)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，选c.5英语老师准备存款5000元银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有_元答案5514.99解析根据题意，五年后的本息共5000(11.98%)55514.99(元)6设物体在800到1600之间的温度t是时间t的函数：t(t)at2btc(a0)，其中温度的单位是c，时间的单位是小时，t0表示1200，t取正值表示1200以后，若测得该物体在800的温度为8c，1200的温度为60c,1300的温度为58c，则t(t)_.答案3t2t60解析将t4，t8；t0，t60；t1，t58分别代入函数表达式中即可解出a3，b1，c60.7等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数解析式是 解析2xy20，y202x由得：5x10，故y202x(5x10)8为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.如意卡便民卡（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点b (30, 35)，c (30, 15)分别代入y1，y2得.（2）令y1 = y2，即，则.当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；当x96时，y1y2，即如意卡便宜；当x96时，y1y2，即便民卡便宜.9.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少已知标价为每件300元时，购买人数为零标价为每件225元时，购买人数为7