学案2 空间几何体的表面积与体积.ppt

考点1 考点2 考点3 考点4 返回目录 考纲解读 简单的组合体的面积与体积的计算 以及平面图形的折叠问题是常考的内容 尤其是在解答题中 多涉及位置关系的证明 面积或体积的计算 着重考查学生识图 用图及空间想象能力 有时也与三视图结合考查 考向预测 返回目录 1 设直棱柱高为h 底面多边形的周长为c 则直棱柱侧面面积计算公式 S直棱柱侧 即直棱柱的侧面积等于它的 2 设正n棱锥的底面边长为a 底面周长为c 斜高为h 则正n棱锥的侧面积的计算公式 S正棱锥侧 即正棱锥的侧面积等于它的 ch 底面周长和高的乘积 nah ch 底面的周长和斜高乘积的一半 返回目录 3 设棱台下底面边长为a 周长为c 上底面边长为a 周长为c 斜高为h 则正n棱台的侧面积公式 S正棱台侧 4 棱柱 棱锥 棱台的表面积或全面积等于 5 半径为R的球的表面积公式 S球 即球面面积等于它的 大圆面积的四倍 n a a h c c h 侧面积与底面积的和 4 R2 返回目录 6 柱 锥 台的侧面积公式的内在联系 返回目录 7 柱体 棱柱 圆柱 的体积等于它的 即V柱体 底面半径是r 高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱 8 如果一个锥体 棱锥 圆锥 的底面积是S 高是h 那么它的体积是V锥体 如果圆锥的底面半径是r 高是h 则它的体积V圆锥 9 如果一个台体 棱台 圆台 的上 下底面的面积分别是S S 高是h 那么它的体积V台体 h S S 如果圆台的上 下底面的半径分别是r r 高是h 则它的体积是V圆台 h r 2 r r r2 底面积S和高h的乘积 Sh r2h Sh r2h 返回目录 10 如果球的半径为R 则它的体积V球 R3 11 柱 锥 台的体积公式的内在联系 返回目录 返回目录 如图 在 ABC中 若AC 3 BC 4 AB 5 以AB所在直线为轴 将此三角形旋转一周 求所得旋转体的表面积和体积 分析 首先考虑所得几何体是由哪几类简单几何体组成 存在哪些数量和位置关系 考点1旋转体的表面积 解析 如图所示 所得旋转体是两个底面重合的圆锥 高的和为AB 5 底面半径等于CO 所以所得旋转体的表面积为S OC AC BC 3 4 其体积为V OC2 AO OC2 BO OC2 AB 返回目录 返回目录 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形 其表面积为侧面积与底面积之和 2 组合体的表面积要注意重合部分的处理 返回目录 已知一个圆锥的底面半径为R 高为H 在其中有一个高为x的内接圆柱 1 求圆柱的侧面积 2 x为何值时 圆柱的侧面积最大 返回目录 解析 1 画圆锥及内接圆柱的轴截面 如图所示 设所求圆柱的底面半径为r 它的侧面积S圆柱侧 2 r x S圆柱侧 2 Rx x2 0 x H 2 因为S圆柱侧的表示式中x2的系数小于零 所以这个二次函数有最大值 这时圆柱的高是x 且x H 满足题意 所以当圆柱的高是已知圆锥的一半时 它的侧面积最大 返回目录 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm 且其侧面积等于两底面面积之和 求棱台的全面积 分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征直角梯形 转化为平面问题来求解所需几何元素 考点2多面体的表面积与侧面积 返回目录 解析 如图所示 正三棱台ABC A1B1C1中 O O1为两底面中心 D D1为BC和B1C1的中点 DD1为棱台的斜高 设A1B1 20 AB 30 则OD 5 O1D1 由S侧 S上 S下 得 20 30 3 DD1 202 302 DD1 S侧 3 325 cm2 又S底 325 棱台全面积为S全 S侧 S底 650cm2 返回目录 求解有关多面体表面积的问题 关键是找到其特征几何图形 如圆柱中的矩形 棱台中的直角梯形 棱锥中的直角三角形 它们是联系高与斜高 边长等几何元素的桥梁 从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系 返回目录 已知正三棱锥底面正三角形的边长为 侧棱与高的夹角为60 求正三棱锥的侧面积及全面积 解析 设O为正三角形ABC的中心 则正棱锥的高 侧棱 底面半径组成Rt AOS 如图所示 AB AO sin60 ASO 60 SA 5 返回目录 作SE AB于E 则正三棱锥的侧棱 斜高 底面边长的一半构成Rt SEA 如图所示 斜高SE S正三棱锥侧 所以S正三棱锥全 S正三棱锥侧 S正三棱锥底 考点3几何体的体积 返回目录 一个正三棱锥的底面边长为6 侧棱长为 求这个三棱锥的体积 分析 三棱锥是正三棱锥 已知三棱锥的底面边长和侧棱长 求三棱锥的体积 因此解答本题可先求出三棱锥的底面积和高 再求出其体积 解析 如图所示 正三棱锥S ABC 设H为正三角形ABC的中心 连结SH 则SH的长即为该正三棱锥的高 返回目录 连结AH并延长交BC于E 则E为BC的中点 且AH BC ABC是边长为6的正三角形 AE 6 AH AE 在 ABC中 S ABC BC AE 6 在Rt SHA中 SA AH SH V正三棱锥 S ABC SH 9 返回目录 求锥体的体积 要选择适当的底面和高 然后应用公式V Sh进行计算即可 在正棱锥的有关计算中 像Rt SHA Rt SHE Rt SEB等是非常有用的 它们联系了正三棱锥的侧棱长 底面边长 高 底面正三角形的外接圆半径 内切圆半径等基本量 返回目录 某人买了一容积为Vm3 高为am的直三棱柱型罐 用它装进口液体车油 由于不小心摔倒地上 结果有两处破损并发生渗漏 它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分别为b c的地方 单位 m 为了减少罐内液体流失 该人采用破口朝上 倾斜罐口的方式拿回家 试问罐内液体车油最理想的估计能剩多少 解析 如图 罐内所剩液体油的最大值即几何体ABC DB E的体积 设直三棱柱ABC A B C 破损处为D E 并且AD b EC c BB a 连接BD CD 返回目录 VD BCEB VA BCEB 而VA BCEB VA BCC B VA BCC B V VD BCEB 又 VD ABC VABC DB E VD BCEB VD ABC V 故最理想的估计是剩下m3 返回目录 2010年高考辽宁卷改编 已知S A B C是球O表面上的点 SA 平面ABC AB BC SA AB 1 BC 则球O的表面积等于 分析 根据条件 确定球O的位置 并求出球半径 解析 如图所示 A B C三点在一小圆面上 AB BC AC为斜边 小圆的圆心为AC的中点D SA AB 1 BC 考点4球的表面积 体积 AC AD S A B C都在球面上 取SC的中点O 则OD SA SA 平面ABC OD 平面ABC O为球心 SO为半径 SC SO 1 球O的表面积为4 返回目录 返回目录 本题考查球的几何性质及表面积公式 考查运算求解能力 考查数形结合 转化与化归思想 难度较大 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面 它们的面积分别为49 cm2和400 cm2 求球的表面积 解析 如图为球的轴截面 由球的截面性质知 AO1 BO2 且O1 O2分别为两截面圆的圆心 则OO1 AO1 OO2 BO2 设球的半径为R 返回目录 O2B2 49 O2B 7 cm O1A2 400 O1A 20 cm 设OO1 xcm 则OO2 x 9 cm 在Rt OO1A中 R2 x2 202 在Rt OO2B中 R2 x 9 2 72 x2 202 72 x 9 2 解得x 15 R2 x2 202 252 R 25 S球 4 R2 2500 cm2 球的表面积为2500 cm2 返回目录 1 对于基本概念和能用公式直接求出棱柱 棱锥 棱台与球的表面积的问题 要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决 这种题目难度不大 2 要注意将空间问题转化为平面问题 3 当给出的几何体比较复杂 有关的计算公式无法运用 或者虽然几何体并不复杂 但条件中的已知元素彼此离散时 我们可采用 割 补 的技巧 化复杂几何体为简单几何体 柱 锥 台 或化离散为集中 给解题提供便利 返回目录 4 与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切